Período_no_MHS

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APROFUNDAMENTO - PERÍODO NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
 
 
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico (que se repete) e 
oscilatório (de vai e vem) em torno de uma posição de equilíbrio e se deve à presença 
de uma força restauradora. A força restauradora é aquela que tende a levar o 
sistema oscilante para a posição de equilíbrio. 
 
O movimento harmônico simples é regido por uma força restauradora que tem a 
seguinte forma: 
�⃗⃗� = −𝑘�⃗⃗� 
 
Na equação acima, �⃗⃗� representa a força restauradora, �⃗⃗� é chamado de elongação e 
corresponde ao vetor posição do objeto oscilante a partir da posição de equilíbrio. Vale 
ressaltar que o vetor posição é um vetor que vai da origem (x = 0) até a posição em 
que se encontra o objeto. Já o 𝑘 é uma constante de proporcionalidade (no caso de 
um sistema massa-mola, essa constante será chamada de constante elástica da 
mola). O sinal negativo mostra que �⃗⃗� e �⃗⃗� sempre possuem sentidos opostos, de forma 
que a força �⃗⃗� sempre aponta para a posição de equilíbrio. 
 
Um caso típico de MHS pode ser observado no sistema massa-mola. 
 
 
 
Muitos movimentos na natureza podem ser aproximados por um MHS, desde que 
tenham uma pequena amplitude. Isso ocorre, por exemplo, com alguns átomos 
oscilantes no interior de moléculas e no caso já conhecido do pêndulo simples. 
 
Para demonstrar a expressão do período num MHS (como ocorre num sistema massa-
mola), vamos recorrer a uma relação entre o MHS e o MCU (movimento circular 
uniforme). Sempre que um MCU ocorre, a sua projeção ao longo de qualquer diâmetro 
da circunferência realiza um MHS. 
 
Observe a figura a seguir: 
 
 
 
 
Num MHS é válida a relação: 
 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
 
onde 𝜔 é a frequência angular da oscilação k é uma constante e m é a massa do 
objeto que oscila. Fazendo 𝜔 = 2𝜋/𝑇 na definição acima, encontramos: 
 
2𝜋
𝑇
= √
𝑘
𝑚
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de um pêndulo simples, caso a aplitude da sua oscilação seja pequena, ele 
descreve um movimento que pode ser aproximado como um MHS na direção 
horizontal. A figura abaixo mostra as forças envolvidas no movimento do pêndulo, bem 
como os tamanhos e distâncias relacionados. 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
 
 
Observe que, nessa situação, a força restauradora possui módulo igual a uma das 
componentes do peso. Assim: 
 
𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑘𝑥 
 
Sabemos que senθ = x/L e, como vimos anteriormente, k = m 𝜔2. Substituindo esses 
resultados na expressão acima, ficamos com: 
 
𝑚𝑔
𝑥
𝐿
= (𝑚𝜔2)𝑥 
 
𝜔2 =
𝑔
𝐿
 
 
(
2𝜋
𝑇
)
2
=
𝑔
𝐿
 
 
(
𝑇
2𝜋
)
2
=
𝐿
𝑔
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔