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Determinantes (Resumo)

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Ex.: 
𝑑𝑒𝑡 (
1 2 0 −1
1 3 6 9
4
2
1
2
2
3
0
−4
) = 𝑑𝑒𝑡 (
3 − 2 ∙ 1 6 − 0 ∙ 1 9 − (−1) ∙ 1
1 − 2 ∙ 4 2 − 0 ∙ 4 0 − (−1) ∙ 4
2 − 2 ∙ (−2) 3 − 0 ∙ (−2) −4 − (−1) ∙ (−2)
) = 𝑑𝑒𝑡 (
1 6 10
−7 2 4
6 3 −6
) 
 
 
DETERMINANTES 
 
 Matriz quadrada de ordem 2 
 
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 
 − + 
 Regra de Sarrus para matriz de ordem 3 
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
𝑎12 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| 
− − − + + + 
 
 Regra de Chió 
 
i. Sendo 𝑎11 = 1, suprime-se a 1° linha e a 1° coluna da matriz; 
ii. De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos dois elementos suprimidos na linha e na coluna 
desse elemento restante; 
iii. A matriz resultante possui o mesmo determinante da matriz anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 Propriedades 
 
i. Fila de zeros: Se todos os elementos de uma linha ou coluna são iguais a zero, então 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 0; 
ii. Filas iguais: Se os elementos correspondentes de duas linhas ou colunas são iguais, então 
𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 0; 
iii. Filas proporcionais: Se duas linhas ou colunas são proporcionais, então 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 0; 
iv. Multiplicação de uma fila por 𝛼 ∈ ℝ: Se uma linha ou coluna for multiplicada por 𝛼 ∈ ℝ, então o 
determinante fica multiplicado por 𝛼 ∈ ℝ. 
v. Multiplicação de uma matriz por 𝛼 ∈ ℝ: 𝑑𝑒𝑡(𝛼 ∙ 𝑀𝑛) = 𝛼
𝑛 ∙ 𝑑𝑒𝑡(𝑀𝑛) com 𝑀 = (𝑚𝑖𝑗)𝑛𝑋𝑛; 
vi. Transposta: 𝑑𝑒𝑡(𝑀𝑡) = 𝑑𝑒𝑡(𝑀); 
vii. Troca de filas paralelas: 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = −𝑑𝑒𝑡(𝑀′); 
viii. Matriz triangular: O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal; 
ix. Teorema de Binet: 𝑑𝑒𝑡(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ∙ 𝑑𝑒𝑡(𝐵) com 𝐴 e 𝐵 de mesma ordem; 
x. Teorema de Jacobi: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz 
𝐴 pelo mesmo número e somar os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou 
coluna) formando a matriz 𝐵, então 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐵); 
xi. Inversa: 𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) =
1
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
.

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