Matrizes (Resumo)

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MATRIZES 
 
Def1.: Tabela retangular formada por 𝑚 ∙ 𝑛 números reais dispostos em m linhas e n colunas. 
 
 Representação 
 
𝐴 = [
𝑎11
𝑎21
𝑎12
𝑎22
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
] 
 
• Matriz 𝐴 dos elementos 𝑎𝑖𝑗 de ordem 𝑚𝑋𝑛; 
• 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑋𝑛
 ou ‖𝑎𝑖𝑗‖𝑚𝑋𝑛
 com 
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, ∀𝑖,𝑗∈ ℕ; 
 Classificação 
 
i. Quadrada: 𝑚 = 𝑛, (matriz de ordem 𝑛𝑋𝑛); 
ii. Triangular: elementos acima ou abaixo da 
diagonal principal são nulos; 
iii. Diagonal: elementos acima e abaixo da 
diagonal principal são nulos. 
iv. Identidade (𝐼𝑛): matriz quadrada em que 
todos os elementos da diagonal principal 
são iguais a 1 e os demais iguais a 0. 
v. Nula: possui todos os elementos iguais a 0. 
 
Dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛
, 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛
 e 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛
, temos: 
 
 Igualdade 
 
𝐴 = 𝐵 ⇔ (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛
 =(𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛
. 
 
 Soma 
 
𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 
 
Propriedades da soma 
 
i. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 
ii. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) 
iii. 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 (𝟎 → matriz nula) 
iv. 𝐴 + (−𝐴) = −𝐴 + 𝐴 = 0 
 (−𝑨 → matriz oposta) 
 
 
 Subtração 
 
𝐴 − 𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 
Def2.: Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛, 𝐴
𝑡 = (𝑎𝑗𝑖)𝑛𝑋𝑚 é a 
transposta de 𝐴. 
 
 Multiplicação de matrizes 
 
Sejam 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛, 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑛𝑋𝑝 e 
𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑝, a multiplicação, 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶 é 
dado multiplicando ordenadamente os 
elementos da linha 𝑖 de 𝐴 pelos elementos da 
coluna 𝑗 de 𝐵 e somando-se os produtos. 
 Multiplicação de matriz por 𝜶 ∈ ℝ 
 
𝛼 ∙ 𝐴 = [
𝛼 ∙ 𝑎11 ⋯ 𝛼 ∙ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝛼 ∙ 𝑎𝑚1 ⋯ 𝛼 ∙ 𝑎𝑚𝑛
] 
 
 Matriz inversa 
 
𝑋 = 𝐴−1 ⟺ 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝑋 ∙ 𝐴 = 𝐼𝑛