Estruturas Algebricas (Resumo)

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ESTRUTURAS ALGEBRICAS 
 
1. Preliminares 
Seja uma relação 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 × 𝐹; (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}, assim, 𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥) ∈ 𝐹 × 𝐸; (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}. 
 
Propriedades:
i. 𝐷(𝑅) = 𝐼𝑚(𝑅−1) ii. 𝐷(𝑅−1) = 𝐼𝑚(𝑅) iii. (𝑅−1)−1 = 𝑅 
 
• Relação sobre conjuntos - Propriedades
i. Reflexiva 
𝑥𝑅𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐸 
ii. Simétrica 
𝑥𝑅𝑦 ⇒ 𝑦𝑅𝑥 
iii. Transitiva 
𝑥𝑅𝑦 e 𝑦𝑅𝑧 ⇒ 𝑥𝑅𝑧 
iv. Antissimétrica 
𝑥𝑅𝑦 e 𝑦𝑅𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦 
 
• Relação de equivalência • Classe de equivalência �̅� 
𝑅 é uma relação de equivalência se, e 
somente se, 𝑅 é reflexiva, simétrica e transitiva. 
 
𝑎 ∈ 𝐸 ⇒ �̅� = {𝑎 ∈ 𝐸; 𝑥𝑅𝑎} 
 
• Conjunto quociente 
 
Conjunto das classes de equivalência módulo 𝑅, indicado por 𝐸/𝑅. 
 
Propriedades: Seja 𝑅 uma relação de equivalência sobre 𝐸, 𝑎 ∈ 𝐸 e 𝑏 ∈ 𝐸.
i. 𝑎𝑅𝑏 ii. 𝑎 ∈ �̅� iii. 𝑏 ∈ �̅� iv. �̅� = �̅� 
 
• Partição de um conjunto 
 
Diz-se que uma classe 𝔉𝔢 de subconjuntos não vazio de um conjunto 𝐸, é uma partição de 𝐸 quando: 
i. Dois membros quaisquer de 𝔉𝔢 são iguais ou disjuntos; 
ii. A união dos membros de 𝔉𝔢 é igual à 𝐸. 
 
• Relação de ordem 
 
→ Uma relação 𝑅 sobre um conjunto 𝐸 não vazio é chamada relação de ordem parcial sobre 𝐸, quando 
𝑅 é reflexiva, antissimétrica e transitiva. 
→ Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto sobre o qual se definiu uma relação de ordem 
parcial. 
→ Seja 𝑅 uma relação de ordem parcial sobre 𝐸. Os elementos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸 dizem-se comparáveis 
mediante 𝑅 caso 𝑎 ≤ 𝑏 ou 𝑏 ≤ 𝑎. 
→ 𝑅 é uma relação de ordem total, caso dois elementos de 𝐸 comparáveis mediante 𝑅. Assim, o 
conjunto 𝐸 é dito totalmente ordenado por 𝑅. 
 
Construção 
∗ 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 
𝑎1 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 
𝑎2 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 
𝑎𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 
 
Obs.: Grupoide não tem necessidade 
de satisfazer as propriedades 
associativa, comutativa, elemento 
neutro ou simétrico. 
Obs.: 𝑒 e 𝑥′ são únicos. 
• Operações – leis de composição internas 
Def.: Sendo 𝐸 um conjunto não vazio, toda aplicação 𝑓: 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 recebe o nome de lei de composição 
interna sobre 𝐸. 
 
Propriedades: Seja ∗ uma lei de composição interna em 𝐸, tem-se. 
i. Associativa: 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 
ii. Comutativa: 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 
iii. Elemento neutro (𝑒): 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 
iv. Elemento simétrico (𝑥′): 𝑥 ∗ 𝑥′ = 𝑥′ ∗ 𝑥 = 𝑒 
 
• Parte fechada para uma operação 
Def.: 𝐴 ≠ ∅; 𝐴 ⊂ 𝐸 é uma parte fechada de 𝐸 para a operação ∗ quando 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴. 
 
• Tábua de uma operação
Toda aplicação 𝑓: 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 sobre o conjunto 
𝐸 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛}, associa cada par (𝑎𝑖 , 𝑎𝑗) ao 
elemento 𝑎𝑖 ∗ 𝑎𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 pela operação interna ∗. 
 
 
 
2. Estruturas Algébricas 
Def.: Par ordenado por um conjunto 𝐴 ≠ ∅ e uma operação (∗) binária em 𝐴. Notação: 〈𝐴,∗〉 ou (𝐴,∗). 
Obs.: Caso 𝐴 × 𝐴 → 𝐴, isto é, (𝑎, 𝑏) → 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, diz-se que (∗) é uma operação interna a 𝐴. 
 
• Classificação
i. Grupoide: par 〈𝐴,∗〉, no qual, (∗) é uma operação interna. 
ii. Semigrupo: Grupoide que atende a propriedade associativa. 
iii. Monoide: Semigrupo que atende as propriedades elemento neutro. 
iv. Grupo: Monoide com as propriedades simétrico. 
v. Grupo Abeliano ou comutativo: Grupo que possui a propriedade comutativa. 
 
• Classificação de um conjunto
i. Finito: 𝐺 possui 𝑛 elementos. Ordem de 𝐺 é dado por |𝐺| = 𝑛 ou (𝐺) = 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ. 
ii. Infinito: 𝐺 possui infinitos elementos. Ordem de 𝐺 é dado por |𝐺| = ∞ ou (𝐺) = ∞. 
 
3. Grupos e Subgrupos 
Def.: Um grupo é um sistema matemático 〈𝐺,∗〉, no qual, valem a propriedade associativa e existem os 
elementos neutro e simétrico. Caso verifique também a comutatividade, o grupo é dito abeliano. 
 
Propriedades: 
i. (𝑎′)′ = 𝑎 
ii. (𝑎1 ∗ 𝑎2 ∗ … ∗ 𝑎𝑛)′ = 𝑎1′ ∗ 𝑎2′ ∗ … ∗ 𝑎𝑛′ 
iii. 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑎 ∗ 𝑦 ⇒ 𝑥 = 𝑦 
iv. A equação 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 tem solução unitária 
igual a 𝑎′ ∗ 𝑏.
𝐻 é fechado para a operação ∗ 
Ex.: 𝑎1 = 𝑎1−1 ∙ 𝑎 = 𝑎0 ∙ 𝑎 = 𝑒 ∙ 𝑎 = 𝑎 
Def.: Dado um grupo (𝐺,∗), diz que um subconjunto não vazio 𝐻 ⊂ 𝐺 é subgrupo quando:
i. 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐻, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻. ii. (𝐻,∗) é também um grupo. 
 
Propriedades: 𝐻 é subgrupo de 𝐺 ⇔ 𝑎 ∗ 𝑏′ ∈ 𝐻, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻. 
 
4. Homomorfismo e isomorfismo de grupos 
Def.: Homomorfismo de (𝐺,∗) em (𝐽,∗) a toda aplicação 𝑓: 𝐺 → 𝐽; 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺. 
 
Propriedades: 
i. Se 𝐺 e 𝐽 são grupos multiplicativos, tais que, 𝑒 e 𝑢 são seus respectivos elementos neutros, então 𝑓(𝑒) = 𝑢. 
ii. 𝑎 ∈ 𝐺 ⇒ 𝑓(𝑎−1) = [𝑓(𝑎)]−1, além disso, 𝑓(𝑎 ∗ 𝑏−1) = 𝑓(𝑎) ∗ [𝑓(𝑏)]−1. 
iii. Se 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então 𝑓(𝐻) é um subgrupo de 𝐽. 
iv. Se 𝑓: 𝐺 → 𝐽 e 𝑔: 𝐽 → 𝐿 são homomorfismos, então 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐺 → 𝐿 é homomorfismo. 
v. Se 𝑓 e 𝑔 são homomorfismos injetor (ou sobrejetor), então 𝑔 ∘ 𝑓 também é injetor (ou sobrejetor). 
 
• Núcleo de um homomorfismo 
Def.: 𝑁(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐺; 𝑓(𝑥) = 𝑢} Obs.: 𝑒 ∈ 𝑁(𝑓). 
i. 𝑁(𝑓) é um subgrupo de 𝐺. ii. 𝑓 é injetor ⇔ 𝑁(𝑓) = {𝑒}. 
 
• Isomorfismo de grupo 
Def.: 𝑓 é um isomorfismo quando 𝑓: 𝐺 → 𝐽 é um homomorfismo de grupo e é bijetiva. 
 
Teorema: Se 𝑓: 𝐺 → 𝐽 é um isomorfismo de grupo, então 𝑓−1: 𝐽 → 𝐺 também é isomorfismo. 
 
• Teorema de Cayley 
Def.: Dado (𝐺,∙), uma translação à esquerda é uma aplicação 𝛿𝑎: 𝐺 → 𝐺; 𝛿𝑎(𝑥) = 𝑎𝑥, ∀𝑎 ∈ 𝐺. Caso 
(𝐺, +) tem-se 𝛿𝑎(𝑥) = 𝑎 + 𝑥. 
 
Propriedades: 
i. Toda translação é uma bijeção. ii. A inversa da translação 𝛿𝑎 é a translação 𝛿𝑎
−1
. 
iii. A composição de uma translação é uma operação sobre 𝑇(𝐺). 
iv. 𝑇(𝐺) é um subgrupo do grupo (𝑆(𝐺),∘) das permutações dos elementos de 𝐺. 
v. (Cayley) Se 𝐺 é um grupo, a aplicação 𝑓: 𝐺 → 𝑇(𝐺) que associa cada elemento 𝑎 a translação 𝛿𝑎, 
isto é 𝑓(𝑎) = 𝛿𝑎, é um isomorfismo de grupo. 
 
5. Grupos cíclicos 
• Potências e Múltiplos 
Def.: Dado um grupo multiplicativo 𝐺; 𝑎 ∈ 𝐺, a potência de 𝑎 com expoente 𝑚 ∈ ℤ, é o elemento de 
𝑎𝑚 ∈ 𝐺, tal que, 𝑎0 = 𝑒, 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚−1 ∙ 𝑎 (𝑚 > 0) ou 𝑎𝑚 = (𝑎−𝑚)−1 (𝑚 < 0). Obs.: 𝑒𝑚 = 𝑒. 
Propriedades: 
i. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ii. 𝑎−𝑚 = (𝑎𝑚)−1 iii. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
 
Def.: Dado um grupo aditivo 𝐺; 𝑎 ∈ 𝐺, o múltiplo 𝑚 − é𝑠𝑖𝑚𝑜(𝑚 ∈ ℤ) de 𝑎, é o elemento de 𝐺, tal que, 
0 ∙ 𝑎 = 𝑒, 𝑚 ∙ 𝑎 = (𝑚 − 1) ∙ 𝑎 + 𝑎 (𝑚 > 0) ou 𝑚 ∙ 𝑎 = −[(−𝑚) ∙ 𝑎] (𝑚 < 0). 
 
Propriedades: 
i. 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑛 ∙ 𝑎 = (𝑚 + 𝑛) ∙ 𝑎 ii. (−𝑚) ∙ 𝑎 = −(𝑚 ∙ 𝑎) iii. 𝑛 ∙ (𝑚 ∙ 𝑎) = (𝑛 ∙ 𝑚) ∙ 𝑎 
 
• Grupo cíclico 
 
Proposição: Seja 𝑎 ∈ (𝐺,∙) e [𝑎] = {𝑎𝑚; 𝑚 ∈ ℤ} ⊂ 𝐺 segue. 
i. [𝑎] é subgrupo de 𝐺 ii. 𝐻 é subgrupo de 𝐺 e 𝑎 ∈ 𝐺 ⇒ [𝑎] ⊂ 𝐻 
 
Def.: Um grupo multiplicativo 𝐺 é cíclico caso exista 𝑎 ∈ 𝐺; [𝑎] = 𝐺, no qual, 𝑎 é gerador do grupo 𝐺. 
 
Proposição: Todo subgrupo de um grupo cíclico é também cíclico. 
 
• Classificação dos grupos cíclicos 
 
Proposições: 
i. Seja [𝑎] = 𝐺 cíclico (infinito) com 𝑎𝑟 ≠ 𝑎𝑠 para 𝑟 ≠ 𝑠 ⇒ 𝑓: ℤ → 𝐺; 𝑓(𝑟) = 𝑎𝑟 é um isomorfismo. 
ii. Dado [𝑎] = 𝐺 cíclico (finito) com 𝑎𝑟 = 𝑎𝑠 para 𝑟 ≠ 𝑠 ⇒ 𝑎ℎ = 𝑒 (ℎ ∈ ℕ) e 𝑎𝑟 ≠ 𝑒 (0 < 𝑟 < ℎ). 
iii. Seja 𝑎 ∈ 𝐺 um elemento do período ℎ > 0, então 𝑎𝑚 = 𝑒 ⇔ ℎ|𝑚. 
 
• Classes laterais 
Def.: Sejam (𝐺,∗) um grupo e 𝐻 ⊂ 𝐺; 𝑎 ∈ 𝐺, tem-se, classe lateral a esquerda de 𝑯 o conjunto 
 𝑎 ∗ 𝐻 = {𝑎 ∗ ℎ, ℎ ∈ 𝐻} e à direita 𝐻 ∗ 𝑎 = {ℎ ∗ 𝑎, ℎ ∈ 𝐻}. 
 
Proposições: 
𝑃1) 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 ⇔ 𝑎
−1𝑏 ∈ 𝐻. 
𝑃2) 𝑎𝐻 = 𝐻 ⇔ 𝑎 ∈ 𝐻. 
𝑃3) 𝑎𝐻 ∩ 𝑏𝐻 ≠ ∅ ⇒ 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻. 
𝑃4) |𝑎𝐻| = |𝐻| (Ordem de 𝐻 = ordem 𝑎𝐻). 
𝑃5) 𝐻 < 𝐺; 𝑎1𝐻, … 𝑎𝑘𝐻 ⇒ 𝐺 = 𝑎1𝐻 ∪ … ∪ 𝑎𝑘𝐻. 
𝑃6) (𝐺,∗) finito, tal que, 𝐻 < 𝐺 ⇒ |𝐻| divide |𝐺|. 
 
• Multiplicação de subconjunto 
Def.: Dado um grupo (𝐺,∗) com 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝐺, o produto 𝑨𝑩, é tal que, 𝐴𝐵 = ∅ para 𝐴 = ∅ ou 𝐵 = ∅, 
caso contrário, 𝐴𝐵 = {𝑥𝑦; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵}. 
 
• Subgrupos normaisDef.: Um subgrupo 𝑁 de um grupo 𝐺 é normal quando 𝑥𝑁 = 𝑁𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐺. 
 
Proposição: ( 𝑎𝑁)(𝑏𝑁) = (𝑎𝑏)𝑁 e [(𝑎𝑁)(𝑏𝑁)](𝑐𝑁) = (𝑎𝑁)[(𝑏𝑁)(𝑐𝑁)], ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺. 
A diferença de 𝑎 por 𝑏 é o 
elemento 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). 
Um anel é 
finito quando 
𝐴 é infinito. 
• Grupos quocientes
 
Propriedades: 
i. (𝑎𝑁)(𝑏𝑁) = (𝑎𝑏)𝑁 
ii. [(𝑎𝑁)(𝑏𝑁)](𝑐𝑁) = (𝑎𝑁)[(𝑏𝑁)(𝑐𝑁)] 
iii. (𝑎𝑁)(𝑒𝑁) = (𝑎𝑒)𝑁 = 𝑎𝑁 
iv. (𝑎𝑁)(𝑎−1𝑁) = (𝑎𝑎−1)𝑁 = 𝑒𝑁 
 
Def.: Sejam 𝐺 um grupo e 𝑁 um subgrupo normal de 𝐺, o grupo quociente de 𝐺 por 𝑁 é o conjunto 
𝐺
𝑁
 e 
a restrição aos elementos desse conjunto da multiplicação de subconjuntos de 𝐺. 
 
Proposição: 𝜇: 𝐺 →
𝐺
𝑁
; 𝜇(𝑎) = 𝑎𝑁 é um homomorfismo sobrejetor de grupos cujo núcleo é 𝑁. 
 
Def.: Dado um subgrupo normal 𝑁 de 𝐺, o homomorfismo 𝜇: 𝐺 →
𝐺
𝑁
; 𝜇(𝑎) = 𝑎𝑁 é canônico de 𝐺 sobre 
𝐺
𝑁
. 
 
Teoremas do homomorfismo: 
i. Se 𝑓: 𝐺 → 𝐿 é um homomorfismo, então o núcleo é um subgrupo normal de 𝐺 e, portanto, 
𝐺
𝑁
 é um grupo. 
ii. Se além disso 𝑓: 𝐺 → 𝐿 é sobrejetor e 𝑁 é o núcleo de 𝑓, então o grupo 
𝐺
𝑁
 é isomorfismo ao grupo 𝐿. 
 
6. Anéis 
Def.: Um anel é um sistema matemático constituído por um conjunto 𝐴 ≠ ∅ e as operações de adição 
((𝑥, 𝑦) → 𝑥 + 𝑦) e multiplicação ((𝑥, 𝑦) → 𝑥 ∙ 𝑦), tais que, (𝐴, +) seja um grupo abeliano e a 
multiplicação é associativa e distributiva em relação à adição. 
 
Propriedades: dado um anel (𝐴, +,∙) tem-se.
i. O elemento neutro (0𝐴 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙) e o oposto (−𝑎) são únicos. 
ii. 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} ⇒ −(𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎𝑛) = (−𝑎1) + (−𝑎2) + … + (−𝑎𝑛). 
iii. A equação 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 tem solução única igual à 𝑥 = 𝑏 + (−𝑎). 
iv. −(−𝑎) = 𝑎 
v. 𝑎 + 𝑥 = 𝑎 + 𝑦 ⇒ 𝑥 = 𝑦 
vi. 𝑎 ∙ 0 = 0 ∙ 𝑎 = 0 
vii. 𝑎 ∙ (−𝑏) = −(𝑎 ∙ 𝑏) 
viii. (−𝑎) ∙ (−𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏 
ix. 𝑎 ∙ (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 − 𝑎 ∙ 𝑐 
 
• Anéis especiais 
▪ Anéis numéricos: (ℤ, +,∙), (ℚ, +,∙), (ℝ, +,∙) e (ℂ, +,∙). 
▪ Classe de restos módulo 𝒎: (ℤ𝑚, +,∙), no qual, 𝑚 ∈ ℕ
∗ e ℤ𝑚 = {0̅, 1̅, 2̅, … , 𝑚 − 1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅}. 
▪ Matrizes: (𝑀𝑛(ℤ𝑚), +,∙), (𝑀𝑛(ℤ), +,∙), (𝑀𝑛(ℚ), +,∙), (𝑀𝑛(ℝ), +,∙) e (𝑀𝑛(ℂ), +,∙). 
▪ Funções: 𝑓 + 𝑔: ℤ → ℤ; (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) e 𝑓 ∙ 𝑔: ℤ → ℤ; (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥). 
 
• Subanéis 
Def.: O conjunto 𝐿 ⊂ 𝐴; 𝐿 ≠ ∅ é subanel de (𝐴, +,∙), caso (𝐿, +,∙) seja um anel e 𝐿 esteja fechado para 
as operações que fazem de 𝐴 um anel. 
 
Proposição: 𝐿 é subanel de 𝐴 ⇔ 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐿, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿. 
1𝐴 é a unidade de 𝐴. 
𝑈(𝐾) = 𝐾∗ é o conjunto dos elementos inversíveis 
de um anel, tal que, 𝑈(𝐾) ≠ ∅ e 0 ∉ 𝑈(𝐾). 
• Tipos de anéis 
▪ Comutativo: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 ▪ Unidade: ∃! 1𝐴 ∈ 𝐴; 𝑎 ∙ 1𝐴 = 1𝐴 ∙ 𝑎 
 
Def.: A potência em um anel fica definida por 𝑎𝑛; 𝑎0 = 1𝐴 e 𝑎
𝑛+1 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑎, com 𝑛 ∈ ℕ. 
 
Proposição: 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 e (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 com 𝑎 ∈ 𝐴 (anel com unidade) e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. 
 
Def.: Seja 𝐿 um subanel de 𝐴, ambos com unidade, caso 1𝐴 = 1𝐿 diz-se que 𝐿 é subanel unitário de 𝐴. 
 
▪ Comutativo com unidade: multiplicação é comutativa e possui unidade. 
▪ Integridade ou domínio: anel comutativo com unidade, no qual, verifica-se a lei do anulamento do 
produto, isto é, 𝑎 ∙ 𝑏 = 0𝐴 ⇔ 𝑎 = 0𝐴 ou 𝑏 = 0𝐴, com 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. 
 
Proposições: 
i. Um anel de classes de restos ℤ𝑚 é um anel de integridade se, e somente se, 𝑚 é primo. 
ii. Um anel comutativo com unidade é também de integridade se, e somente se, todo elemento não nulo 
é regular para a multiplicação. 
 
7. Corpo 
Def1.: O conjunto 𝐾 é um corpo, caso 𝐾 seja um anel comutativo com unidade, tal que, 𝑈(𝐾) = 𝐾∗. 
Ex.: ℚ, ℝ e ℂ são corpos. 
Proposição: 
i. Todo corpo é um corpo de integridade. ii. Todo anel de integridade finito é um corpo. 
 
Def2.: Um corpo é um objeto matemático (𝐾, +,∙) com 𝐾 ≠ ∅, tal que, 𝐾 é um grupo aditivo abeliano, 
𝐾∗ = 𝐾 − {0} é um grupo multiplicativo abeliano e a multiplicação é distributiva em relação à adição. 
Obs.: 𝐾 é um corpo, caso (𝐾, +,∙) seja um anel comutativo com unidade, tal que, ∀𝑎 ∈ 𝐾∗, ∃𝑎′ ∈ 𝐾∗; 𝑎 ∙ 𝑎′ = 1. 
 
Def.: Um conjunto 𝐿 ≠ ∅; 𝐿 ⊂ 𝐾 é subcorpo de 𝐾, caso seja um grupo e fechado para as operações de 𝐾. 
Ex.: ℚ é subcorpo de ℝ que por sua vez, é subcorpo de ℂ. 
 
Proposição: 𝐿 ≠ ∅; 𝐿 ⊂ 𝐾 é subcorpo de 𝐾 ⇔ {0,1} ⊂ 𝐾, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐿 e 𝑥 ∙ 𝑦−1, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿. 
 
• Homomorfismo de anéis 
Def.: Um homomorfismo do anel (𝐴, +,∙) em um anel (𝐵, +,∙), a toda aplicação 𝑓: 𝐴 → 𝐵, tal que, 
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) e 𝑓(𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴. 
Obs.: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é também homomorfismo de grupo aditivo de 𝐴 em um grupo aditivo 𝐵. 
 
Proposição: 
i. 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é um homomorfismo de grupo ⇒ 𝑓(0𝐴) = 0𝐵, 𝑓(−𝑎) = −𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑎 − 𝑏) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏). 
ii. Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 um homomorfismo sobrejetor de anéis, tal que, 𝐴 possui unidade, tem-se: 
 𝐵 também possui unidade e 𝑓(1𝐴) = 1𝐵.  𝑎 ∈ 𝐴 é inversível ⇒ 𝑓(𝑎) também é 
inversível e [𝑓(𝑎)]−1 = 𝑓(𝑎−1). 
𝑟 é o menor natural. 
iii. Se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é um homomorfismo de anéis e 𝐿 um subanel de 𝐴, então 𝑓(𝐿) é um subanel de 𝐵. 
iv. Se 𝑓: 𝑀 → 𝑁 é um homomorfismo de corpos, 𝑓(1𝑀) ≠ 0𝑁 e 𝐾 um subcorpo de 𝑀, então 𝑓(𝐾) é um 
subcorpo de 𝑁. 
v. Se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑓: 𝐵 → 𝐶 são homomorfismo de anéis, então 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 também será. 
 
• Núcleo 
Def.: 𝑁(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐴; 𝑓(𝑥) = 0𝐵}, no qual, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é um homomorfismo de anéis. 
 
Proposição: Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 um homomorfismo de anéis. 
i. 𝑁(𝑓) é um subanel de 𝐴 ii. 𝑓 é injetor ⇔ 𝑁(𝑓) = {0𝐴} 
 
• Isomorfismo de anéis 
Def.: Chama-se isomorfismo do anel 𝐴 no anel 𝐵, caso 𝑓: 𝐴 → 𝐵 seja um homomorfismo de anéis com 
𝑓 bijetiva. 
 
Proposição: Se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é um isomorfismo de anéis, então 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 também é um isomorfismo de anéis. 
 
• Quociente em um corpo 
 
Proposição: Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 elementos de um corpo 𝐾. Se 𝑏 ≠ 0 e 𝑑 ≠ 0, então: 
i. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 
ii. 
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑±𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
iii. 
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 
iv. −
𝑎
𝑏
=
−𝑎
𝑏
=
𝑎
−𝑏
 
v. (
𝑎
𝑏
)
−1
=
𝑏
𝑎
, com 𝑎 ≠ 0 
Def.: (𝐾, +,∙) é o corpo das frações de um anel de integridade, caso tenha-se 𝑘 = {
𝑎
𝑏
∈ 𝐴 × 𝐴∗; 𝑎 ∈
𝐴 𝑒 𝑏 ∈ 𝐴∗} e uma relação sobre 𝐴 × 𝐴∗ definida como 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⇔ (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) ⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐. 
 
• Múltiplos m-ésimo de 𝒂 ∈ (𝑨, +,∙) 
Def.: 𝑚 ∙ 𝑎 = {
0 ∙ 𝑎 = 0𝐴
𝑚 ∙ 𝑎 = (𝑚 − 1) ∙ 𝑎 + 𝑎, 𝑠𝑒 𝑚 ≥ 1
𝑚 ∙ 𝑎 = (−𝑚) ∙ (−𝑎), 𝑠𝑒 𝑚 < 0
 
 
Propriedades imediatas: 
i. 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑛 ∙ 𝑎 = (𝑚 + 𝑛) ∙ 𝑎 
ii. (−𝑚) ∙ 𝑎 = −(𝑚 ∙ 𝑎) 
iii. 𝑛 ∙ (𝑚 ∙ 𝑎) = (𝑛 ∙ 𝑚) ∙ 𝑎 
Proposição: ( 𝑚 ∙ 𝑛) ∙ 1𝐴 = (𝑚 ∙ 1𝐴) ∙ (𝑛 ∙ 1𝐴), com 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ e 𝐴 um anel com unidade. Daí, 𝐵 = ℤ ∙
1𝐴 = {𝑚 ∙ 1𝐴; 𝑚 ∈ ℤ} é um subanel unitário de 𝐴. 
 
• Característica de um anel 𝒄(𝑨) 
Def.: Seja 𝐴 um anel, 𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑛 ∙ 𝑎 = 0; ∃𝑟 ∈ ℕ∗; 𝑟 ∙ 𝑎 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐴. Assim, 𝑟 = 𝑐(𝐴). 
 
Proposições: 
i. ℎ ∈ ℕ é característica de 𝐴 ⇔ ℎ é o menor natural positivo, tal que, ℎ ∙ 1𝐴 = 0𝐴. 
ii. 𝑐(𝐴) ≠ 0 ⇒ 𝑐(𝐴) seja um número primo iii. Dois anéis isomorfos têm a mesma 
característica. 
Def.: Seja 𝐾 um corpo, tem-se 𝑐(𝐾) = 𝑝 (primo) ou 𝑐(𝐾) = 0, (pois todo corpo é um anel de integridade).