Métodos Estatísticos I AD2 GABARITO

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
AVALIAÇÃO À DISTÂNCA 2 - (AD2)
1o Semestre de 2021
Prof. Moisés Lima de Menezes
(Postagem em PDF até o dia 18 de maio de 2021)
GABARITO
1. (4,0 pontos) Um grupo de pessoas foi entrevistado sobre idiomas que preferem aprender. O
resultado da pesquisa estão na tabela abaixo.
Idade Inglês (I) Francês (F ) Espanhol (E) Alemão (A) Total
Até 18 anos (B) 60 15 35 10 120
De 19 a 39 anos (C) 50 10 30 20 110
Mais de 39 anos (D) 40 30 30 30 130
Total 150 55 95 60 360
Assuma que uma pessoa deste grupo for selecionada aleatoriamente:
(a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pessoa preferir aprender Francês, dado que tem mais
de 39 anos?
(b) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pessoa preferir aprender Espanhol?
(c) (1,0 pt) “Ter de 19 a 39 anos” e “preferir Inglês” são independentes?
(d) (1,0 pt) Sabendo que a pessoa selecionada tem até 18 anos, qual a probabilidade de ela
preferir aprender Alemão?
2. (2,0 pontos) Sejam A e B dois eventos tais que P (A) = 0, 3 e P (B) = 0, 5. Determine
P (A ∪B) se:
(a) (1,0 pt) A e B são mutuamente exclusivos;
(b) (1,0 pt) A e B são independentes.
3. (4,0 pontos) Em um lote com 12 peças, 4 são defeituosas. Se são retiradas aleatoriamente 2
peças deste lote sem reposição, determine a probabilidade de:
(a) (1,0 pt) Ambas serem defeituosas;
(b) (1,0 pt) Ambas não serem defeituosas;
(c) (1,0 pt) Pelo menos uma ser defeituosa;
(d) (1,0 pt) No máximo uma ser defeituosa.
1
Gabarito:
1. (a)
P (F |D) = P (F ∩D)
P (D)
=
30/360
130/360
=
30
130
= 0,2307
(b)
P (E) =
95
360
= 0,2638
(c) Precisamos verificar se: P (C)P (I) = P (C ∩ I).
P (C)P (I) =
110
360
× 150
360
= 0, 3055× 0, 4166 = 0,127271
P (C ∩ I) = 50
360
= 0,1388
Como P (C)P (I) 6= P (C ∩ I) , então:
“NÃO SÃO INDEPENDENTES!”
(d) Probabilidade condicional:
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
10/360
120/360
=
10
120
= 0,0833
2. Temos que P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) .
(a) Se A e B são mutuamente exclusivos, então P (A ∩B) = 0. Logo:
P (A ∪B) = P (A) + P (B) = 0, 3 + 0, 5 = 0,8.
(b) Se A e B são independentes, então P (A ∩B) = P (A)P (B). Logo:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A)P (B) = 0, 3 + 0, 5− (0, 3× 0, 5) = 0, 8− 0, 15 = 0,65.
3. Se no lote há 12 peças, sendo 4 defeituosas e se as retiradas são feitas sem reposição, então a
primeira retirada é feita sobre o espaço amostral total com as 12 peças, mas a segunda retirada
é feita sobre um novo espaço amostral com aepensa 11 das 12 peças e podendo ter 4 ou 3 peças
defeituosas a depender da situação da primeira peça retirada.
Considere os eventos:
D : a peça é defeituosa;
N : a peça não é defeituosa.
(a) Para que ambas sejam defeituosas, as duas retiradas deve conter peças defeituosas. A
situação seria:
D D
2
Equivalente a
P (D)P (D|D) =
(
4
12
× 3
11
)
=
12
12× 11
=
1
11
= 0,0909...
(b) Para que ambas não sejam defeituosas, as duas retiradas deve conter peças não defeituosas.
A situação seria:
N N
Equivalente a
P (N)P (N |N) =
(
8
12
× 7
11
)
=
(
2
3
× 7
11
)
=
14
3× 11
=
14
33
= 0,4242...
(c) Para que pelo menos uma seja defeituosa, temos 3 situações:
D D ou N D ou D N
Equivalente a
P (D)P (D|D) + P (N)P (D|N) + P (D)P (N |D)
=
(
4
12
× 3
11
)
+
(
8
12
× 4
11
)
+
(
4
12
× 8
11
)
=
3
33
+
8
33
+
8
33
=
19
33
= 0,5757...
(d) Para que no máximo uma seja defeituosa, temos 3 situações:
N N ou N D ou D N
Equivalente a
P (N)P (N |N) + P (N)P (D|N) + P (D)P (N |D)
=
(
8
12
× 7
11
)
+
(
8
12
× 4
11
)
+
(
4
12
× 8
11
)
=
14
33
+
8
33
+
8
33
=
30
33
= 0,9090...
3