Propriedades dos logaritmos - Mundo Educação

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Propriedades dos logaritmos
As propriedades dos logaritmos podem simplificar e tornar mais fáceis os cálculos que
envolvem essa operação matemática.
Os logaritmos, criados por John Napier e Jobst
Burgi, e posteriormente adaptados por Henry
Briggs, possuem a seguinte lei de formação:
logab = x, em que:
a = base do logaritmo
b = logaritmando
x = logaritmo
O logaritmo de um número b, em uma base a, é
o expoente x que se deve aplicar à base a para obter o número b. Dessa forma:
logab = x ↔ ax = b
Exemplos:
log39 ↔ 32 = 9
log10100 ↔ 102 = 100
log216 ↔ 24 = 16
log981 ↔ 92 = 81
Propriedades dos logaritmos
A partir dessa definição, podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no
desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja:
O logaritmo do número 1, em qualquer base sempre, será igual a 0.
loga1 = 0, pois a
0 = 1
O logaritmo de qualquer número a, na própria base a, será igual a 1.
logaa = 1, pois a
1 = a
O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base.
logaa
m = m, pois m·logaa = m·1 = m
A potência de base a e expoente logab é igual a b.
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alogab = b, pois logab = x → ax = b
Dois logaritmos são iguais quando seus logaritmandos forem iguais.
logab = logac ↔ b = c
Exemplos
Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso:
a) log327 = x → 3x = 27 → x = 3
b) log81x = 3/4 → x = 813/4 → x = (34)3/4 → x = 312/4 → x = 33 → x = 27
c) log4√2 = x → 4x = √2 → 22x = √2 → 22x = 21/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4
d) logx8 = 2 → x2 = 8 → √x = √8 → x = 2√2
e) log4(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 41/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2
f) log1818 = x → 18x = 18 → x = 1
g) logx1024 = 2 → x2 = 1024 → √x² = √1024 → x = 32
h) log40,25 = x → 4x = 0,25 → 4x = 25/100 → 4x = 1/4 → 4x = 4–1 → x = –1
i) 16log25 = (24)log25 = (2log25)4 = 54 = 625
j) log0,01 = x → 10x = 0,01 → 10x = 1/100 → 10x = 10–2 → x = –2
 
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