Algebra Booleana 2

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Sistemas Digitais
Álgebra Booleana e Mapa de Karnauch
Prof. Dr. George Brito
Universidade Federal do Tocantins
Campus Universitário de Palmas
Coordenação de Ciência da Computação
Teoremas Booleanos
Teoremas Booleanos
Teoremas Booleanos –Teoremas Multivariáveis
Os teoremas (14) e (15) não possuem equivalentes
na álgebra comum. Cada um deles pode ser provado
ao tentar todos os casos possíveis para x e y.
Teoremas Booleanos –Teoremas Multivariáveis
Teoremas de De Morgan são extremamente úteis na simplificação
de expressões em que um produto ou a soma das variáveis é
invertida.
Teoremas De Morgan
O teorema (16 ) diz que usar INVERSOR na soma OR de duas
variáveis é o mesmo que usar INVERSOR em cada variável
individualmente. Com isso, operar com AND as variáveis
invertidas.
O teorema (17) diz que INVERSOR o produto E de duas variáveis é o
mesmo que INVERSOR de cada variável individualmente e, em seguida,
operar com OR.
Cada um dos teoremas de De Morgan pode ser facilmente comprovado
por meio da verificação de todas as combinações possíveis de x e y.
Teoremas DeMorgan
 Circuitos equivalentes decorrentes do teorema (16)
Teoremas DeMorgan
 Circuitos equivalentes decorrentes do teorema (17)
Exercício:
Simplifique as expressões booleanas:
Universalidade das Portas NAND e NOR
Portas NAND ou NOR podem ser usadas para criar 
as três expressões lógicas básicas:
OR, AND e NOT.
Proporciona flexibilidade e é muito útil no projeto de 
circuito lógico.
Universalidade das Portas NAND e NOR
Universalidade das Portas NAND e NOR
Um circuito lógico gera um sinal x, que será ALTO sempre que
as condições A e B existirem simultaneamente, ou sempre que
as condições C e D existirem simultaneamente.
A expressão lógica será x = AB + CD.
Cada um dos CI mostrados aqui vai cumprir a função. Cada CI possui
quatro portas idênticas em um único.
Exemplo:
• 𝑆 = A . B; 𝑆=𝐴𝐵
Operação Lógica AND (E)
Exercícios:
1 - Mostre como uma porta NAND de duas
entradas pode ser construída a partir de portas
NOR de duas entradas.
2 - Mostre como uma porta NOR de duas entradas
pode ser construída a partir de portas NAND de
duas entradas.
Exercício:
Converta o circuito da figura para um circuito que use apenas portas
NAND. Em seguida, escreva a expressão de saída para o novo
circuito, simplifique-a usando os teoremas de De Morgan e compare-
a com a expressão original.
Exercício:
Converta o circuito da figura para um circuito que use apenas portas
NOR. Em seguida, escreva a expressão de saída para o novo circuito,
simplifique-a usando os teoremas de De Morgan e compare-a com a
expressão original.
Simbologia Alternativa para Portas Lógicas
As equivalências podem ser estendidas para portas com
qualquer número de entradas.
Nenhum dos símbolos padrão tem bolhas em suas entradas, e
todos os símbolos alternativos os têm.
Os símbolos padrão e suplente para cada porta representam o
mesmo circuito físico.
NAND e NOR são portas inversoras.
O padrão e os símbolos alternativos para cada um terão uma
bolha sobre a entrada ou a saída.
Portas AND e OR são portas não inversoras.
Os símbolos alternativos para cada um terá bolha sem ambas
as entradas e as saídas.
Aspectos sobre as equivalências de símbolos lógicos:
Alternar Representações para Portas Lógicas
 Ativa -em - ALTO – entrada ou saída não tem uma bolha de inversão.
 Ativa – em – BAIXO – entrada ou saída tem uma bolha de inversão.
Exemplo: Interpretação dos dois símbolos da porta NAND.
Alternar Representações para Portas Lógicas
 Ativa -em - ALTO – entrada ou saída não tem uma bolha de inversão.
 Ativa – em – BAIXO – entrada ou saída tem uma bolha de inversão.
Exemplo: Interpretação dos dois símbolos da porta OR.
Qual representação de Porta Usar?
O uso adequado dos símbolos de porta alternativos 
no diagrama de circuito pode fazer a operação do 
circuito muito mais clara.
Circuitos originais usando símbolo NAND padrão.
Representação equivalente em que a saída Z é ativa-em-ALTO.
Qual representação de Porta Usar?
Representação equivalente em que a 
saída Z é ativa-em-ALTO.
Quando um sinal de lógica está no estado ativa
(ALTO ou BAIXO), diz-se que está ativa.
Quando um sinal de lógica está no estado inativa
(ALTO ou BAIXO) é dito ser inativa.
Qual representação de Porta Usar?
O circuito lógico mostrado ativa um alarme quando a
saída Z for ALTO.
Qual representação de Porta Usar?
O símbolo de porta NOR deve ser
alterado para o símbolo alternativo
com uma saída não bolha (ativa-em-
ALTO )para coincidir como entrada de
porta AND não bolha 2.
Modifique o diagrama do circuito
de modo que esse represente a
operação do circuito mais
eficazmente.
O circuito agora tem saídas não
bolha ligados às entradas não
bolha da porta 2.
O atraso de propagação é o tempo que um sistema
leva para produzir uma saída após receber uma
entrada.
A velocidade de um circuito lógico está relacionada
ao atraso da propagação.
Na implementação de circuitos lógicos existe uma
folha de dados que indica o valor do atraso da
propagação. Usada para assegurar que o circuito
possa operar com rapidez suficiente para a
aplicação.
Atraso de Propagação
Situações que exigem habilitar/desabilitar os circuitos
ocorrem com frequência em projeto de circuitos
digitais.
•Um circuito é habilitado quando se permite a
passagem de um sinal de entrada para saída.
•Um circuito é desabilitado quando se impede a
passagem de um sinal de entrada para saída.
Circuitos para Habilitar / Desabilitar
Circuitos para Habilitar / Desabilitar
Circuitos para Habilitar / Desabilitar
Um circuito lógico que permite a passagem de um sinal para a
saída somente quando entradas de controle B e C forem
ambas nível ALTO. Caso contrário, a saída permanecerá em
nível BAIXO.
Circuitos para Habilitar / Desabilitar
Um circuito lógico com sinal de entrada A, controle de entrada
B e saídas X e Y, que atuam como:
•Quando B = 1, a saída X vai seguir a entrada A, e a saída Y
será 0.
•Quando B = 0, a saída X vai ser 0,e a saída Y vai seguir a
entrada A.
Referências
 TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G.
L. Sistemas Digitais: princípios e
aplicações. 11.ed. São Paulo:Pearson
Prentice Hall, 2011.
• Leitura recomendada: Cap. 3: págs 49-
66
 http://dcm.ffclrp.usp.br/~augusto/teaching
http://dcm.ffclrp.usp.br/~augusto/teaching
OBRIGADO
PROFESSOR DR. GEORGE BRITO
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@PROFESSORGEORGE.BRITO
PROFGEORGEBRITO