Lista - Notas_Aula_F128 (1)

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Notas de Aula
Fı́sica Geral I (F 128)
Prof. Rickson C. Mesquita
Prof. Pedro C. de Holanda
Instituto de Fı́sica “Gleb Wataghin”
Universidade Estadual de Campinas
IFGW - UNICAMP
Copyright © 2019
Prof. Rickson C. Mesquita
Prof. Pedro C. de Holanda
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Art. No 0317
ISBN 978–11–3991–71–9
Edition 0.1
Cover design by Cover Designer
Published by Instituto de Fı́sica “Gleb Wataghin”
Universidade Estadual de Campinas
IFGW - UNICAMP
Printed in Campinas, SP (Brasil)
Sumário
1 Introdução à Fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 O método cientı́fico 7
1.2 Grandezas Fı́sicas 8
1.2.1 Grandezas fı́sicas fundamentais 8
1.2.2 Unidades 9
1.2.3 Notação Cientı́fica 9
1.3 Algarismos significativos 10
1.4 Estimativas e ordem de grandeza 11
1.5 Análise Dimensional 11
1.6 Questões de revisão 12
1.7 Problemas 12
2 Movimento em 1 dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Descrição do movimento 14
2.1.1 Representação gráfica 15
2.1.2 Representação matemática 15
2.2 Posição, deslocamento e distância percorrida 16
2.3 Velocidade média e velocidade escalar média 16
2.4 Velocidade instantânea 17
2.5 Movimento com velocidade constante 17
2.6 Posição, deslocamento e velocidade como vetores 18
3
2.7 Variações na velocidade: aceleração 18
2.7.1 Movimento com aceleração constante 18
2.8 Questões de revisão 20
2.9 Problemas 21
3 Momento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Atrito 24
3.2 Inércia 25
3.3 Quantidade de movimento ou momento linear 27
3.4 Sistemas 27
3.5 Conservação do momento 29
3.6 Outras questões de revisão 30
3.7 Problemas 31
4 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Classificação de Colisões 35
4.2 Energia Cinética 36
4.3 Colisões Elásticas 37
4.4 Colisões Inelásticas 37
4.5 Energia Interna 37
4.6 Conservação de Energia 39
4.7 Separações Explosivas 40
4.8 Outras questões de revisão 41
4.9 Problemas 42
5 Interações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1 Os efeitos das interações 44
5.2 Energia potencial 46
5.3 Dissipação de energia 47
5.4 Fontes de energia 49
5.5 Tipos de interações 49
5.5.1 Interações não-dissipativas 49
5.5.2 Interações dissipativas 50
5.6 Um exemplo de interação não-dissipativa: queda livre 51
5.7 Outras questões de revisão 52
5.8 Problemas 52
6 Revisão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Problemas 55
7 Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1 Força e momento 58
7.2 A reciprocidade das forças 60
7.3 Equilı́brio translacional 61
7.4 Diagrama de corpo livre 62
7.5 Tipos de forças 62
7.6 A força gravitacional 63
7.6.1 A força gravitacional próxima da superfı́cie da Terra 63
7.7 Forças de contato 64
7.7.1 Molas 64
7.7.2 Força de tensão 64
7.7.3 Força de compressão ou normal 65
7.8 Impulso 66
7.9 Sistemas de objetos interagindo entre si 66
7.9.1 Sistemas de dois objetos 66
7.9.2 Sistemas de vários objetos interagindo entre si 68
7.10 Centro de massa 68
7.10.1 Generalização para um sistema com vários objetos 69
7.11 Outras questões de revisão 69
7.12 Problemas 70
8 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.1 Força e deslocamento 73
8.2 Trabalho positivo e negativo 74
8.3 Trabalho realizado sobre uma única partı́cula 75
8.4 Escolha do sistema 76
8.5 Trabalho realizado sobre um sistema de várias partı́culas 78
8.6 Forças variáveis 79
8.7 Potência 80
8.8 Outras questões de revisão 81
8.9 Problemas 82
9 Movimento no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.1 O termo “em linha reta” é relativo 85
9.2 Vetores num plano 86
9.3 Movimento de um objeto em duas dimensões 88
9.4 Colisões e momento em duas dimensões 90
9.5 Decomposição de forças 90
9.6 Trabalho como produto de dois vetores 91
9.7 Atrito 92
9.8 Trabalho e atrito 94
9.9 Problemas 94
10 Movimento num Cı́rculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.1 Cinemática rotacional 98
10.1.1 Movimento circular com velocidade constante 102
10.1.2 Sistema de coordenadas 102
10.2 Forças e movimento circular 103
10.3 Inércia rotacional 104
10.3.1 Energia cinética de rotação 104
10.4 Momento angular 105
10.5 Inércia rotacional de objetos extensos 107
10.6 Outras questões de revisão 109
10.7 Problemas 110
11 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.1 Torque 115
11.2 Rotação livre 119
11.3 Extensão dos diagramas de corpo livre 120
11.4 Movimento de rolamento 121
11.5 Torque e energia 124
11.6 A natureza vetorial da rotação 125
11.7 O produto vetorial 126
11.8 Problemas 129
A Respostas dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1. Introdução à Fı́sica
Muito provavelmente você está fazendo esta disciplina de Fı́sica porque ela é obrigatória para
o seu curso, e talvez não esteja claro porque você deveria fazer esta disciplina. Um primeiro
bom motivo para fazer uma disciplina de Fı́sica é que, primeiramente e mais importante, a
Fı́sica fornece um conhecimento fundamental do mundo. Além disto, independente de você
estudar Engenharia, Geologia, Licenciatura, Biologia, Quı́mica ou Fı́sica, ou qualquer outra
formação, disciplinas de Fı́sica são uma excelente oportunidade para você adquirir habilida-
des de raciocı́nio lógico. Saber Fı́sica significa se tornar um melhor resolvedor de problemas
(independentemente do tipo de problema!), e se tornar um bom resolvedor de problemas leva
a um benefı́cio impagável no longo prazo: permite que você tenha uma metodologia clara de
como abordar um problema desconhecido, o que vai lhe dar mais confiança (e aqui quero di-
zer qualquer problema real, não problemas de livro texto). Portanto, antes de começar nossa
jornada vamos mapear questões fundamentais da Fı́sica como ciência, para que você entenda
com o que estará lidando nos próximos meses.
Referências para leitura: Halliday (capı́tulo 1) e Bauer (capı́tulo 1).
1.1 O método cientı́fico
Definição 1.1 (Método Cientı́fico) O método cientı́fico é um processo iterativo baseado
na observação, que permite formular uma hipótese e uma teoria validada experimen-
talmente (Figura 1.1). Se as predições feitas pela hipótese provam ser precisas após a
realização de testes experimentais, a hipótese é chamada de teoria ou lei, mas sempre
está sujeita a novos testes experimentais. Consequentemente, toda hipótese cientı́fica
deve ser testada experimentalmente.
Um modelo é uma representação conceitual de um fenômeno. Uma teoria é uma explicação
bem testada de um fenômeno natural em termos de processos e relações mais básicas. Uma
lei é uma descrição de uma relação entre quantidades observáveis que se manifesta em even-
tos recorrentes.
7
8 1.2.Grandezas Fı́sicas
Figura 1.1: O método cientı́fico é um processo iterativo na qual uma hipótese, que foi inferida
a partir de observações, é utilizada para fazer uma predição, que é então testada fazendo
novas observações.
1.2 Grandezas Fı́sicas
A Fı́sica se baseia na medição de grandezas fı́sicas. Uma grandeza fı́sica é uma propriedade
fı́sica que pode ser medida e expressa como o produto de um valor numérico e uma unidade.
1.2.1 Grandezas fı́sicas fundamentais
Algumas grandezas fı́sicas, como comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como gran-
dezas fundamentais. Cada uma foi definida por meio de um padrão e recebeu uma unidade
de medida (como metro, segundo e quilograma). Outras grandezas fı́sicas são definidas em
termos das grandezas fundamentais e de seus padrões e unidades.
O tempo mede a duração entre dois eventos, e historicamente sempre foi definido em
termos de um evento periódico (medindo a duração de um mesmo evento acontecer subse-
quentemente). A unidade padrão de medição do tempo é o segundo (s), hoje definido em
termos de oscilações do núcleo de um elemento quı́mico (133Cs).
O comprimento é definido como a medição de distâncias entre dois pontos no espaço. O
metro (m) é a unidade padrão de comprimento, definido como a distância percorrida pela
luz durante um intervalo de tempo especificado.
A massa é a quantidade de matéria em um objeto. Até o ano passado, o quilograma (kg)
era definido a partir de um padrão de massa de platina-irı́dio mantido em um laboratório
nas vizinhanças de Paris. A partir de maio deste ano, utiliza-se a constante de Planck para
sua definição. Para medições em escala atômica, é comumente usada a unidade de massa
atômica, definida a partir do átomo de carbono (12C).
Capı́tulo 1. Introdução à Fı́sica 9
1.2.2 Unidades
O sistema de unidades mais usado atualmente é o Sistema Internacional de Unidades (SI, do
francês, Système International). Os padrões internacionais para essas unidades foram defini-
dos através de acordos internacionais. Esses padrões são usados em todas as medições.
É possı́vel obter múltiplos reconhecidos pelo SI das unidades de base multiplicando-os
por vários fatores de 10. Esses fatores tem abreviações com letras universalmente aceitas que
são usadas como prefixos (Figura 1.2).
Figura 1.2: Prefixos padrão do SI.
A conversão de unidades de uma mesma grandeza fı́sica pode ser feita usando o método
de conversão em cadeia, no qual os dados originais são multiplicados sucessivamente por
fatores de conversão unitários, e as unidades são manipuladas como quantidades algébricas
até que apenas as unidades desejadas permaneçam.
Exemplo 1.1 Converta 2 min em segundos.
Solução:
2min = 2���min ·
( 60s
1���min
)
= 120s
1.2.3 Notação Cientı́fica
Se você quer relatar um número relativamente grande ou pequeno, fica entediante ter de
escreve-lo. Por exemplo, o corpo humano contém aproximadamente 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000
de átomos. Se você usasse esse número com frequência, certamente gostaria de ter uma
notação mais compacta para ele. A notação cientı́fica é exatamente isso. Os valores numéricos
de qualquer grandeza fı́sica podem ser representados através de uma notação que consiste
em uma mantissa e uma potência de dez:
número = mantissa× 10expoente. (1.1)
10 1.3. Algarismos significativos
Portanto, o número de átomos no corpo humano pode ser escrito de forma compacta como
7× 1027.
Outra vantagem da notação cientı́fica é que ela facilita multiplicar ou dividir números
muito grandes ou muito pequenos, pois podemos fazer estas operações de forma indepen-
dente para a mantissa e o expoente.
1.3 Algarismos significativos
Quando certas quantidades são medidas, os valores medidos não são absolutos; eles são
conhecidos dentro dos limites da incerteza experimental. O número de algarismos signi-
ficativos em uma medição pode ser utilizado para expressar algo sobre incerteza. Ele está
relacionado com o número de dı́gitos numéricos para expressar a medida.
O número de dı́gitos que você escreve na mantissa especifica a precisão com que você
alega conhece-la. Quanto mais dı́gitos forem especificados, mais precisão está implicada (Fi-
gura). Portanto, ao computar um resultado de vários números medidos, cada um tendo certa
precisão, você deve fornecer a resposta com o número correto de algarismos significativos.
Ao multiplicar várias quantidades, o número de algarismos significativos na resposta final é
o mesmo que o número de algarismos significativos na quantidade que tem o número menor
de algarismos significativos. A mesma regra se aplica à divisão. Quando valores são adi-
cionados ou subtraı́dos, o número de casas decimais no resultado deve ser igual ao menor
número de casas decimais de qualquer termo na soma ou diferença.
Figura 1.3: Exemplo da importância dos algarismos significativos: dois termômetros me-
dindo a mesma temperatura. (a) O termômetro está marcado em décimos de grau e pode
ser lido com quatro algarismos significativos (36,85oC); (b) o termômetro está marcado em
graus, então pode ser lido com apenas três algarismos significativos (36,8oC).
Capı́tulo 1. Introdução à Fı́sica 11
1.4 Estimativas e ordem de grandeza
Suponha que perguntem a você o número de grãos de areia na praia de Ubatuba. Como
resposta, geralmente não se espera um número exato, mas uma estimativa, que pode ser ex-
pressa em notação cientı́fica. A estimativa pode ser ainda mais aproximada se expressa como
ordem de grandeza, isto é, como uma potência de 10 determinada da seguinte maneira:
1. Expresse o número estimado em notação cientı́fica, com o multiplicador da potência
de 10 entre 1 e 10 e uma unidade;
2. Se o multiplicador for menor que 3,162 (a raiz quadrada de 10), a ordem de grandeza
do número é a potência de 10 na notação cientı́fica. Se o multiplicador for maior que
3,162, a ordem de grandeza é uma vez maior que a potência de 10 na notação cientı́fica.
Utilizamos o sı́mbolo ∼ para expressar “é da ordem de”.
Exemplo 1.2 Com base no procedimento acima, verifique as ordens de grandeza dos
seguintes comprimentos: (a) 0,0086 m ∼ 10−2 m; (b) 0,0021 m ∼ 10−3 m; (c) 720 m
∼ 103 m.
1.5 Análise Dimensional
Em fı́sica, a palavra dimensão denota a natureza fı́sica de uma quantidade. A distância entre
dois pontos, por exemplo, pode ser medida em metros, pés ou polegadas, que são formas
diferentes de expressar a dimensão comprimento (metros e quilômetros são a mesma forma,
apenas com prefixos diferentes).
Em muitas situações é útil verificar uma equação especı́fica para descobrir se ela satisfaz
as expectativas. O procedimento de análise dimensional pode ser utilizado, pois é possı́vel
tratar as dimensões como quantidades algébricas. Por exemplo, quantidades podem ser adi-
cionadas ou subtraı́das somente se tiverem as mesmas dimensões. Seguindo estas regras
simples você pode utilizar a análise dimensional para determinar se uma expressão tem a
forma correta.
Exemplo 1.3 Determinar quais devem ser n e m para que a expressão
x ∝ antm
faça sentido. Na expressão acima, x, a e t representam, respectivamente, a posição, a
aceleração e o tempo.
Solução: Sabemos que a relação é correta somente se os dois lados da equação tiverem
a mesma dimensão. Como a equação do lado esquerdo é comprimento, a do lado
direito também deve ser comprimento. Logo,
[antm] = L = L1T 0.
Como as dimensões de aceleração são L/T 2 e a dimensão do tempo é T , então:( L
T 2
)n
Tm = L1T 0 −→ LnTm−2n = L1T 0
Logo, n = 1 e m− 2n = 0 −→m = 2. Portanto, a expressão deve ter a forma x ∝ at2.
12 1.6. Questões de revisão
1.6 Questões de revisão
Questão 1.1 Quais das seguintes sentenças são hipóteses?
(a) Na Terra, objetos mais pesados caem mais rápido que objetos mais leves.
(b) O planeta Marte é habitado por seres invisı́veisque são capazes de fazer qualquer
observação.
(c) Planetas distantes abrigam alguma forma de vida.
(d) Manipular sapos causa verrugas.
Questão 1.2 Escreva os seguintes números:
a) 3,873 com 2 algarismos significativos.
b) 0,8533 com 2 algarismos significativos.
c) 17,5493 com 2 algarismos significativos.
d) 11,9955 com 3 algarismos significativos.
e) 0,593 com 2 algarismos significativos.
1.7 Problemas
Atividade 1.1 O raio médio da Terra é 6370 km. Pressupondo que existam 7 bilhões
de habitantes no planeta, qual é a área de superfı́cie disponı́vel por pessoa? Escreva
todos os números em notação cientı́fica.
Atividade 1.2 Uma calculadora exibe o resultado 1,3652480×107 kg. A incerteza esti-
mada neste resultado é ±2%. Quantos dı́gitos devem ser incluı́dos como significativos
quando o resultado é escrito?
Atividade 1.3 (a) A distância entre duas cidades é 100 milhas. Em quilômetros, qual
é a distância entre as cidades? (b) Em uma rodovia interestadual numa região rural
norte-americana, um carro viaja a 38 m/s. O motorista está excedendo o limite de
velocidade de 75 mi/h?
Atividade 1.4 Dada a equação w = xyz e x = 1,1 × 103, y = 2,48 × 10−2 e z = 6,000,
determine o valor de w, em notação cientı́fica e com o número correto de algarismos
significativos.
Exercı́cio 1.1 O modo mais comum de medir o consumo de combustı́vel de um carro
no Brasil é quantos quilômetros o carro consegue andar com um litro de combustı́vel
(km/l). Digamos que um carro faça 10 km/l. Calcule este consumo no Sistema Interna-
cional de Unidades.
Exercı́cio 1.2 Suponha que a aceleração a de uma partı́cula movendo-se com veloci-
dade v em um cı́rculo de raio r seja proporcional a alguma potência de r, digamos rn,
Capı́tulo 1. Introdução à Fı́sica 13
e alguma potência de v, digamos vm. Determine os valores de m e n, e escreva a forma
mais simples de uma equação para a aceleração.
Exercı́cio 1.3 Um átomo de hidrogênio tem diâmetro de 1,06 × 10−10 m. O núcleo
deste átomo tem diâmetro de aproximadamente 2,40 × 10−15 m. Encontre a relação
entre o volume do átomo de hidrogênio e o do seu núcleo.
Exercı́cio 1.4 (a) Considere que a equação x = At3 +Bt descreve o movimento de um
objeto, com x tendo a dimensão de comprimento e t, a dimensão de tempo. Determine
as dimensões das constantes A e B. (b) Determine as dimensões da derivada dx/dt =
3At2 +B.
Problema 1.1 Determine quantos algarismos significativos na latitude e na longitude
são necessários para localizar o Ciclo Básico.
Problema 1.2 O fı́sico italiano Enrico Fermi era famoso por fazer perguntas com esti-
mativas. Segundo Fermi, “é melhor estar aproximadamente certo do que exatamente
errado.” Não por acaso, Fermi estimou a energia liberada pela explosão nuclear Trinity
em 16/07/1945, no Novo México (EUA), observando a que distância um pedaço de
papel foi soprado pelo vento com a explosão.
Uma das perguntas famosas de Fermi foi usar a estimativa para determinar a ordem
de grandeza de afinadores de piano em Nova York. Seguindo esta inspiração, estime a
ordem de grandeza de dentistas na cidade de Campinas.
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 1.2, Atividade 1.4, Exercı́cio 1.1, Exercı́cio 1.3, Exercı́cio 1.4
2. Movimento em 1 dimensão
O ramo da fı́sica que lida com representações quantitativas do movimento é chamado de ci-
nemática. A cinemática não considera as causas e os efeitos do movimento; seu objetivo é
somente fornecer uma descrição matemática do movimento. Nesta aula, nós seguimos uma
abordagem cinemática; ou seja, nós representamos o movimento em um gráfico e quantifica-
mos o movimento sem nos preocuparmos com suas causas. Em aulas futuras começaremos
a olhar para as causas do movimento, mas por ora somente nos importaremos com o mo-
vimento enquanto ele está acontecendo. Ao descrever o movimento como representado em
um clip de vı́deo, começamos a desenvolver as qualidades mais básicas na fı́sica: construir
representações simplificadas de situações do mundo real. Você aprenderá como usar tabe-
las, gráficos e funções matemáticas para representar dados do movimento. Finalmente, você
aprenderá a fazer a distinção entre posição e deslocamento.
Referências para leitura: Halliday (capı́tulo 2) e Bauer (capı́tulo 2).
2.1 Descrição do movimento
Para analisar o movimento de um objeto, nós temos que medir a posição do objeto em dife-
rentes instantes de tempo. Se a posição do objeto muda conforme o tempo passa, o objeto
está se movendo. Se a posição não está mudando, o objeto está em repouso.
Figura 2.1: Representação do movimento de uma
pessoa que caminha em linha reta.
Considere o movimento de uma pessoa
que anda em linha reta (Figura 2.1). Uma
forma de registrar o movimento desta pes-
soa é tirar fotos da posição desta pessoa em
relação a um ponto especı́fico (digamos, por
exemplo, o canto esquerdo da Figura 2.1),
e anotar todos estes dados numa tabela (Fi-
gura 2.2(A)). A mesma informação pode ser
mostrada graficamente, onde a posição em
relação ao canto esquerdo é graficada em
função do número da foto (Figura 2.2(B)).
14
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão 15
Figura 2.2: (A) Tabela com a posição da pessoa em cada foto tirada. (B) Representação gráfica
dos dados da tabela.
2.1.1 Representação gráfica
Figura 2.3: Através da interpolação dos pontos
na Figura 2.2, podemos obter uma curva contı́nua
e suave que representa o movimento.
A Figura 2.2(B) mostra a posição em ape-
nas alguns instantes de tempo. Mas se repe-
tirmos as medidas em intervalos de tempo
cada vez menores, a distância entre os pon-
tos se torna cada vez menor, e eventual-
mente o gráfico vai parecer mais uma curva
contı́nua do que um conjunto discreto de
pontos. Se assumirmos que o movimento
ocorre de forma suave de ponto a ponto no
tempo, podemos obter o mesmo resultado
interpolando os pontos da Figura 2.2. Em
outras palavras, desenhando uma curva su-
ave através dos pontos, como na Figura 2.3.
2.1.2 Representação matemática
A curva da Figura 2.3 é chamada de uma
curva x(t) porque ela pode ser representada
por uma função matemática x(t). A curva e a função especificam onde o objeto está num
dado instante. Note que x(t) é um único sı́mbolo que significa “posição x no instante t”; não
é o produto de x por t, e também não deve ser confundido com a unidade em gráficos, x(m),
que significa “posição x em unidades de metros”.
Assim, para encontrar a posição de um objeto num instante de tempo especı́fico, pode-
mos ler a posição diretamente do gráfico ou substituir o instante de tempo numa função. Por
exemplo, x(t = 0,2s) dá a posição do objeto em t = 0,2s.
16 2.2. Posição, deslocamento e distância percorrida
2.2 Posição, deslocamento e distância percorrida
A posição x de uma partı́cula em um eixo x mostra a que distância a partı́cula se encontra
de um determinado ponto (que denominamos a origem, ou ponto zero) do eixo. Matemati-
camente, a posição pode ser positiva ou negativa, dependendo do lado em que se encontra a
partı́cula em relação à origem. O sentido positivo de um eixo é o sentido em que os números
que indicam a posição da partı́cula aumentam de valor; o sentido oposto é o sentido negativo.
Figura 2.4: Representação do meu movimento, de
um ponto inicial a um ponto final.
Quando uma partı́cula se move ao longo
de um eixo, partindo de uma posição inicial
xi até uma posição final xf (Figura 2.4), o
deslocamento ∆x da partı́cula é dado por:
∆x = xf − xi .
A distância percorrida é a distância
acumulada por um objeto ao longo da
trajetória de movimento, independente da
direção. Matematicamente, a distância per-
corrida d entre dois pontos x1 e x2 é dada
por:
d = |x1 − x2|.
2.3 Velocidade média e velocidade escalar média
Quando uma partı́cula se desloca de uma posição x1 para uma posição x2 durante um in-
tervalo de tempo∆t, a velocidade média da partı́cula durante esse intervalo é dada por:
Figura 2.5: Representação gráfica do movimento
em duas velocidades diferentes. Caminhar com
metade da velocidade leva o dobro do tempo para
se deslocar na mesma distância.
vmed ≡
∆x
∆t
.
Na representação gráfica, a velocidade
média em um intervalo de tempo ∆t é igual
à inclinação da curva que representa as duas
extremidades do intervalo (Figura 2.5).
A velocidade média não depende da
distância que uma partı́cula percorre, mas
apenas das posições inicial e final. A
velocidade escalar média vescalarmed de uma
partı́cula durante um intervalo de tempo ∆t
depende da distância total percorrida pela
partı́cula nesse intervalo:
vescalarmed ≡
d
∆t
.
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão 17
2.4 Velocidade instantânea
Frequentemente precisamos saber a velocidade de uma partı́cula num instante especı́fico no
tempo t, em vez da velocidade média por um intervalo de tempo finito ∆t. Podemos fazer isso
calculando a velocidade média em intervalos de tempo ∆t cada vez mais curtos (Figura 2.6).
Quando tomamos um intervalo de tempo ∆t muito curto, muito próximo de zero, estamos
calculando a velocidade média num intervalo tão pequeno que podemos aproxima-lo para a
velocidade no instante t, ao redor de ∆t.
Matematicamente, a velocidade instantânea, geralmente referida simplesmente como
velocidade, no tempo t é:
v ≡ lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
, (2.1)
onde a notação ddt representa a derivada de uma função em relação ao tempo. Na representação
gráfica, a velocidade instantânea num tempo t é equivalente à curva tangente no ponto t.
Figura 2.6: Velocidade instantânea como limite da razão entre deslocamento e intervalo de
tempo: (a) velocidade média sobre um intervalo de tempo longo; (b) velocidade média sobre
um intervalo de tempo mais curto; (c) velocidade instantânea em um tempo especı́fico, t3.
2.5 Movimento com velocidade constante
Para um objeto que se move com velocidade constante, se tomarmos qualquer intervalo de
tempo ∆t a velocidade média será sempre a mesma. Logo, a velocidade em qualquer instante
de tempo t deste objeto será sempre igual à velocidade média, de forma que:
vmed = v =
∆x
∆t
=
xf − xi
∆t
−→ xf = xi + v∆t
18 2.6. Posição, deslocamento e velocidade como vetores
2.6 Posição, deslocamento e velocidade como vetores
Algumas grandezas fı́sicas são totalmente especificadas por um número, que pode ser po-
sitivo ou negativo, e uma unidade de medida. Estas grandezas são chamadas de grandezas
escalares, e obedecem às regras da aritmética e da álgebra elementar. Exemplos de grande-
zas fı́sicas escalares são a temperatura e o tempo.
Outras grandezas, como a posição, o deslocamento e a velocidade, não são totalmente
descritas por um único valor numérico e unidade. Para especifica-las totalmente, é ne-
cessário também dar a direção destas grandezas (por exemplo, 5 m para cima, ou 3 m/s
para a direita). Grandezas que são especificadas por um número, uma direção e a unidade
são grandezas vetoriais, e obedecem às regras da álgebra vetorial.
Vamos discutir melhor as regras da álgebra vetorial ao longo do curso, quando anali-
sarmos movimentos em mais de uma dimensão. Até lá, vamos analisar movimentos que
acontecem em uma única dimensão (não necessariamente na horizontal ou na vertical, mas
sempre para frente ou para trás ao longo de uma linha reta). Neste momento, a diferença en-
tre escalares e vetores não é um problema muito grande porque em uma dimensão a direção
de qualquer vetor pode ser totalmente especificada por um sinal algébrico.
2.7 Variações na velocidade: aceleração
Na seção anterior consideramos o movimento de objetos que se movem com velocidade cons-
tante, onde não há mudança nem do valor da velocidade nem da direção de movimento do
objeto. No entanto, a maioria dos movimentos acontecem mudando aumentando ou dimi-
nuindo o valor da velocidade ou a direção do movimento. Se a velocidade de um objeto está
mudando, o objeto está acelerando. De forma similar ao que fizemos com a velocidade, po-
demos definir a aceleração média de uma partı́cula durante um intervalo de tempo ∆t como
a variação na velocidade, ∆v, durante este intervalo:
amed ≡
∆v
∆t
=
vf − vi
∆t
.
Também de forma similar, para determinar a aceleração de um objeto num dado instante de
tempo t, calculamos a aceleração média num intervalo de tempo ∆t muito curto, próximo de
zero. Desta forma, a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) no tempo t é:
a ≡ lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
=
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
,
onde a expressão à direita representa a segunda derivada (a derivada da derivada) da posição
x em relação ao tempo t.
2.7.1 Movimento com aceleração constante
Se um objeto se move com aceleração constante (isto é, a velocidade sempre varia a mesma
quantidade num intervalo de tempo ∆t), então em qualquer instante a = amed , de forma que:
amed = a =
∆v
∆t
−→ vf = vi + a∆t.
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão 19
Figura 2.7: Determinação da
variaçõa da velocidade para
um objeto acelerado.
A equação acima nos permite calcular a aceleração de um
objeto a partir de sua posição. No entanto, muitas vezes es-
tamos interessados no procedimento inverso: qual é o deslo-
camento do objeto durante o intervalo de tempo entre ti e tf ,
quando a aceleração muda conforme a Figura 2.7? Podemos
responder a esta pergunta considerando intervalos de tempo
pequenos o suficiente para assumir que a aceleração é cons-
tante neste intervalo.
Começamos dividindo o intervalo de tempo entre ti e tf em
intervalos de tempo menores δt e aproximando a aceleração
como constante em cada um destes intervalos δt, conforme
mostra a Figura 2.7(a). Em cada intervalo δt podemos escre-
ver que:
(∆v)n = a(tn)δt,
onde n = 1,2, ...,7 e a(tn) é a aceleração no instante tn. Con-
forme pode ser visto na Figura 2.7(b), o produto a(tn)δt é a
área do retângulo escuro. Assim, a variação da velocidade du-
rante todo o intervalo entre ti e tf é aproximadamente igual à
soma de (∆v)n para todos os intervalos δt entre ti e tf :
∆v ≈
∑
n
(∆v)n =
∑
n
a(tn)δt,
onde
∑
n a(tn)δt representa a soma de todas as áreas dos
retângulos entre ti e tf (toda a área sombreada na Figura
2.7(b)).
O resultado exato é obtido fazendo δt ser um intervalo
muito próximo de zero (de forma que o número de intervalos
tenda a infinito):
∆v = lim
δt→0
∑
n
a(tn)δt,
que é precisamente a definição da integral da aceleração em
relação ao tempo, de ti até tf :
∆v =
∫ tf
ti
a(t)dt.
Graficamente, a integral representa a área sob a curva a(t) entre ti e tf na Figura 2.7(c).
Uma vez que temos a velocidade, podemos fazer a mesma abordagem para obter o des-
locamento a partir da velocidade. Matematicamente,
∆x =
∫ tf
ti
v(t)dt.
Geometricamente, o deslocamento do objeto no intervalo compreendido entre ti e tf é dado
pela área sob a curva v(t) entre ti e tf .
20 2.8. Questões de revisão
2.8 Questões de revisão
Questão 2.1 Descreva o movimento representado por cada um dos gráficos da figura
abaixo:
Questão 2.2 Suponha que você caminhe numa linha reta do ponto P ao ponto Q, a 2 m
de P, e depois retorne ao ponto P pela mesma trajetória. (a) Qual é a componente x do
seu deslocamento durante toda a caminhada? (b) Qual foi a distância percorrida du-
rante toda a caminhada? (c) A distância percorrida é a mesma coisa que a componente
x do deslocamento?
Questão 2.3 (a) Qual das linhas 1-8 nos gráficos da figura da questão 2.1 representa
a maior velocidade escalar média? (b) E para qual das linhas a velocidade média é
negativa?
Questão 2.4 Cada uma das fotografias estroboscópicas (a), (b) e (c) na figura abaixo
foi tirada de um disco único movimentando-se para a direita, que consideramos como
a direção positiva. Para cada fotografia, o intervalo de tempo entre imagens é cons-
tante. (a) Qualfotografia mostra movimento com aceleração zero? (b) Qual fotografia
mostra movimento com aceleração positiva? (c) Qual fotografia mostra movimento
com aceleração negativa?
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão 21
2.9 Problemas
Atividade 2.1 Um ou mais dos gráficos da figura abaixo representam movimentos
impossı́veis. Identifique quais, e explique porque o movimento é impossı́vel.
Atividade 2.2 A velocidade de um impulso nervoso no corpo humano é de aproxi-
madamente 100 m/s. Se você está no escuro e por acidente bate seu dedão, calcule o
tempo que leva para o impulso nervoso chegar ao seu cérebro.
Atividade 2.3 Uma partı́cula se move ao longo do eixo x de acordo com o gráfico
abaixo. (a) Encontre a velocidade média no intervalo de tempo t = 1,50 s a t = 4,00 s.
(b) Determine a velocidade instantânea em t = 2,00 s. (c) Em qual valor de t a partı́cula
para?
Atividade 2.4 As placas da crosta terrestre da América do Norte e da Europa estão
se afastando com velocidade relativa de aproximadamente 25 mm/ano. Considere a
velocidade como constante e descubra quando a fenda entre elas começou a se abrir
até chegar à largura atual de 2,9× 103 milhas.
Atividade 2.5 A figura abaixo mostra uma sequência de fotos (visto de cima) de um
objeto se movendo da esquerda para a direita ao longo de uma trilha. Os interva-
los de tempo entre as fotos são todos iguais. Durante que instantes do movimento o
objeto está (a) acelerando (aumentando o módulo de sua velocidade) e (b) freando (di-
minuindo o módulo de sua velocidade)? Explique como você chegou a esta conclusão.
(c) Como suas respostas mudariam se o objeto estivesse se movendo da direita para a
esquerda?
22 2.9. Problemas
Exercı́cio 2.1 A posição de uma partı́cula se movendo pelo eixo x varia com o tempo
segundo a expressão x = 4t2, onde x está em metros, e t está em segundos. Avalie a
posição da partı́cula
(a) em t = 2,00 s
(b) em 2,00 s + ∆t
(c) Avalie o limite de ∆x/∆t conforme ∆t se aproxima de zero, para encontrar a veloci-
dade em t = 2,00 s.
Exercı́cio 2.2 Você tem que viajar de Campinas a Bauru, que fica a 300 km de
distância. Você precisa chegar em Bauru às 11:15. Você planeja dirigir a 100 km/h
e parte às 8:00 para ter algum tempo de sobra. Você dirige à velocidade planejada du-
rante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho em obras o obriga a reduzir a
velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual é a menor velocidade que você deve manter
no resto da viagem para chegar a tempo?
Exercı́cio 2.3 Você está dirigindo numa rua de Campinas a 60 km/h quando avista um
semáforo que acabou de ficar amarelo. A maior desaceleração que seu carro é capaz
é 5,18 m/s2, e seu tempo de reação para começar a frear é de 750 ms. Para evitar
que a frente do carro invada o cruzamento depois que o sinal mudar para vermelho,
sua estratégia deve ser frear até parar ou prosseguir a 60 km/h se a distância até o
cruzamento e a duração da luz amarela forem, respectivamente, 40 m e 2,8 s? As
respostas podem ser frear, prosseguir, tanto faz (se as duas estratégias funcionarem),
ou não há jeito (se nenhuma das estratégias funcionar).
Exercı́cio 2.4 Uma motocicleta parte do repouso e acelera conforme mostra a figura.
Determine (a) a velocidade escalar da motocicleta em t = 4,0 s e em t = 14,0 s, e (b) a
distância percorrida nos primeiros 14,0 s.
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão 23
Problema 2.1 A posição de uma partı́cula como função do tempo é dada por
x(t) =
1
4
x0e
3αt ,
onde α é uma constante positiva.
(a) Em que tempo a partı́cula está em 2x0?
(b) Qual é a velocidade escalar da partı́cula como função do tempo?
(c) Qual é a aceleração da partı́cula como função do tempo?
(d) Quais são as unidades do SI para α?
Problema 2.2 A prefeitura de São Paulo implementou em 2015 uma diminuição da
velocidade máxima em vias muito movimentadas como medida para melhorar o fluxo
de veı́culos. Analise quantitativamente esta ideia, a partir do seguinte roteiro:
- Considere que a distância mı́nima que um veı́culo deve manter do veı́culo à frente é
a distância necessária para parar completamente o carro no caso de uma interrupção
instantânea do fluxo de veı́culos;
- que a desaceleração máxima de um veı́culo é de 3 m/s2;
- que o tempo de reação média de um condutor é de 0,5 s;
- que o tamanho médio de um veı́culo é de 3 m;
Calcule a velocidade que maximiza o fluxo de veı́culos em uma via.
(dica: para encontrar o máximo de uma curva, utilize alguma ferramenta gráfica en-
contrável na internet, por exemplo, https://tinyurl.com/y3e7j9fm )
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 2.3, Exercı́cio 2.1, Exercı́cio 2.2, Exercı́cio 2.3, Exercı́cio 2.4 e Problema 2.1
3. Momento linear
No capı́tulo anterior desenvolvemos uma abordagem matemática para descrever o movimento
ao longo de uma trajetória retilı́nea. Neste capı́tulo, vamos continuar o estudo do movimento
analisando a inércia, uma propriedade dos objetos que afeta o movimento. Os experimentos
que vamos discutir ao estudar a inércia nos leva a descobrir uma das leis mais fundamentais
da fı́sica: a conservação de momento linear.
Referências para leitura: Halliday (seções 5.1, 6.1, 9.2-9.5) e Bauer (seções 4.7, 7.1-7.3).
3.1 Atrito
Figura 3.1: Velocidade em função do
tempo para um bloco de madeira des-
lizando sobre 3 superfı́cies diferentes:
gelo, madeira polida e concreto.
A Figura 3.1 mostra o movimento de um bloco de ma-
deira deslizando sobre três superfı́cies diferentes. A
diminuição da velocidade é devido ao atrito - a re-
sistência ao movimento que uma superfı́cie ou um ob-
jeto encontra ao tentar se mover sobre outra. Note que a
forma como a velocidade do bloco diminui quando este
desliza sobre o gelo é bem diferente do que quando o
bloco desliza sobre o concreto. O efeito do atrito é tra-
zer o bloco ao repouso. Quanto menos atrito há entre
o bloco e a superfı́cie, mais tempo vai demorar para o
bloco parar. Na ausência de atrito, objetos que se mo-
vem ao longo de uma trajetória horizontal continuam
se movendo sem diminuir sua velocidade.
Na realidade, não há nenhuma superfı́cie total-
mente livre de atrito na qual objetos podem deslizar
para sempre, mas há formas de minimizar o atrito.
Questão 3.1 As acelerações dos movimentos
mostrados na Figura 3.1 são constantes? Para
qual superfı́cie a aceleração tem o maior módulo?
24
Capı́tulo 3. Momento linear 25
3.2 Inércia
Podemos descobrir um dos princı́pios mais fundamen-
tais da fı́sica estudando como as velocidades de dois
carros com pouco atrito mudam quando os carros coli-
dem. Vamos primeiro analisar o que acontece com dois carros idênticos, quando colocamos
eles num trilho de ar (onde o atrito será praticamente nulo). A figura 3.2 ilustra o nosso
arranjo experimental. O primeiro carro fica parado; depois, colocamos o segundo carro no
trilho há uma certa distância e se movendo em direção ao primeiro carro. Os dois carros
colidem, e a colisão altera a velocidade de ambos.
Figura 3.2: Experimento com carros se movendo num trilho de ar.
A colisão faz o carro 1 se mover para a direita, e o carro 2 parar. A figura 3.3(a) mostra
as velocidades dos dois carros em diferentes instantes de tempo. A região em cinza mostra
o intervalo de tempo no qual a colisão ocorreu. Embora a colisão pareça “instantânea,” dela
demora aproximadamente 10 ms para o movimento dos carros se ajustar.
Podemos repetir este experimento várias vezes, dando um empurrão cada vez maior no
carro 2. Vamos descobrir que não importa qual é a velocidade do carro 2, a colisão sempre troca
as duas velocidades.
Figura 3.3: Gráfico da velocidade em função do tempo para (a) dois carros idênticos e (b) um
carro simples e um carro duplo, antes e depois de uma colisão num trilho de ar (isto é, com
atrito desprezı́vel).
26 3.2. Inércia
Para determinar se a quantidade de matéria afeta o movimento, podemoscolar dois car-
ros para ter o carro 1 com o dobro da massa do carro 2. Desta vez o carro 2 não para comple-
tamente; a colisão reverte a direção de movimento, de forma que depois da colisão o carro
2 se move para a esquerda, conforme mostra a Figura 3.3(b). Após a colisão, o carro duplo,
sendo mais difı́cil para se colocar o movimento do que um único carro, se move para a direta
como anteriormente, mas desta vez com uma velocidade menor. É mais fácil mover uma
pedra pequena do que uma pedra grande!
Podemos repetir o mesmo experimento variando as velocidades iniciais e as direções de
movimento, e vamos observar que não importa como os carros se movem (ou nem se movem)
inicialmente, a variação da velocidade do carro duplo é sempre metade da velocidade do carro
simples. Além disso, as variações das velocidades são sempre em direções opostas, o que
significa que o módulo da velocidade de um carro aumenta enquanto a do outro diminui.
Podemos perceber que é mais difı́cil mudar o movimento dos objetos mais pesados do
que o movimento de objetos mais leves. Objetos mais pesados têm maior resistência quando
tentamos mudar a velocidade deles. Esta tendência de um objeto a resistir a uma mudança
na sua velocidade é o que chamamos de inércia. A inércia de um objeto é determinada pelo
tipo de material na qual o objeto é feito e pela quantidade de material contida no objeto.
Quantitativamente, a inércia de um objeto é representada pelo sı́mbolo m (m vem de
massa, uma grandeza escalar que está relacionada com a inércia e que vamos estudar pos-
teriormente). Matematicamente, podemos usar os experimentos de colisões mencionados
acima para definir a inércia de qualquer objeto, pois a razão da inércida de dois objetos u e s
está relacionada com o inverso da razão da variação do módulo das velocidades dos objetos:
mu
ms
= −∆vs
∆vu
(3.1)
Questão 3.2 Verifique que
|∆vu |
|∆vs|
≈ 1
3
para os dois carros na figura abaixo.
Questão 3.3 A inércia do carro desconhecido (unknown) é maior ou menor do que a
inércia do carro padrão (standard)?
Capı́tulo 3. Momento linear 27
3.3 Quantidade de movimento ou momento linear
A definição de inércia acima leva à definição de outra quantidade fı́sica importante: o mo-
mento ou quantidade de movimento. Podemos reescrever a equação acima como:
mu∆vu +ms∆vs = 0 −→muvu,f −muvu,i +msvs,f −msvs,i = 0.
O produto da inércia pela velocidade de um objeto é chamado de momento: p ≡ mv. A
unidade no SI para o momento é kg·m/s. A partir desta definição, a relação acima pode ser
reescrita como:
∆pu +∆ps = 0. (3.2)
Esta equação significa que, sempre que um objeto colide com outro objeto, as variações nos
momentos dos dois objetos se somam para dar zero.
3.4 Sistemas
No capı́tulo 2 analisamos o movimento de um único objeto. Mas a situação da seção anterior
coloca uma situação mais realista, onde um número de objetos interagem uns com os outros.
Para analisar estas situações, temos que focar em um ou mais objetos principais - uma pessoa
escalando uma montanha, dois carros colidindo, átomos de um gás num recipiente. O pri-
meiro passo de qualquer análise que fizermos é então separar o(s) objeto(s) de interesse do
resto do Universo. Qualquer objeto, ou grupo de objetos, que podemos separar, na nossa
cabeça, de todo o resto que está ao redor é um sistema.
Por exemplo, quando consideramos uma colisão entre dois carros, podemos considerar
ambos os carros como o nosso sistema. Quando alguém joga uma bola e nós estamos inte-
ressados somente no movimento da bola, a escolha lógica de sistema é a bola; todo o resto -
o lançador, o ar ao redor da bola, a Terra - está fora do sistema e constitui a vizinhança.
Figura 3.4: Duas escolhas para sistema de
carros colidindo numa trilha.
Ao analisar qualquer problema, a escolha
do sistema deve ser bastante clara. Há sem-
pre mais de uma forma de separar um sistema.
Para os dois carros colidindo numa trilha, como
ilustrado na Figura 3.4, podemos definir nosso
sistema contendo ambos os carros (como fize-
mos) ou apenas um carro. Decidir o que incluir
no sistema vai quase sempre ser definido pela
informação que você quer aprender. Geralmente
a escolha é óbvia; algumas vezes você vai preci-
sar de experiência para fazer a decisão. Mais im-
portante: uma vez definido o sistema, este deve
permanecer o mesmo durante toda a sua análise.
Falhar ao fazer uma escolha consistente de sis-
tema é uma fonte frequente de erro.
28 3.4. Sistemas
Em particular, estamos interessados em
quantidades extensivas, cujo valor é proporci-
onal ao tamanho do sistema. De forma mais especı́fica, se dividirmos o sistema em partes
menores, então a soma de uma quantidade extensiva para todas as partes separadas é igual
ao valor da quantidade para todo o sistema. O número de árvores num parque, por exemplo,
é uma grandeza extensiva. O preço por litro de gasolina não é uma quantidade extensiva:
se dividirmos o tanque do carro em duas partes e adicionarmos o preço do litro para as
duas partes, vamos obter o dobro do preço por litro do tanque inteiro. Quantidades que
não dependem do tamanho do sistema, como o preço de gasolina por litro, são chamadas de
quantidades intensivas.
Questão 3.4 As seguintes quantidades são extensivas ou intensivas: (a) inércia, (b)
velocidade, (c) o produto da inércia com a velocidade?
Figura 3.5: Diagrama de um parque como
sistema. O número de árvores no parque é
uma quantidade extensiva.
Apenas quatro processos podem alterar o va-
lor de uma quantidade extensiva: entrada, saı́da,
criação e destruição. Para entender isso, con-
sidere a Figura 3.5, que representa esquemati-
camente as condições inicial e final de um par-
que durante um certo intervalo de tempo. No
parque, o número de árvores pode mudar ao
longo do tempo porque novas árvores crescem
(criação), árvores velhas morrem ou são des-
matadas (destruição). Alternativamente, novas
árvores podem ser trazidas para o parque (en-
trada) enquanto outras árvores são retiradas do parque (saı́da). Desta forma,
variação = entrada− saı́da + criação−destruição.
Sob certas circunstâncias nós podemos excluir os processos de criação ou destruição.
Qualquer quantidade extensiva que não pode ser criada ou destruı́da é chamada de conser-
vada. O valor de uma quantidade conservada só pode mudar através da transferência da
quantidade para dentro/fora do sistema (Figura 3.6).
Figura 3.6: Os efeitos de entrada, saı́da, criação e destruição sobre as quantidades extensivas
de um sistema.
Capı́tulo 3. Momento linear 29
Para uma quantidade conservada num sistema no qual não há a possibilidade de trans-
ferência, as coisas são ainda mais simples: o valor da quantidade não pode mudar. Quan-
tidades conservadas têm um papel importante na fı́sica porque sua contagem é muito sim-
plificada. Nos sistemas nos quais não há transferência de uma quantidade conservada, a
quantidade não muda independente dos processos que ocorrem dentro ou fora do sistema.
3.5 Conservação do momento
O momento é uma propriedade extensiva - podemos adicionar o momento de cada objeto
num sistema para obter o momento total do sistema. Nos exemplos dos carrinhos, podemos
pensar nos dois carros como nosso sistema, de forma que
psistema ≡ pu + ps,
e a equação 3.2 pode ser reescrita como:
∆psistema = 0. (3.3)
Logo, quando consideramos os dois carros como um sistema, podemos dizer que a colisão
não altera o momento do sistema.
Podemos nos perguntar o que faz o momento de um sistema se alterar. Para isso, vamos
voltar a pensar no movimento do bloco de madeira sobre o piso de concreto da Figura 3.1.
Se considerarmos o bloco como nosso sistema, vemos que há uma interação entre o sistema
(bloco) e o exterior (no caso, o piso). Vamos definir o conceito de interação mais adiante
no curso; por ora, por interação queremos dizer dois objetos tocando um ao outrode forma
que um deles (ou ambos) é acelerado. As interações entre objetos dentro de um sistema
são chamadas de interações internas. As interações entre um objeto do sistema e qualquer
outro objeto fora do sistema são interações externas. No caso do objeto se movendo no piso de
concreto, considerando o objeto como nosso sistema, há ao menos uma interação externa.
Definição 3.1 (Sistemas isolados) Um sistema no qual não há interações externas é
chamado de sistema isolado. Para sistemas isolados, não há nada que possa alterar o
momento do sistema, de forma que
∆psistema = 0 (sistema isolado). (3.4)
Experimentos mostram que qualquer interação entre dois objetos - não apenas colisões -
transfere momento de um objeto a outro. Contudo, a soma dos momentos dos objetos inte-
ragentes nunca muda. Até hoje, nenhuma interação ou outro fenômeno no qual momento
é criado do nada ou destruı́do foi observado. Podemos com isso concluir que o momento
pode ser transferido de um objeto para outro, ou de um sistema para a vizinhança, mas
não pode ser criado ou destruı́do. Esta afirmação é um dos princı́pios mais fundamentais
da fı́sica, e geralmente é referido como conservação do momento. Para qualquer sistema
isolado, a conservação do momento significa que ∆psistema = 0. Para um sistema que não é
isolado, temos que
∆p = J, (3.5)
onde J representa a transferência de momento do ambiente externo para dentro do sistema.
A quantidade J é chamada de impulso entregue ao sistema. Como o momento, o impulso é
30 3.6. Outras questões de revisão
um vetor (ou seja, tem módulo e direção) e tem unidades de kg·m/s. Dependendo da direção
em relação ao momento, o impulso pode aumentar ou diminuir a quantidade de momento
do sistema.
A equação 3.5 é chamada de lei do momento, e vamos usa-la extensivamente neste curso.
A equação engloba a conservação do momento porque ela nos diz que o momento de um
sistema pode mudar somente devido à transferência de momento para o sistema (J). Para
um sistema isolado, o impulso é zero (J = 0) e a lei do momento toma a forma da equação
3.2.
3.6 Outras questões de revisão
Questão 3.5 Os gráficos abaixo mostram diferentes situações dos efeitos dos carros A
e B colidindo com um carro S. Comparando (a) com (b), e depois (c) com (d), liste os
carros A, B e S em ordem crescente de inércia.
Questão 3.6 Suponha que você esteja contando o número de cabeças de gado numa
fazenda. O que você escolhe como seu sistema? Quais são os processos corresponden-
tes à entrada, saı́da, criação e destruição? É possı́vel ter transferência para dentro/fora
do sistema? A contagem é uma grandeza conservada?
Questão 3.7 Considere as colisões representadas na Figura 3.3. Quanto de momento
é transferido em cada uma das colisões? O momento é transferido do carro 1 para o
carro 2, ou na direção oposta?
Capı́tulo 3. Momento linear 31
3.7 Problemas
Atividade 3.1 Considere os dois gráficos da velocidade por tempo mostrados abaixo,
que descrevem um objeto deslizando livre sobre uma superfı́cie plana.
a) Em qual dos dois casos houve uma maior variação do módulo da velocidade?
b) Em qual dos dois casos o módulo da aceleração é maior?
c) O efeito do atrito no movimento é mais pronunciado em qual dos dois casos?
Atividade 3.2 A figura abaixo representa o gráfico da velocidade por tempo para dois
objetos, A e B, antes e após eles colidirem entre si. O objeto B está inicialmente em
repouso.
a) Estime a variação da velocidade dos objetos A e B.
b) Com base na sua resposta para o item anterior, qual objeto deve ter maior inércia?
c) Qual é a razão entre as inércias dos objetos A e B?
Atividade 3.3 Você está andando num ônibus e pensando sobre o número de passa-
geiros dentro do ônibus.
a) O número de passageiros se mantém constante?
b) O número de passageiros dentro do ônibus é uma quantidade extensiva ou inten-
siva?
c) Em termos de número de passageiros, o ônibus pode ser considerado um sistema
isolado?
Atividade 3.4 Um garoto de 65,0 kg e a irmã de 40,0 kg, ambos utilizando patins,
estão de frente um para o outro em repouso. A garota empurra o garoto com força,
mandando-o para trás com velocidade 2,90 m/s em direção ao oeste. Despreze o atrito.
a) Descreva o movimento subsequente da garota.
32 3.7. Problemas
b) O momento do sistema garoto-garota é conservado no processo de empurrar-afastar-
se?
c) Se sim, explique como isso é possı́vel considerando que não há movimento anterior
nem muito movimento posteriormente.
d) Calcule a velocidade da garota após o empurrão.
Atividade 3.5 Um carro de massa m movendo-se a uma velocidade escalar v1 colide
e se une à traseira de um caminhão de massa 2m movendo-se inicialmente na mesma
direção que o carro a uma velocidade escalar menor v2. Para calcular a velocidade es-
calar, vf , dos dois veı́culos imediatamente após a colisão, siga o seguinte roteiro:
a) Defina um sistema isolado para tratar o problema.
b) Calcule o momento linear total do seu sistema imediatamente antes e imediata-
mente após a colisão.
c) Calcule vf .
Exercı́cio 3.1 A figura abaixo mostra a posição em função do tempo para uma colisão
entre dois carros numa pista onde o atrito pode ser ignorado. O carro 1 tem uma
inércia de 1,0 kg; o carro 2 tem uma inércia de 4,0 kg. (a) Quais são as velocidades
iniciais e finais de cada carro? (b) Qual é a variação na velocidade de cada carro? (c)
Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo para a colisão. (d) O carro 1 tem
aceleração diferente de zero? Se sim, quando, e qual é o sinal da aceleração? (e) O carro
2 tem aceleração diferente de zero? Se sim, quando, e qual é o sinal da aceleração? (f)
Verifique que a conservação de momento se aplica neste caso.
Exercı́cio 3.2 Uma bala de inércia mb é atirada horizontalmente com velocidade vb,i
contra um bloco de madeira de inércia mm inicialmente parado numa superfı́cie sem
atrito. A bala atravessa o bloco e sai com velocidade vb,f . Determine a velocidade final
do bloco, vm,f , seguindo o seguinte roteiro:
a) É possı́vel definir um sistema isolado para tratar o problema? Em caso positivo, de-
fina tal sistema.
b) Calcule o momento linear total do seu sistema imediatamente antes e imediata-
mente após a interação da bala com o bloco.
c) Calcule vm,f . Deixe sua resposta em termos das quantidades dadas.
Capı́tulo 3. Momento linear 33
Exercı́cio 3.3 Uma bola de futebol de massa m = 200 g é chutada em direção a uma
vidraça, atingindo-a quando está se deslocando horizontalmente, a uma velocidade de
3 m/s. A bola atravessa a vidraça, diminuindo sua velocidade para 1 m/s. Determine
o impulso transferido para a bola pela vidraça através do seguinte roteiro:
a) É possı́vel definir um sistema isolado para tratar o problema? Em caso positivo, de-
fina tal sistema.
b) Calcule o momento linear total do seu sistema imediatamente antes e imediata-
mente após a interação da bala com a vidraça.
c) Calcule o impulso.
Exercı́cio 3.4 Em um perı́odo de seis meses a Terra realiza meia revolução em torno
do Sol. A massa da Terra é de ∼ 6× 1024 kg e sua velocidade de translação é de ∼ 105
km/h.
a) Calcule a variação do momento linear da Terra nestes seis meses.
b) Um sistema isolado pode ser definido como contendo a Terra e o Sol. O momento
linear é conservado neste sistema? Justifique.
c) Calcule a variação da velocidade do Sol nestes seis meses. A massa do Sol é de
∼ 2× 1030 kg.
Exercı́cio 3.5 Um vagão de trem move-se a uma velocidade vi em uma linha em
direção a três outros vagões parados. Todos os vagões são idênticos, e estão separados
a uma certa distância um do outro. O vagão em movimento atinge o primeiro vagão
parado, e se acopla a ele. Em seguida os dois vagões atingem o terceiro, acoplando-se a
este, e assim sucessivamente. Calcule a velocidade final do comboio de vagões através
de duas formas:
a) Calculando avelocidade final dos vagões depois de cada colisão, e utilizando seu
resultado como condição inicial para a próxima colisão.
b) Definindo um sistema isolado que contenha todos os vagões, e aplicando
conservação de momento.
Problema 3.1 Um carro de 1 kg colide com um carro A de inércia desconhecida num
trilho. Ambos os carros parecem sofrer atrito significante devido ao movimento das
rodinhas porque as velocidades dos carros mudam com o tempo conforme mostrado
na figura abaixo. (a) Quais são as velocidades dos carros em t = 0, t = 5,0 s, t = 6,0
s, e t = 10 s? (b) Quando os carros não estão colidindo, os carros estão acelerando ou
desacelerando? (c) A aceleração/desaceleração de cada carro é a mesma antes e depois
da colisão? (d) Qual é a inércia do carro A?
34 3.7. Problemas
Problema 3.2 Considere uma molécula de um gás monoatômico de inérciam, que está
preso numa caixa e se move para frente e para trás com velocidade constante v entre
as paredes A e B, opostas uma a outra e distantes l uma da outra. A cada colisão com a
parede, a molécula muda a direção do movimento sem mudar seu módulo. Em termos
das variáveis do problema, escreva (a) a variação do momento da molécula quando
ela colide com a parede B, (b) o intervalo de tempo entre colisões com a parede B, (c)
o número de colisões por segundo da molécula com a parede B, e (d) a variação no
momento, por segundo, como resultado destas colisões.
Problema 3.3 Um canhão é rigidamente fixado a uma base, que pode se mover ao
longo de trilhos horizontais. A massa do canhão e da base é de M = 5000 kg. O canhão
dispara um projétil de massa m = 200 kg a uma velocidade de v0 = 125 m/s fazendo
um ângulo de 45° acima da horizontal.
a) Considerando somente a dinâmica na direção horizontal, o sistema definido pelo
canhão, base e projétil define um sistema isolado? E considerando a dinâmica na
direção vertical?
b) Encontre a velocidade de recuo do canhão.
c) Encontre o impulso exercido no canhão pelo chão.
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Exercı́cio 3.1, Exercı́cio 3.2, Exercı́cio 3.4, Problema 3.2 e Problema 3.3
4. Energia
Agora que conhecemos a conservação de momento, podemos determinar a velocidade final
de dois objetos colidindo se conhecemos somente as velocidades iniciais e sabendo que o mo-
mento se conserva? A resposta é não se nossa única ferramenta for a lei de conservação do
momento. Apenas saber que o momento linear é constante não é suficiente. Precisamos de
informações adicionais para predizer as posições e velocidades futuras. No processo de buscar
tais informações adicionais, desenvolvemos outra lei de conservação - a conservação de ener-
gia.
Referências para leitura: Halliday (seções 7.1, 8.2, 8.5, 9.6-9.7) e Bauer (seções 5.1-5.2, 6.5,
7.4-7.7).
4.1 Classificação de Colisões
Podemos ressaltar nas colisões que discutimos até aqui que a diferença da velocidade entre
dois carros, ~v2−~v1, na maioria dos casos tem a mesma amplitude antes e depois da colisão. A
diferença da velocidade do carro 2 em relação ao carro 1 é chamada de velocidade relativa
do carro 2 em relação ao carro 1, ~v12 ≡ ~v2 − ~v1. Logo, podemos dizer que nas colisões que
discutimos até aqui a velocidade relativa entre os carros não muda depois da colisão, com-
parado com a velocidade relativa entre os carros antes da colisão. A Figura 4.1 mostra duas
situações onde o módulo desta velocidade relativa não se modifica com a colisão. A estas
colisões onde o módulo da velocidade relativa não se altera chamamos de colisão elástica.
Uma colisão onde o módulo desta velocidade relativa é menor após a colisão do que
antes da colisão é chamada de colisão inelástica. Um exemplo particular de colisão inelástica
ocorre quando os objetos se grudam após a colisão, seguindo juntos com a mesma velocidade,
e portanto com velocidade relativa nula. A esta colisão denominamos de colisão totalmente
inelástica.
Como você pode imaginar, se uma colisão vai ser elástica, inelástica ou totalmente inelástica
vai depender das propriedades dos objetos envolvidos. Contudo, se soubermos o que acon-
tece com a velocidade relativa numa colisão, podemos usar esta informação junto com a
conservação do momento para determinar as velocidades finais.
35
36 4.2. Energia Cinética
Figura 4.1: Velocidade em função do tempo duas colisões, uma com dois carros idênticos, e outra
com carros de inércias diferentes. Em ambas as colisões a velocidade relativa dos carros antes e depois
da colisão não se altera.
4.2 Energia Cinética
A velocidade relativa não é uma variável extensiva, portanto não podemos desenvolver uma
abordagem similar à que fizemos para o momento no capı́tulo anterior. Precisamos buscar
uma variável extensiva que nos permita descrever as colisões elásticas, de forma que tal
variável seja a mesma antes que depois da colisão. Esta variável, como veremos a seguir, é a
Energia Cinética, K =mv2/2.
Questão 4.1 Justifique porque a energia cinética é uma quantidade extensiva.
Na figura 4.2 temos dois exemplos de colisão onde as condições iniciais são idênticas. A
primeira colisão é elástica, e a segunda totalmente inelástica. Para a colisão elástica, onde
a velocidade relativa não muda, a soma das energias cinéticas dos dois carros antes e de-
pois da colisão é a mesma. Para a colisão totalmente inelástica, tanto a velocidade relativa
como a soma das energias cinéticas dos dois carros mudam. De forma geral, observamos que
numa colisão elástica, a soma das energias cinéticas dos objetos antes e depois da colisão
é sempre a mesma.
Figura 4.2: Velocidade em função do tempo duas colisões, .
Capı́tulo 4. Energia 37
4.3 Colisões Elásticas
Em uma colisão elástica, temos que o módulo das velocidades relativas permanece constante
(a menos de um sinal, por causa da inversão de sua direção):
v2i − v1i = −(v2f − v1f )
Considerando também a equação que descreve conservação de momento:
m1v1i +m2v2i =m1v1f +m2v2f
podemos, após um pouco de manipulação algébrica, chegar no resultado que a energia
cinética permanece constante:
1
2
m1v
2
1i +
1
2
m2v
2
2i =
1
2
m1v
2
1f +
1
2
m2v
2
2f
ou seja,
∆K = 0
onde K = K1 +K2 =
1
2m1v
2
1 +
1
2m2v
2
2 é a energia cinética total do sistema.
Supondo que conhecemos as velocidades iniciais de duas partı́culas que colidem elasti-
camente, com as equações de conservação de momento e conservação de energia, podemos
determinar suas velocidades finais. Após um pouco de manipulação algébrica, encontramos:
v1f =
m1 −m2
m1 +m2
v1i +
2m2
m1 +m2
v2i ; v2f =
2m1
m1 +m2
v1i −
m1 −m2
m1 +m2
v2i
4.4 Colisões Inelásticas
Em uma colisão totalmente inelástica, a velocidade relativa final entre os dois objetos é zero.
Portanto se pode obter a velocidade final dos objetos:
vf =
m1v1i +m2v2i
m1 +m2
A maioria das colisões ocorre em uma situação que é um meio termo entre uma colisão
elástica e uma colisão totalmente inelástica. Podemos parametrizar esta situação definindo
um coeficiente de restituição, �, como a razão das velocidades relativas finais e iniciais:
� ≡ −
v12,f
v12,i
= −
v2,f − v1,f
v2,i − v1,i
4.5 Energia Interna
Em colisões inelásticas a velocidade relativa dos objetos muda, e portanto a energia cinética
total também muda. Podemos fazer a pergunta: a energia desaparece, ou vai para algum
lugar?
O que ocorre é que é possı́vel associar uma forma de energia ao estado do sistema. Aqui,
o significado de estado é a condição de um ou mais objetos do sistema especificado por um
conjunto de parâmetros fı́sicos: forma, temperatura, ou qualquer outra variável fı́sica que
38 4.5. Energia Interna
define o objeto. Após uma colisão inelástica, o estado do sistema muda de alguma forma, ao
contrário de uma colisão elástica, onde o estado do sistema permanece inalterado.
A transformaçãode um sistema de um estado inicial para um estado final é chamada de
processo. Processos causam mudança no sistema, por isso na Fı́sica queremos entende-los.
As colisões inelásticas envolvem mudanças que não podemos desfazer: dois carros ficam
danificados após uma colisão inelástica, e não é possı́vel “desfazer” esta mudança simples-
mente separando os carros. Os processos causados por estas colisões inelásticas são proces-
sos irreversı́veis, o que significa que as mudanças nos objetos envolvidos no processo não
podem ser desfeitas de forma espontânea.
De forma oposta, colisões elásticas são processos reversı́veis, o que significa que não há
mudanças permanentes no estado do sistema. Os objetos parecem os mesmos antes e depois
da colisão.
Suponha que pudéssemos associar uma quantidade com a mesma unidade da energia
cinética (kg·m2/s2) com o estado de um sistema - vamos chamar esta quantidade de ener-
gia interna, Eint. Desta forma poderı́amos arrumar as coisas de forma que numa colisão
inelástica o aumento da energia interna do sistema é igual à diminuição da energia cinética
dos objetos do sistema. Isto significa que numa colisão inelástica uma forma de energia é
convertida em outra forma (cinética para interna) mas a soma das energias cinética e interna
- coletivamente chamadas de energia do sistema - não muda. A energia pode ser convertida
de uma forma para outra, mas não pode ser criada ou destruı́da. É portanto uma variável
extensiva conservada.
Questão 4.2 Um pedaço de massa é jogado contra uma parede e gruda na parede. A
energia interna do sistema massa-parede aumenta, diminui ou permanece a mesma?
Figura 4.3: Energias inicial e final para
duas escolhas de sistemas diferentes.
Há várias formas possı́veis de energia interna:
energia quı́mica, energia térmica, energia elástica etc.
Mais adiante na disciplina vamos especificar o estado
de um sistema e como calcular a energia interna cor-
respondente. Mas podemos estender a ideia da ener-
gia interna para outras interações. Considere, por
exemplo, um carro inicialmente em repouso num tri-
lho de ar que é colocado em movimento por uma
mola, como na Figura 4.3(a). Conforme o carro é ace-
lerado pela mola, a energia cinética do carro aumenta
mas o seu estado não muda, de forma que sua ener-
gia aumenta (Figura 4.3(b)). De onde a energia veio?
A mola coloca o carro em movimento, logo é razoável
assumir que a mola transfere energia para o carro. De
fato, a mola se expande - seu estado muda - e portanto
sua energia interna muda.
Se nós incluirmos a mola no sistema (Figura
4.3(c)) e atribuir o aumento da energia cinética do
carro à diminuição da energia interna da mola, po-
demos novamente arranjar as coisas de forma que
a energia do sistema carro-mola não muda (∆E =
∆Kcarro +∆Emola = 0).
Capı́tulo 4. Energia 39
Questão 4.3 (a) O momento do sistema carro-
mola é constante? (b) O sistema está isolado?
Definição 4.1 (Sistemas fechados) O sistema contendo a mola e o carro na Figura 4.3
não está isolado. Contudo, nenhuma energia é transferida para o sistema, de forma
que a energia do sistema é constante.a Qualquer sistema no qual nenhuma energia
é transferida é chamado de um sistema fechado. Um ponto importante é que um
sistema fechado não precisa ser isolado (e, de forma análoga, um sistema isolado não
necessariamente é fechado).
aComo eu sei que nenhuma energia é transferida para o sistema carro-mola? A expansão da mola e a
aceleração do carro não causam nenhuma mudança no estado ou movimento da vizinhança (o trilho, a
Terra, etc.). Consequentemente, a energia da vizinhança não muda, o que significa que nenhuma energia
foi transferida da vizinhança para o sistema.
Quando analisamos variações na energia, é conveniente escolher um sistema no qual
nenhuma energia é transferida para ou do sistema (um sistema fechado). Podemos fazer isso
fazendo um esboço das condições inicial e final dos objetos em consideração, identificando
as mudanças no estado ou no movimento que ocorrem durante o intervalo de tempo de
interesse, e escolhendo um sistema que inclui todos os objetos sob mudança de estado ou
movimento. Ao verificar que nada na vizinhança do sistema passa por uma mudança no
movimento ou no seu estado podemos ter certeza que o sistema que escolhemos é um sistema
fechado.
4.6 Conservação de Energia
Um sistema fechado é definido como aquele onde nenhuma energia entra ou sai do sistema.
Portanto em um sistema fechado, qualquer mudança de energia cinética deve ser acompa-
nhada por uma mudança equivalente da energia interna, de modo que a soma das energias
não mude:
Ki +Eint,i = Kf +Eint,f (sistema fechado). (4.1)
A equação 4.1 é válida para qualquer sistema fechado (não só para colisões entre carros). Se
escrevemos a soma das energias cinética e interna de um objeto ou sistema como a energia
(total) do sistema,
E ≡ K +Eint ,
podemos reescrever a equação 4.1 como
Ei = Ef
ou
∆E = 0.
Mesmo que ainda não sabemos calcular a energia interna, Eint, a equação acima nos permite
chegar a conclusões importantes. Primeiro, se a energia cinética de um sistema fechado
muda, então o estado do sistema também deve mudar de
∆Eint = −∆K.
40 4.7. Separações Explosivas
Figura 4.4: Dois exemplos de conservação de energia num sistema fechado. (a) A energia
cinética da bola é convertida em energia interna no colchão deformado. (b) Energia quı́mica
armazenada na bateria é convertida em energia térmica.
Como exemplo, considere a bola que cai sobre o colchão e eventualmente fica em re-
pouso (Figura 4.4(a)). Até a bola parar, o movimento da mola muda, assim como a forma
do colchão. A bola e o colchão constituem um sistema fechado, e a diminuição da energia
cinética da bola deve estar acompanhada do aumento da energia interna no sistema.
A segunda conclusão é que se a energia cinética de um sistema não muda, então a energia
interna do sistema também não muda. Mas como Eint é a soma das energias internas de todas
as partes que compõem o sistema, ∆Eint = 0 não significa que nenhuma mudança ocorreu.
Tome, por exemplo, a Figura 4.4(b). Quando a bateria é utilizada, se torna muito quente.
Como não há movimento antes ou depois do processo de utilizar a bateria, não há mudança
na energia cinética no sistema. No entanto, a energia quı́mica na bateria é convertida em
energia térmica, de forma que
∆Equim +∆Eterm = 0.
4.7 Separações Explosivas
É possı́vel também haver processos onde a energia cinética do sistema aumenta, recebendo
energia a partir de uma diminuição da energia interna. Denominamos estes processos de
separações explosivas (ou explosões). A Figura 4.5 mostra uma separação explosiva que pode
ser feita num trilho de ar. Dois carros, com inércias m e 3m, são seguros contra uma mola
comprimida. Quando os carros são liberados, eles se movem em direções opostas enquanto a
mola expande. A expansão da mola muda o estado da mola e, consequentemente, sua energia
interna; a diminuição da energia interna da mola causa um aumento na energia cinética dos
carros. Note como o gráfico da Figura 4.5(c) é o inverso das figuras de colisão totalmente
inelástica que discutimos anteriormente.
Capı́tulo 4. Energia 41
Figura 4.5: Exemplo de separação explosiva.
Para determinar as velocidades finais dos carros precisamos saber quanta energia Eint a
mola libera (vamos discutir isto mais adiante no curso). Uma vez que obtermos ∆Eint, temos
duas equações que nos permite obter as duas velocidades finais, uma como consequência da
conservação de momento
0 =m1v1,f +m2v2,f
e outra como consequência da conservação de energia
∆K +∆Eint =
1
2
m1v
2
1,f +
1
2
m2v
2
2,f +∆Eint = 0.
4.8 Outras questões de revisão
Questão 4.4 Um carro em movimento colide com um carro idêntico inicialmente em
repouso num trilho de ar sem atrito, e ambos se “grudam”. Qual fração da energia
cinéticainicial do sistema permanece nesta colisão totalmente inelástica?
Questão 4.5 Considere um objeto isolado em repouso no espaço. O objeto contém
energia interna de alguma forma. Em princı́pio, é possı́vel converter a energia interna
em energia cinética, de forma que o objeto comece a se mover?
Questão 4.6 Um galão de gasolina contém aproximadamente 1,2 × 108 J de energia.
Se toda essa energia fosse convertida em energia cinética num carro de 1.200 kg, quão
rápido o carro poderia ir?
42 4.9. Problemas
4.9 Problemas
Atividade 4.1 (a) Você está dirigindo um carro a 25 m/s quando ultrapassa um ca-
minhão viajando na mesma direção a 22 m/s. Se a direção na qual os dois carros estão
viajando é tida como positiva do sistema de coordenadas, qual é a velocidade do ca-
minhão em relação a você? (b) Agora uma motocicleta ultrapassa você a 29 m/s. Qual
é a velocidade da motocicleta em relação a você?
Atividade 4.2 Dois blocos de massa m1 e m2 e velocidades iniciais v1 e v2 sofrem
uma colisão. Em qual situação o impulso exercido entre os carrinhos é maior, em uma
colisão elástica ou em uma colisão totalmente inelástica? Justifique.
Atividade 4.3 Um átomo de urânio-238 pode se desintegrar num átomo de tório-234
e uma partı́cula chamada de partı́cula alfa, α-4 (os números indicam as inércias dos
átomos e da partı́cula α em unidades de massa atômica, onde 1 u.m.a. = 1,66× 10−27
kg). Quando um átomo de urânio inicialmente em repouso se desintegra, um átomo
de tório recua com velocidade −2,5×105 m/s. Quanto da energia interna do átomo de
urânio é liberada durante o processo de desintegração?
Exercı́cio 4.1 Um rio flui com velocidade constante v. Um estudante nada rio acima
uma distância d e depois volta ao ponto de partida. O estudante consegue nadar a
uma velocidade c em água parada. (a) Em termos de d, v e c, que intervalo de tempo é
necessário para o percurso completo? (b) Que intervalo de tempo seria necessário se a
água fosse parada? (c) Qual intervalo de tempo é maior? Explique se é sempre maior.
Exercı́cio 4.2 Dois blocos de massam1 em2 e velocidades iniciais v1 e v2 colidem elas-
ticamente. Suponha que possamos ajustar as massas de m1 e m2 livremente. Encontre
em que situação o bloco 2 dobra sua velocidade devido à colisão.
Exercı́cio 4.3 Dois blocos de massa m1 = 0.25 kg e m2 = 0.40 kg se deslocam em uma
linha reta em um trilho sem atrito a velocidades v1i = 0.20 m/s e v2i = −0.050 m/s. Os
blocos sofrem uma colisão totalmente inelástica.
a) Escreva as equações de conservação de momento linear. A energia cinética se con-
serva?
b) Calcule as velocidades finais dos dois blocos.
c) Faça um gráfico das velocidades dos blocos em função do tempo, ressaltando em seu
gráfico as velocidades relativas dos blocos antes e depois da colisão.
Exercı́cio 4.4 Dois blocos de massa m1 = 0.25 kg e m2 = 0.40 kg se deslocam em uma
linha reta em um trilho sem atrito a velocidades v1i = 0.20 m/s e v2i = −0.050 m/s. Os
blocos colidem elasticamente.
a) Escreva as equações de conservação de momento linear e conservação de energia
cinética.
b) Calcule as velocidades finais dos dois blocos.
Capı́tulo 4. Energia 43
c) Faça um gráfico das velocidades dos blocos em função do tempo, ressaltando em seu
gráfico as velocidades relativas dos blocos.
Exercı́cio 4.5 Um carro de 1000 kg viajando em linha reta com velocidade de +20
m/s colide de frente com uma caminhonete de 1500 kg viajando com velocidade de
−10 m/s. (a) Se 10% da energia cinética do sistema é convertida em energia interna
durante a colisão, quais são as velocidades finais do carro e da caminhonete? (b) Se o
carro tivesse batido na traseira da caminhonete que estaria se movendo com +10 m/s,
como a resposta do item (a) mudaria?
Exercı́cio 4.6 Dois blocos de massa m1 e m2 e velocidades iniciais v1 e v2 sofrem uma
colisão completamente inelástica.
a) Calcule a perda de energia cinética do sistema.
b) Repita seu cálculo quando a colisão é parcialmente inelástica, com um coeficiente
de restituição �.
Exercı́cio 4.7 Um sistema consiste de um carrinho de 4,0 kg e um carrinho de 1,0
kg conectados um com outro por uma mola comprimida. Inicialmente, o sistema está
em repouso num trilho de ar, com atrito desprezı́vel. Quando a mola é relaxada, uma
separação explosiva ocorre às custas da energia interna armazenada na mola compri-
mida. Se a mudança na energia interna da mola durante a separação é de 1,0 kJ, qual
é a velocidade de cada carrinho logo após a separação?
Problema 4.1 Um mito urbano diz que é possı́vel escapar com vida de uma queda de
elevador pulando para cima instantes antes do elevador tocar no chão. Supondo uma
queda de 5 metros de altura, calcule o impulso que você deve dar ao elevador para
que este plano funcione. Quanto de energia você deve gastar neste processo? Avalie
criticamente os valores encontrados. Suponha um elevador de 500 kg de massa e que
você tenha 70 kg.
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 4.3, Exercı́cio 4.1, Exercı́cio 4.3, Exercı́cio 4.4, Exercı́cio 4.7
5. Interações
Na semana anterior vimos como as interações podem alterar a energia cinética de objetos bem
como suas energias internas. Todo evento que ocorre neste universo é o resultado de alguma
interação entre objetos. As interações determinam a estrutura do universo, desde a escala
subatômica até a escala cosmológica. Neste capı́tulo vamos estudar como as interações con-
vertem energia de uma forma para outra. No processo vamos aprender mais sobre o conceito
de energia interna introduzido na semana anterior.
Referências para leitura: Halliday (cap. 8) e Bauer (cap. 6).
5.1 Os efeitos das interações
Figura 5.1: Uma interação entre dois carros pre-
sos por uma mola.
No sentido mais amplo, interações são in-
fluências mútuas entre dois objetos que
produzem mudança (tanto mudança fı́sica
quanto no movimento). Como exemplo,
considere um carro parado numa pista ho-
rizontal. A única forma de fazer o carro se
mover é fazer ele interagir com alguma ou-
tra coisa. Poderı́amos, por exemplo, dar um
empurrão ou fazer o carro colidir com outro
carro, ou colar um imã no carro e puxa-lo ou
empurra-lo com outro imã.
Uma interação que acelera um objeto
pode ser tanto repulsiva quanto atrativa.
Uma interação repulsiva é tal que os corpos
que interagem aceleram na direção de se afastarem um do outro; numa interação atrativa
os corpos aceleram um em direção a outro. Algumas interações são repulsivas sob certas
condições, e atrativas sob outras condições. Um exemplo está na Figura 5.1, que mostra
a interação entre dois carrinhos ligados por uma mola. Quando a mola está esticada, a
interação é atrativa; quando a mola está comprimida, a interação é repulsiva.
44
Capı́tulo 5. Interações 45
A Figura 5.2 representa as componentes x das velocidades, os momentos, as acelerações e
as energias cinéticas de dois carrinhos antes e depois de uma interação. O carro 1, de inércia
0,12 kg e inicialmente no repouso, é batido pelo carro 2, de inércia 0,24 kg e inicialmente
com velocidade de 0,55 m/s.
Note que a interação que causa as mudanças na velocidade e no momento não é ins-
tantânea; ela acontece num certo intervalo de tempo (representado pela região em cinza nos
gráficos). Como a variação da velocidade do carro 1 é o dobro da variação do carro 2, o
módulo da aceleração média do carro 1 é o dobro do carro 2. Este resultado é uma con-
sequência direta da conservação de momento, e esta relação também vale para acelerações
instantâneas. Desta forma, quando dois objetos interagem, a razão das componentes x de
suas acelerações é igual a menos o inverso da razão de suas inércias:
a1
a2
= −m2
m1
.
A equação acima é válida para todas as interações num sistema de dois objetos isolado, in-
dependente do que acontece com a energia durante a