Atividade Complementar Avaliativa

Prévia do material em texto

Atividade Complementar Avaliativa (lista de exercícios sobre soma dos n primeiros termos de 
uma PG infinita) 
1) Uma bola é solta da altura de 100 m, atinge o solo e sobe a uma altura igual à metade da anterior. 
Esse movimento ocorre sucessivamente até ela parar. Qual é a distância total percorrida pela bola? 
Resposta esperada: 
(100, 50, 25 … ) 
𝑞 =
50
100
=
5
10
=
1
2
 e −1 < 𝑞 < 1. 
Assim: 100 + 50 + 25 + ⋯ = 100 +
𝑎1
1−𝑞
= 100 +
100
1−
1
2
= 100 +
100
1
2
= 100 + 100.2 = 300 
 
A distância percorrida pela bola é 300m. 
 
3) Seja um triângulo equilátero de lado 12 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, 
obtém-se outro triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados desse último triângulo, 
construímos outro triângulo, e assim infinitamente. 
a) Qual é a soma dos perímetros de todos os triângulos assim construídos? 
Resposta: 𝑆 = 72 𝑐𝑚 
b) Qual é a soma das áreas de todos os triângulos assim construídos? 
Resposta: 𝑆 = 48√3 
 
Resposta esperada: 
1º temos um triângulo equilátero de lado 12 cujo seu perímetro é 𝑃𝑡 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 → 𝑃𝑡 = 3𝑙 → 𝑃𝑡 = 3.12 →
𝑃𝑡 = 36 𝑐𝑚 
 
2º Agora formamos um outro triângulo equilátero dentro deste último cujo lado mede 6, pois é a metade 
de 12 , logo 𝑃𝑡 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 → 𝑃𝑡 = 3𝑙 → 𝑃𝑡 = 3.6 → 𝑃𝑡 = 18 𝑐𝑚 
 
3º Formamos um outro triângulo equilátero dentro deste último triangulo, onde o lado valerá 3 cm , 
então 𝑃𝑡 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 → 𝑃𝑡 = 3𝑙 → 𝑃𝑡 = 3.3 → 𝑃𝑡 = 9 𝑐𝑚 
 E assim sucessivamente 
 
Observe que a sequências do perímetro (36, 18, 9, … ) é uma progressão geométrica. 
Para calcularmos a soma dos perímetros, vamos utilizar a fórmula da soma da progressão 
geométrica infinita: 
𝑆 =
𝑎1
1 − 𝑞
 
No perímetro, o primeiro termo é 36 e a razão é 1/2. Assim, a soma é: 
𝑆 =
36
1 −
1
2
 
𝑆 = 
36
1
2
 
𝑆 = 36.
2
1
 
𝑆 = 72 𝑐𝑚 
 
Qual é a soma das áreas de todos os triângulos assim construídos? 
 
A área do triangulo é dada por 
 
𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ/2 
 
Porém , como não temos a altura ¨h ¨ vamos ter que acha-la da seguinte forma 
12² = ℎ² + 6² 
ℎ² = 108 
ℎ = √108 
𝐴 = 12.
√108
2
 = 6√108 ⇒ 6. 2. 3√3 ⇒ 36√3 
 
𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ/2 
 
6² = ℎ² + 3² 
36 = ℎ² + 9 
ℎ² = 27 
ℎ = √27 
𝐴 = 6.
√27
2
 = 3√27 ⇒ 3. √3 ⇒ 9√3 
 
Observe que a sequências do perímetro (36√3, 9√3, … ) é uma progressão geométrica. 
Para calcularmos a soma das áreas, vamos utilizar a fórmula da soma da progressão geométrica 
infinita: 
𝑆 =
𝑎1
1 − 𝑞
 
No área, o primeiro termo é 36√3 e a razão é 1/4. Assim, a soma é: 
 
𝑆 = 
36√3
1 −
1
4
 
 
𝑆 = 
36√3
3
4
 
 
𝑆 = 36√3.
4
3
 ⇒
144√3
3
 48√3 
𝑆 = 48√3 
 
4) Duas empresas, A e B, farão doações a uma creche. A empresa A pagará, durante 10 anos, 
quantidades anuais da seguinte forma: no primeiro ano 100.000 dólares e, em cada ano seguinte, 
metade da doação do ano anterior. A empresa B pagará “eternamente” quantias anuais da seguinte 
forma: no primeiro ano 98.000 dólares e, em cada ano posterior, metade da doação do ano anterior. 
Qual é a empresa mais “generosa”? Por quê? 
Resposta esperada: 
Estamos diante de uma PG com razão 𝑞 = ½. Aplicando em cada uma das doações: 
a) A empresa A fará 10 doações, sendo a primeira 100.000 
Calculando a soma das 10 parcelas, PG finita: 
𝑆10 =
100.000 (
1
2
10
− 1)
1
2 − 1
= 199.804,68 
 
b) A empresa B fará infinitas doações, sendo a primeira 98.000: 
𝑆 = 
98000
1 −
1
2
 
𝑆 = 
98000
1
2
 
𝑆 = 98000.2 
𝑆 = 196.000 
Veja que, apesar de contribuir apenas 10 anos, a empersa A foi mais generosa (um pouco mais) do 
que a empresa B 
 
5) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1 … 
 
Sabendo que a soma das áreas dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 51, qual é a área 
do retângulo de lados ℎ e 𝑑? 
Resposta esperada: 
Todos os triângulo tem mesma altura h. Para achar a base deles vamos fazer o seguinte. Pegue cada 
vértice dos triângulos brancos que estão no lado debaixo do retângulo e traça por esses vértices uma 
reta perpendicular ao lado debaixo do retângulo. Faça a mesma coisa do lado de cima do retângulo 
nos triângulos brancos. 
Dai como todas as retas que você traçou são paralelas você pode dizer que os triângulos retângulos 
adjacentes e de cores contrárias são todos congruentes. 
Dai você tira que a base do primeiro triângulo branco é: 4 + 2 = 6𝑐𝑚 
A base do segundo é: 2 + 1 = 3𝑐𝑚 
E por ai vai. 
Temos que as bases desses triângulos são uma PG de razão meio e primeiro termo 6. 
A área desses triângulos também será uma PG de razão 1/2 pois 𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒. ℎ/2 e h é o mesmo pra 
todos os triângulos. A área do primeiro triangulo branco é: 
𝐴1 = 6ℎ/2 = 3ℎ 
pela fórmula da soma de PG: 
𝑆 =
𝑎1
1 − 𝑞
 
𝑆 =
3ℎ
1 −
1
2
 
𝑆 =
3ℎ
1
2
 
𝑆 = 3ℎ. 2 = 6ℎ 
 
Logo, essa soma vale 51: 
51 = 6ℎ ⇒ ℎ = 51/6 = 17/2 = 8.5 𝑐𝑚 
Vamos achar o "d" do retângulo agora: 
É fácil ver olhando pro lado de baixo do triângulo que o "d" é uma soma de PG infinita também: 
𝑑 = 8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + . .. 
𝑑 = 
8
1 −
1
2
 
𝑆 =
8
1
2
 
𝑆 = 8.2 = 16𝑐𝑚 
 
A área do retângulo é 𝑑. ℎ = 8,5 . 16 = 136𝑐𝑚² 
 
 
8 Referências 
BARROSO, J. M. Conexões com a matemática. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2010. 
 
IEZZI, G. et al. Matemática: ciência e aplicações. 7ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013. 
 
PAIVA, M. Matemática. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2005.