MMC e MDC - Resumo

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Resumos Vestibulandia - MMC e MDC
Conceitos de Múltiplo e Divisor Todos os números primos (entre 1 e 100):
Os conceitos de múltiplo e divisor estão relacionados 
apenas a números inteiros. Ou seja: se os números 
envolvidos não são inteiros, não podemos falar em 
múltiplo nem em divisor.
Múltiplo de um número: É o valor inteiro obtido do 
produto desse número por um inteiro.
Exemplos
 é múltiplo de , pois 3 = 
 é múltiplo de , pois 0 × = 
12 12
0 0
4 4
4 4
× 
Divisor de um número: É o valor inteiro obtido da 
divisão desse número por um inteiro.
 é divisor de , pois : 3 = 
 é divisor de , pois : 4 = 
 ® O número é divisor de qualquer inteiro.
 ® O número é múltiplo de qualquer inteiro.
Resumidamente:
× = , então podemos dizer que:
® é divisor de 
® é divisor de 
® é múltiplo de 
® é múltiplo de .
Nota: apesar de os conceitos de divisor e múltiplo 
poderem envolver os números negativos (que também 
são inteiros) alguns autores consideram apenas os 
divisores e múltiplos como conceitos relativos apenas 
aos naturais. No entanto, praticamente todos os 
vestibulares da atualidade consideram essas definições 
(divisores e múltiplos) como válidas inclusive para os 
negativos. Já os conceitos como Números Primos, MMC 
e MDC normalmente trabalham apenas considerando os 
números naturais e o zero.
Número Primo
A partir daqui vamos considerar apenas os naturais. Um 
número é considerado primo quando é divisível 
APENAS por 1 e por ele mesmo, ou seja, o número 
primo possui APENAS dois divisores naturais.
Exemplo:
® 2 é primo 
® 9 não é primo 
 Nota: O número 1 não é primo.
4 4
1 1
1
0
5 3
5
3
5
3
(divisores naturais: 1 e 2)
(divisores naturais: 1 ,3 e 9)
12 12
4 4
15
15
15
15
15
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.
Decomposição em Fatores Primos
Qualquer número natural (maior que 1) pode ser 
decomposto em um produto (multiplicação) de fatores 
primos (repetidos ou não). Eventualmente, esse produto 
pode ter apenas um fator (no caso do número ser primo).
Exemplos:
 
® = 2 × 2
® = 5
® = 2 × 3
4
5
6
Como decompor em fatores primos?
Basta realizarmos uma série de divisões sucessivas por 
primos, desde que a divisão seja possível (repetindo a 
divisão pelo mesmo primo, se necessário) até obtermos o 
valor final 1. 
Exemplos:
24
12
 6
 3
 1
2
2
2
3
324 32 ·=
75
25
 5
 1
 
3
5
5
275 3·5=
56
28
14
 7
 1
 
2
2
2
7
356 2 7·=
MMC - Mínimo Múltiplo Comum
O MMC é o menor múltiplo possível entre dois ou mais 
números naturais. Para obter o MMC, basta fazermos a 
decomposição simultânea em fatores primos dos 
números desejados. O MMC será então o produto dos 
fatores primos desta decomposição.
Exemplo: Calcular o MMC entre 24 e 18
24, 18
12, 9
 6, 9
 3, 9
 1, 3
 1, 1
2
2
2
3
3
3 2MMC (24,18) 2 ·3 · 28 9 7== =
Resumos Vestibulandia - MMC e MDC
MMC - Algumas Dicas Como reconhecer problemas de MMC?
® 
® Se um dos números é múltiplo de todos os demais, 
então este número é o MMC do grupo.
Exemplo: MMC (3, 5, 15) = 15
O MMC entre dois números primos é o produto desses 
números.
Exemplo: MMC (7, 5) = 7 · 5 = 35 
Normalmente, problemas de MMC tratam de padrões 
que se repetem de tempos em tempos ou possuem uma 
ideia similar a esta.
Exemplo de Problema de MMC
O cometa A é visto de 4 em 4 anos, enquanto o cometa B é 
visto de 3 em 3 anos. Se neste ano os dois cometas foram 
vistos, daqui a quanto tempo eles serão vistos 
novamente?
Resposta: Para que os cometas sejam vistos novamente 
num mesmo ano, esse ano precisa ser um múltiplo 
comum a 3 e 4. Como queremos o menor múltiplo entre 
esses valores (afinal queremos ver os dois cometas no 
tempo mais breve possível) temos aqui um problema de 
MMC. Logo, o tempo procurado é o MMC entre 3 e 4, 
que vale 12. Dessa forma, os cometas serão vistos 
novamente daqui a 12 anos.
MDC - Máximo Divisor Comum
® O MDC representa o maior divisor comum entre dois 
ou mais inteiros. 
Quando o MDC entre dois ou mais números vale 
1, dizemos que esses números são primos entre 
si
Cálculo do MDC
Para obter o MDC, basta fazermos a decomposição 
simultânea em fatores primos dos números desejados, da 
mesma forma que fizemos no cálculo do MMC. A 
diferença é que iremos sempre marcar (por exemplo, com 
uma flecha) as linhas em que todos os valores foram 
divididos pelo mesmo primo. O MDC será então o 
produto de todos esses fatores primos marcados.
24, 18
12, 9
 6, 9
 3, 9
 1, 3
 1, 1
2
3
2
2
3
MDC (24,18) 2 ·3 6= =
®
®
(24 e 18 dividem por 2)
(3 e 9 dividem por 3)
Propriedade do MMC × MDC
O produto do MMC pelo MDC de dois números é igual 
ao produto desses mesmos dois números.
Nota: essa propriedade só é válida para DOIS números.
Exemplo:
MMC (24,18) = 72
MDC (24,18) = 6
Note que: 72 ·6 24 ·18=
Como reconhecer problemas de MDC?
Problemas de MDC são mais raros que os de MMC. 
Normalmente são questões que pedem a divisão de um 
valor com a máxima dimensão possível, o qual é divisor 
de dois outros números na pergunta.
Um enxadrista quer decorar uma parede retangular 
dividindo-a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de 
xadrez. A parede mede 440 cm por 275 cm. Qual o deve 
ser o tamanho do lado do quadrado se ele quer o menor 
número de quadrados possível colocados na parede?
Exemplo de Problema de MMC
Resposta: Para que o número de quadrados seja o menor 
possível, o tamanho dos quadrados deve ser o maior 
possível. E como as dimensões vertical e horizontal do 
quadrado precisam ser iguais (afinal, o quadrado tem 
lados iguais) o valor do lado deve ser igualmente divisor 
de 440 e de 275. Como queremos o maior divisor 
possível (para que o número de quadrados seja mínimo) 
temos um problema de MDC.
Calculando o MDC(440,275) vamos obter 55. Logo, o 
tamanho do lado de cada quadrado é de 55 cm.
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