Propriedades de triângulos e quadriláteros

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Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 8º Ano
Propriedades de triângulos e quadriláteros
TRIÂNGULOS
	Os triângulos são figuras geométricas que merecem um estudo aprofundado devido a suas propriedades. A forma triangular é bastante utilizada em situações do cotidiano. Vejam algumas delas:
 
 
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Imagem: Patrick – Patrick / GNU Free Documentation License.
Imagem: Dornicke / GNU Free Documentation License.
2
Uma característica muito importante dos triângulos
 Experiência:
1. Com varetas de madeira (ou canudinhos de refrigerante) e barbante, construa polígonos com quatro, cinco e seis lados, como nas figuras abaixo.
2. Mexam dois dos lados de cada polígono.
Percebam que todos esses polígonos podem mudar seus ângulos, sem alterar seus lados.
De um modo geral, os polígonos são figuras deformáveis, isto é, podem 
mudar seus ângulos conservando seus lados.
 
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Triângulos e quadriláteros
Agora, com novas varetas, formem triângulos a partir de seus vértices.
Tente fazer o mesmo, mexendo dois dos seus lados. 
Verifiquem que não mudam mais de forma!
Isto acontece porque os triângulos têm estrutura rígida. Não são 
deformáveis.
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Triângulos e quadriláteros
4
 
 
Daí, sua grande utilização nas construções que necessitam de estabilidade como: estrutura de pontes, amarrações de telhados, portões, torres, etc.
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Triângulos e quadriláteros
Imagem: Gelpgim22 (Sergio Panei Pitrau) / GNU Free Documentation License.
Imagem: Helena Chiarello / Creative Commons Attribution 2.0 Generic.
	Definição:
	Dados três pontos A, E e O não colineares, chama-se triângulo AEO a região limitada pelos segmentos AE, EO e AO.
	Elementos principais de um triângulo
	
 Vértices: A, E e O.
	Lados: AE ou o; EO ou a; AO ou e.
	Ângulos internos: AÊO ou Ê; EÔA ou Ô; OÂE ou Â.
	Ângulos externos: Âʹ, Êʹ, Ôʹ.
	Perímetro
	É a soma de todos os lados 2p = a + e + o . 
A
E
O
e
o
a
Âʹ
Êʹ
Ôʹ
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Triângulos e quadriláteros
	Classificação de triângulos
	1. De acordo com os valores de seus lados, um triângulo pode ser:
	Equilátero – os três lados são congruentes.
	Isósceles – dois de seus lados são congruentes.
	Escaleno – os três lados são diferentes.
 AB ≡ BC ≡ AC PR ≡ RK 
Triângulo equilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno
 PK é a base (lado diferente).
 R é chamado ângulo do vértice. 
 
 
A
B
C
R
P
K
X
Y
Z
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Triângulos e quadriláteros
 2. De acordo com os valores dos ângulos, um triângulo pode ser:
	Acutângulo – os três ângulos são agudos.
	Obtusângulo – possui um ângulo obtuso.
	Retângulo – possui um ângulo reto.
 Triângulo obtusângulo
 Triângulo acutângulo  é obtuso. Triângulo retângulo
 Â, Ê e Û são agudos. Ô é reto.
Pense e responda:
a) Um triângulo pode ser equilátero e retângulo?
b) Um triângulo pode ser isósceles e obtusângulo?
c) Um triângulo pode ser isósceles e retângulo?
d) Um triângulo pode ser escaleno e acutângulo? 
e) Um triângulo pode ser escaleno e obtusângulo?
 
A
E
U
A
B
C
O
S
T
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Triângulos e quadriláteros
Condição de existência
	Dados três segmentos, só é possível construir um triângulo se a medida do lado maior for menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
 
Usando barbante e varetas de madeira, tente construir triângulos medindo:
20cm, 10cm e 8 cm;
20cm, 10cm e 10cm;
20cm, 10cm e 15cm.
Comprove o enunciado acima.
Veja: no 1º triângulo 20cm > 10cm + 8cm, impossível!
 no 2º triângulo 20cm = 10cm + 10cm, impossível!
 no 3º triângulo 20cm < 10cm + 15cm, possível!
Propriedades que relacionam os ângulos de um triângulo
1ª propriedade
 Experiência:
Desenhe um triângulo qualquer.
Destaque cada um de seus ângulos em cores diferentes e recorte-os.
Junte os ângulos recortados sem sobrepor nenhuma parte.
O que vocês observam? 
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Triângulos e quadriláteros
 
 
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
2º propriedade
Na figura, podemos estabelecer as igualdades:
 x + c = 180º
 x = a + b
 a + b + c = 180º
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Vamos encontrar o valor de x nos triângulos:
 2x + 20º + 48° = 110º
2x + x + 20º + x = 180º 2x + 68º = 110º
 4x = 180º - 20º 2x = 42º
 x = 40° x = 21º
A
B
C
a
b
c
x
x
x + 20º
2x
110º
48º
2x + 20º
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Triângulos e quadriláteros
Segmentos e pontos notáveis de um triângulo
1. Mediana e Baricentro
	A mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
	 As três medianas de um triângulo se encontram em um único ponto denominado baricentro.
	O baricentro é o ponto de equilíbrio do triângulo.
	Vejam as medianas e o baricentro, sendo M, M’ e M’’ pontos médios dos lados dos triângulos.
 acutângulo obtusângulo retângulo
Em todos os triângulos, AM é mediana relativa ao lado BC, BM’ é mediana relativa ao lado AC e CM’’ é mediana relativa ao lado AB. O ponto G é o baricentro do triângulo ABC.
A
B
C
G
A
B
C
G
A
B
C
G
M
M’
M’’
M
M’
M’’
M
M’
M’’
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Triângulos e quadriláteros
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2. Bissetriz e Incentro
	A bissetriz de um triângulo é o segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo interno desse vértice em dois ângulos congruentes (de mesma medida).
	 As três bissetrizes de um triângulo encontram-se num único ponto chamado incentro.
	O incentro é o ponto central da circunferência inscrita no triângulo.
	Vejam as bissetrizes e o incentro no triângulo:
 acutângulo obtusângulo retângulo
AS é bissetriz relativa ao ângulo Â, ES’ é bissetriz relativa ao ângulo Ê e OS’’ é bissetriz relativa ao ângulo O. 
O ponto I é o incentro dos triângulos AEO. 
A
O
E
A
E
O
S
S’
S
S’
S’’’
S’’’
A
S
E
O
I
I
I
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Triângulos e quadriláteros
3. Altura e Ortocentro
	A altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto e é perpendicular a esse lado.
	As três alturas de um triângulo encontram-se num ponto chamado ortocentro.
	Vejam as alturas e o ortocentro nos triângulos:
acutângulo obtusângulo retângulo 
AH altura relativa a BC AH altura relativa a BC 
BH’ altura relativa a AC AB altura relativa a AC
CH’’ altura relativa a AB AC altura relativa a AB
O é o ortocentro. A é o ortocentro.
A
B
C
H
H’
H’’
A
B
C
H
H’
H’’
A
B
C
H
O
O
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Triângulos e quadriláteros
Experiência 1:
1. Em uma folha de papel, desenhe um triângulo acutângulo qualquer e recorte-o.
2. Faça um dobra que passe por um dos vértices, de modo que as duas partes do lado oposto a esse vértice se sobreponham.
 Você determinou a altura relativa a um dos lados.
4. Repita o mesmo procedimento em relação a outro vértice.
O ponto de encontro das duas dobras (alturas) é o ortocentrodo triângulo.
Experiência 2:
1. Em uma folha de cartolina, recorte um triângulo qualquer.
2. Juntando os vértices dois a dois, você encontra os pontos médios de cada lado. Marque-os.
3. Dobre o triângulo, de modo tal que a dobra coincida com a linha que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
4. Repita esse procedimento em relação ao outro vértice.
O ponto de encontro das duas medianas é o baricentro. 
5. Faça passar um barbante pelo baricentro e dê um nó na ponta dele.
6. Segure o barbante na outra extremidade e perceba que o triângulo ficará em posição de equilíbrio.
 
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Triângulos e quadriláteros
Experiência 3:
Em uma folha, desenhe um triângulo qualquer e recorte-o.
Dobre-o a partir de um vértice, de modo que os lados que contêm esse vértice se sobreponham.
Repita esse procedimento em relação ao outro vértice.
O ponto de encontro dessas dobras (bissetrizes) é o incentro do triângulo.
4. Com o compasso, comprove que o incentro é o ponto central da circunferência inscrita no triângulo.
Atividade:
	Na figura, AH e AS são, respectivamente, altura e bissetriz do triângulo AEU. Determine o valor do ângulo x, sabendo-se que:
 m(Ê) = 75º e m(Û) = 27º.
Resolver no quadro discutindo com o aluno.
Resposta: x = 24º.
A
E
U
H
S
x
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Triângulos e quadriláteros
 Propriedades dos triângulos isósceles
Experiência: 
1. Desenhe um triangulo isósceles numa folha de papel ou jornal. 
2. Destaque os três ângulos internos e recorte-os.
3. Sobreponha um ângulo da base sobre o ângulo do vértice.
4. Sobreponha os dois ângulos da base.
	Dessa experiência podemos concluir que :
	Em todo triângulo isósceles, os ângulos
	 da base são congruentes.
No triângulo AEU, traçamos a altura AH.
 Observe que:
EH ≡ HU; logo AH também é mediana.
EÂH ≡ HÂU; logo AH também é bissetriz.
	 Em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura relativa à base e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem.
 
A
E
U
H
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Triângulos e quadriláteros
Propriedades do triângulo equilátero
Experiência:
1. Desenhe um triângulo equilátero numa folha de papel ou jornal.
2. Recorte seus ângulos internos.
3. Sobreponha os 3 ângulos de modo que os 3 vértices coincidam.
	Dessa experiência podemos concluir que:
	Em todo triângulo equilátero, os três ângulos internos são congruentes, medindo 60º cada um.
	 AB ≡ BC ≡ AC 
 
	Como todo triângulo equilátero é também isósceles, todas as propriedades do isósceles valem para o equilátero.
	Portanto:	
	Em todo triângulo equilátero, a mediana e a altura relativas a qualquer lado coincidem entre si e com a bissetriz relativa ao ângulo oposto a esse lado.
60º
60º
60º
A
B 
C
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Triângulos e quadriláteros
	
Atividades:
1.O triângulo ABC é isósceles. Sendo AS a bissetriz 
relativa a Â, determine a medida do ângulo x. 
Responder no quadro discutindo com o aluno.
Resposta: x = 87º.
2. Na figura, o triângulo ADE é equilátero. Determine as medidas a, b e c dos ângulos internos do triângulo isósceles ABC.
Resolver no quadro discutindo com o aluno.
Resposta: a = 26º, b =77º e c = 77º.
B
A
C
A
B
D
C
E
a
b
c
17º
56º
S
x
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Triângulos e quadriláteros
QUADRILÁTEROS
	A presença da forma dos quadriláteros é muito frequente em situações do dia a dia, como em caixas, malas, casas, etc. 
Vejamos!
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Triângulos e quadriláteros
Imagem: Sandhu / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.
Imagem: JozeSIb / Domínio Público.
Elementos de um quadrilátero
Observando o quadrilátero AEOU da figura, podemos destacar:
Vértices: A, E, O, U.
Ângulos internos: Â, Ê, Ô e Û.
Lados: AE, EO, OU, UA.
Diagonais: AO e EU. 
Perímetro
É a soma de todos os lados 2p = AE + EO + OU + UA.
É importante destacar os vértices, os lados e os ângulos internos que são opostos. Nesse quadrilátero, temos:
Vértices opostos: A e O ; E e U.
Lados opostos: AE e OU ; AU e EO.
Ângulos internos opostos: Â e Ô ; Ê e Û.
A
E
O
U
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Triângulos e quadriláteros
Ângulos de um quadrilátero
Experiência:
 Desenhe um quadrilátero ABCD e trace a diagonal BD.
	O que vocês observam?
	Vocês poderiam dizer qual é a soma dos ângulos internos desse quadrilátero, só observando o que fizeram?
	Como obtemos dois triângulos, podemos dizer que:
Em todo quadrilátero a soma dos ângulos internos é igual a 360º.
Atividade:
1. Em um quadrilátero, as medidas dos ângulos internos são expressas por x + 15º, x, x + 20º e x + 35º. Quanto mede a medida do ângulo x?
Resolver discutindo com o aluno.
Resposta: 72º30’. 
2. Deseja-se fazer um painel na forma de um quadrilátero e contorná-lo, de modo que os lados opostos sejam iguais e os lados consecutivos sejam um o dobro do outro. Quanto medirá cada lado se o contorno terá 4,8 metros? 
Deixar os alunos resolverem sozinhos!
Resposta: 0,80m, 1,60m, 0,80m e 1,60m. 
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Triângulos e quadriláteros
Paralelogramos
	Um quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos é chamado de paralelogramo.
	Observe os seguintes quadriláteros:
 AB // CD RS // TU EF // GH 
 AD // BC MQ // NP e MN // PQ RU // ST EH // FG 
 
 Eles são paralelogramos!
O paralelogramo ABCD possui os ângulos retos, por isso isso é chamado retângulo.
O paralelogramo MNPQ possui os lados congruentes, por isso é chamado losango.
O paralelogramo RSTU possui os lados e os ângulos congruentes, por isso é chamado quadrado. Ele é retângulo e losango!
O paralelogramo EFGH não possui lados congruentes nem ângulos retos, por isso não recebe nome especial.
A
B
C
D
M
N
P
Q
R
S
T 
U
E
F
H
G
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Triângulos e quadriláteros
22
Propriedades dos paralelogramos
1ª Propriedade:
Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
 
 
 
A
E
O
U
a
e
o
u
Como a e u são medidas de ângulos colaterais internos, temos:
 a + u = 180º u = 180º - a (1).
 
Como a e e são medidas de ângulos colaterais internos, temos:
 a + e = 180º e = 180º - a (2).
Comparando (1) e (2), temos:
 u = e m(Ê) = m(Û).
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Triângulos e quadriláteros
2ª propriedade:
Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
A
B
C
D
Traçando a diagonal AC, temos:
 a = c ( ângulos alternos internos);
 b = d ( ângulos alternos internos);
 AC lado comum aos dois triângulos.
 Então, temos ABC congruente ao ACD.
 
 Como consequência:
 
 m(AB) = m(CD);
 m(BC) = m(AD).
 
 
 
a
b
d
c
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Triângulos e quadriláteros
3ª propriedade:
Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
D
C
B
A
a
b
c
d
Traçando as diagonais AC e BD, temos:
 a = c (ângulos alternos internos);
 b = d (ângulos alternos internos);
 m(AB) = m(CD) (lados opostos).
Então, temos:
 AMB congruente ao CMD.
Como consequência:
 m(AM) = m(MC);
 m(BM) = m(MD). 
M
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Triângulos e quadriláteros
Paralelogramos especiais
Experiência 1:
Numa folha de papel “ofício” trace duas diagonais.
Com uma régua meça essas diagonais. 
O que você concluiu? 
Experiência 2:
Dobre uma folha de papel “ofício” sobrepondo os dois lados menores.
 Em seguida, dobre a folha no sentido contrário, obtendo assim quatro retângulos congruentes.
Continuando como papel dobrado, corte a diagonal dos retângulos, de modo a obter um losango.
4. Meça com um transferidor os ângulos formados pelas diagonais e pelas diagonais com os lados desse losango.
5. Converse com seus colegas e tirem conclusões. 
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Triângulos e quadriláteros
 Conclusões:
Em todo paralelogramo:
 os lados opostos são congruentes;
 os ângulos opostos são congruentes;
 as diagonais cortam-se ao meio;
 os ângulos consecutivos são suplementares.
No retângulo (além das propriedades acima):
 as diagonais são congruentes.
No losango (além das propriedades acima):
 as diagonais são perpendiculares entre si e estão
 contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.
No quadrado (além das propriedades acima):
 as diagonais são congruentes, perpendiculares 
 entres si e estão contidas nas bissetrizes dos
 ângulos internos.
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Triângulos e quadriláteros
Trapézios
	Trapézios são quadriláteros que possuem apenas um par de lados paralelos.
Observe os seguintes quadriláteros:
 
 RS // TU JL // NM NP // MQ
 RS é a base menor; JL é a base menor; 
 TU é a base maior. MN é a base maior. QH é a altura.
 JN ┴ MN
Eles são trapézios!
No trapézio JLMN, existem dois ângulos retos, por isso ele é chamado trapézio retângulo.
No trapézio MNPQ, os lados não paralelos são congruentes, por isso ele é chamado de trapézio isósceles. 
R
S
U
T
J
L
M
N
N
M
Q
P
H
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Triângulos e quadriláteros
Trapézio isósceles
	No trapézio isósceles podemos observar duas propriedades:
1ª propriedade:
 Num trapézio isósceles, os ângulos das bases são congruentes.
2ª propriedade:
Num trapézio isósceles, as diagonais são congruentes.
A
A
B
B
C
C
D
D
a
b
c
d
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Triângulos e quadriláteros
29
Atividades:
1. No quadrilátero da figura, AE e OE são as bissetrizes dos ângulos  e Ô, respectivamente. Qual é o valor da medida x?
A
B
C
O
E
x
120º
100º
Resolução:
Sendo a = m(BÂO) e o = m(AÔC), temos:
a + o + 100º + 120º = 360º
a + o = 140º (1)
No triângulo AEO, temos:
 o + a + x = 180º 
 2 2 o + a + 2x = 360º (2)
Substituindo (1) em (2) , vem:
140º + 2x = 360º
 2x = 360º - 140º
 2x = 220º
 x = 110º
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Triângulos e quadriláteros
2. No quadrilátero da figura, AE é a bissetriz de BÂD. Determine o valor dos ângulos x e y:
3. A figura ao lado é um retângulo. A medida x indicada é:
38º.
42º.
46º.
48º.
52º.
 Resposta 38º. 
A
C
B
D
E
x
y
72º
68º
Resolver no quadro, em havendo discussão.
Resposta: x = 65º e y = 137º.
76º
x
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Triângulos e quadriláteros
4. No losango ABCD, determine:
as medidas x e y indicadas;
as medidas dos quatro ângulos
 do losango.
Logo, as medidas dos ângulos do
losango são: 106º, 106º, 74º e 74º.
A
B
C
D
x+37°
x
y
Sabendo-se que as diagonais do losango são perpendiculares, então:
x + 37º = 90º
 x = 53º.
Sendo as diagonais bissetrizes dos ângulos, temos:
 ângulo B = 2x;
 ângulo B = 106º.
Sabendo-se que A + B + C + D = 360º e os ângulos opostos são congruentes, temos:
106º + 106º + 2y + 2y = 360º
 4y = 360º -212º
 4y = 148º
 y = 37º
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Bibliografia
Giovanni, José Ruy, 1937
Matemática pensar e descobrir: novo / Giovanni & Giovanni Jr.
São Paulo: FTD, 2000.
Bonjorno José Roberto
Matemática: fazendo a diferença / José Roberto Bonjorno, Regina Azenha Bonjorno , Ayrton Olivares. – 1 ed- São Paulo:FTD, 2006.
Iezzi, Gelson, 1939
Matemática e realidade: 7ª série / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado - 4 ed reform.- São Paulo: Atual, 2000 
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Tabela de Imagens
	n° do slide	direito da imagem como está ao lado da foto	link do site onde se consegiu a informação	Data do Acesso
	 	 	 	 
	2a	Patrick – Patrick / GNU Free Documentation License.	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jangada-Tibau.jpg	19/09/2012
	2b	Dornicke / GNU Free Documentation License.	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cemit%C3%A9rio_S%C3%A3o_Paulo_-_Port%C3%A3o_4.JPG	19/09/2012
	5a	Gelpgim22 (Sergio Panei Pitrau) / GNU Free Documentation License.	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tri%C3%A1ngulo_-_Tecn%C3%B3polis.JPG	19/09/2012
	5b	Helena Chiarello / Creative Commons Attribution 2.0 Generic.	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pontes_1.jpg	19/09/2012
	19a	Sandhu / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cafenea,_Mal%C3%A2%C8%99,_B%C4%83l%C8%9Bi_(1).JPG	19/09/2012
	19b	JozeSIb / Domínio Público.	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Caixas_de_Chocapic_2.jpg	19/09/2012