Aula 12 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): TáciTo Vieira
assunto: Função LogaríTmica - ParTe i
frente: maTemáTica ii
OSG.: 119495/17
AULA 12
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Função Logarítmica (Parte I)
O conceito de logaritmo foi introduzido 
pelo matemático escocês John Napier 
(1550-1617).
W
ik
im
ed
ia
 F
ou
nd
at
io
n 
Nas aulas anteriores, apresentamos equações e inequações 
exponenciais cujas soluções não apresentavam grandes dificuldades. 
Vamos rever o assunto através de alguns exemplos.
Observe as equações a seguir:
I. 27x = 729
II. 256x = 4
III. 3x = –9
IV. 5x = 0
V. 0x = 4
VI. 1x = 7
VII. (–2)x = x
VIII. 3x = 7
Possuem solução no universo real: I, II e VIII.
Definição
b é o logaritmando
a é a base
x é o logaritmo de b na base a
log
a
 b = x ⇔ ax = b, onde
obtém-se
elevando-se



Condições de existência
b > 0
1 ≠ a > 0
Consequências da definição
1) log
a
 1 = 0 2) log
a
 a = 1
3) log
a
 aα = α 4) aloga b = b
5) b = c ⇔ log
a
 b = log
a
 c
Observações: 
I. b também é conhecido como antilogaritmo, podendo ser 
indicado pela igualdade:
b = antilog
a
 x;
II. Logaritmo neperiano (ou natural) é aquele que possui como 
base uma constante denominada número de Euler (ou de 
Neper) (e ≅ 2, 718...);
III. Logaritmo decimal é aquele de base 10.
Exercícios
01. O logaritmo de um número na base 16 é 
2
3
. O logaritmo desse 
número na base 
1
4
 corresponde a:
A) 
−4
3
B) 
−3
4
C) 
1
4
D) 
3
4
E) 
4
3
02. Seja a equação log
4
(log
3
(log
2
x)) = log
11
(log
7
(log
2
128)), pode-se 
afirmar que x é um número:
A) primo.
B) divisível por 3.
C) múltiplo de 5.
D) divisível por 4.
E) múltiplo de 11.
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Módulo de estudo
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03. Dada a equação 4log2k + 2k – 2 = 0, pode-se afirmar que k pertence 
ao intervalo:
A) [0, 1[ B) [1, 2[
C) [2, 3[ D) [3, 4[
E) [4, 5[
04. Fulano aplicou um capital de R$ 15000,00 a juros compostos, pelo 
período de 4 anos e a uma taxa de 2% am. Ao contabilizar o 
valor recebido ao final da aplicação, fulano concluiu que o valor 
corresponde a:
Dado: log ,,102160 24=
A) R$ 36.800,00
B) R$ 37.200,00
C) R$ 39.700,00
D) R$ 37.600,00
E) R$ 38.400,00
05. Em 2017 iniciou-se a ocupação de uma região no interior do país, 
dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população 
dessa cidade tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log
2
(x – 2016), 
onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. 
Considerando 2 1 41≅ , , podemos concluir que a população dessa 
cidade atingirá a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: 
A) 2023 B) 2025
C) 2027 D) 2029
E) 2031
06. Sejam a, b, K e R números maiores do que 1, sendo a ≠ b e 
k ≠ R. O ponto de encontro dos gráficos das funções 
f(x) = Kax e g(x) = Rbx tem abscissa igual a:
A) logb
a
R
K
B) loga
b
K
R
C) log (R K)b
a
⋅
D) logb
a
K
R
E) logab
K
R
07. A solução da equação na variável real x, log
x
 (x + 6) = 2, é um 
número:
A) primo positivo. B) primo negativo.
C) par. D) racional negativo.
E) irracional.
08. (Enem) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala 
Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um 
alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, 
de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste 
da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. 
A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada 
por M
E
E
= 



2
3 0
log , sendo E a energia, em kWh, liberada pelo 
terremoto e E
0
 uma constante real positiva. Considere que E
1
 e 
E
2
 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no 
Japão e na China, respectivamente.
Disponível em: <www.terra.com.br>. Acesso em: 15 ago. 2013 (Adaptado).
 Qual a relação entre E
1
 e E
2
?
A) E
1
 = E
2
 + 2 B) E
1
 = 102 · E
2
C) E
1
 = 103 · E
2
 D) E E1
9
7
210= ⋅
E) E E1 2
9
7
= ⋅
09. Calculando-se 4 2 4
23 3log log− , obtém-se:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
10. Em um terremoto, magnitude e energia podem ser relacionadas 
pela fórmula descrita por
log E = 11,8 + 1,5 M
em que:
E = energia liberada em erg;
M = magnitude do terremoto.
 Assim, a energia liberada (em erg) por um terremoto de magnitude 
1,2 é:
A) 1013,6 B) 1013,3
C) 1013 D) 1012,7
E) 1012,4
11. Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a 
tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo 
logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o 
número do visor é multiplicado por 5.
 Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e 
obteve no visor o número 10.
 Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte 
número:
A) 20 B) 30
C) 40 D) 50
E) 60
12. Suponha que o nível sonoro n e a intensidade l de um som estejam 
relacionados pela equação logarítmica: n = 120 + 10 ⋅ log l, em 
que n é medido em decibéis e l, em watts por metro quadrado. 
O nível de ruído percebido pelo ouvido humano está entre 0 e 
140 decibéis (dB). Exemplos típicos de ruídos:
Tipo de ruído Ruído (dB)
Quarto à noite 20 a 30
Biblioteca 30 a 40
Sala de estar 40 a 50
Conversação 50 a 70
Tráfego 70 a 80
Dentro do ônibus 80 a 90
Dentro do metrô 90 a 100
A 1 m da buzina de um carro 100 a 130
No limiar da dor 130 a 140
 Se uma pessoa é incomodada por um ruído que chega a seus 
ouvidos com uma intensidade de 0,01 w/m2, podemos concluir 
corretamente que esse ruído é comparável à(ao):
A) quarto à noite. B) biblioteca.
C) tráfego. D) dentro do ônibus.
E) dentro do metrô.
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Módulo de estudo
13. Se P = 3 + 32 + 33 + ... + 312 + 313, então log
3
 (2P + 3) é igual a:
A) 7
B) 14
C) 16
D) 28
E) 32
14. Sejam x = 8a e y = 4b, com a e b positivos, assim log
y
x equivale a:
A) 
3
2
a
b
B) 
2
3
b
a
C) 3
2
b
a
D) 2
3
a
b
E) 
a
b
15. Sejam as funções reais dadas por f(x) = 22x + 1 e g(x) = 3x + 1. 
Se b ∈ R tal que f g1
2
2





 = (b) e p = log3b, então sobre p é correto 
afirmar que:
A) é negativo e menor que 1. 
B) é positivo e menor que 1.
C) não está definido. 
D) é positivo e maior que 1.
E) é igual a 1.
Resoluções
01. 
log
log log log
log
16
2
3
1
4
1
4
2
3
2
4
2
3
2
8
3
2
3
16
16 2
2
2
2
x
x
x= → =
= = = ( ) =
= =
−
−
88
3
2
8
3
1
2
1
4
3
2
2
4
−
⋅ = ⋅
−( )
⋅
= −
−
log
 Resposta: A
 Observação: Para uma melhor compreensão dessa resolução, 
sugerimos que o aluno assista à videoaula, correspondente.
02. log
4
(log
3
(log
2
x)) = log
11
(log
7
(log
2
128)) → 
 → log
4
(log
3
(log
2
x)) = log
11
(log
7
(log
2
27)) → 
 → log
4
(log
3
(log
2
x)) = log
11
(log7
7
) → 
 → log
4
(log
3
(log
2
x)) = log1
11
 → 
 → log
4
(log
3
(log
2
x)) = 0 → 
 → log
3
(log
2
x) = 40 = 1 → 
 → log
2
x = 31 = 3 → x = 23 → x = 8 
 Resposta: D
 Observação: Para uma melhor compreensão dessa resolução, 
sugerimos que o aluno assista à videoaula, correspondente.
03. 
 4 2log k + 2k – 2 = 0
 ( )
log
22 2
k
+ 2k – 2 = 0
 2 2
2log k( ) + 2k – 2 = 0
 (k)2 + 2k – 2 = 0
 
k ok
k n o conv m
= − +
= − −



1 3
1 3
( )
( )ã é 
→
≅ − +
≅
∈
Logo
k
k
k
:
,
,
[ , ]
1 17
0 7
0 1
 Resposta: A
04. 
 M C i M
t
t
= ⋅ +( ) → = +


1 15000 1
2
100
 
→ = +( ) → = ⋅
= ↔ =
M M
mas
15000 1 0 02 15000 1 02
24 1 02
48 48
102
160 24
, ,
log ,,
, 1160
15000 1 02 15000 160
15000 2 56
24 2 2
,
, ( , )
,
Assim:
M M
M
= ⋅( ) → = ⋅ →
→ = ⋅ →→ = ⋅ → =M M150 256 38 400 00. ,
 Resposta: E
05. Queremos calcular o valor de x para o qual se tem P = 3,6. Assim,
3 6 0 1 2016 2016 2
2 2 2016
2027 3
2
3 5
3
, , log
, ,
,= + −( ) ⇔ − =
⇔ = ⋅ +
⇔ ≅
x x
x
x
 ou seja, a cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados 
de 2027.
 Resposta: E
06. Considere o ponto P(m, n) intersecção de f(x) e g(x), assim: 
 n = kam = Rbm
 
a
b
R
K
m
R
K
ou m
K
R
m
a
b
b
a




=
= =log logResposta: D
07. log
x
 (x + 6) = 2 → x + 6 = x2 → x2 – x – 6 = 0
 
x
x
=
= −




3
2 n o conv mã é
 Resposta: A
4F B O N L I N E . C O M . B R
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08. Temos que:
M
E
E
E
E
M
E
E
E E
M
= ⋅ 



→ 



=
= → = ⋅
2
3
3
2
10 10
0 0
0
3
2
0
3
log log
Ent o:ã
MM
M
M
Assim
E
E
E
E
2
1
2
0
3
2
0
3
2
3 9
2
3 7
2
27 21
2 3
10
10
10
10
10 10
1
2
,
·=
⋅
⋅
= = =
⋅
−
LLogo:
E E1
3
210= ⋅ .
 Resposta: C
09. 4
4
4
2
3
2
9
3
9
12 4
32 2
3
4
32
2
3
2
3
3
2
2
2
2
log log
log
log
log log
− = =
( )
=
( )
= =
 Resposta: A
10. 
log , ,
log , , ,
log ,
,
E M
E
E
E
= + →
→ = + ⋅ →
→ = →
=
11 8 1 5
11 8 1 5 1 2
13 6
10
10
13 6
 Resposta: A
11. Inicialmente, vamos supor que o número inicial no visor seja n.
 Assim:
Ao teclar B, teremos: 5 n
Ao teclar A, teremos: log
10
(5 n)
Ao teclar B, teremos: 5 · [log
10
(5n)]
Assim:
5 · [log
10
(5n)] = 10
log log10 10
25
10
5
5 2 5 10
100
5
20n n n n n( ) = → ( ) = → = → = → =
 Resposta: A
12. 
 n I
I n
n
n
= +
= ⇒ = +
= +
= + ⋅
120 10
0 01 120 10 0 01
120 10
1
10
120 10
2
log
, log ,
log
llog
( ) .
10
120 10 2 100
2−
= + ⋅ − ⇒ =n n dB segundo a tabela
 Resposta: E
13. 
P
P G
a
q
n de termos
P
= + + + + +
=
=
° =






3 3 3 3 3
3
3
13
2 3 12 13 1...
. :
logo:
== =
−( )
−
⇒ =
⋅ −( )
−
→ = − → = − → + =
Sn
a q
q
P
P P P
n
1
13
14
14 14
1
1
3 3 1
3 1
3 3
2
2 3 3 2 3 3
AAssim P: log log3
3
142 3 3 14+( ) = =
 Resposta: B
14.
log log logy
a a b k a
bk a
x K
bk a k
a
b b
= = = → ( ) = →
→ = → = → =
4 22
8 2 2 2
2 2 2 3
3
3 2 3
2 3
22b
 Resposta: A
15. f(x) = 22x+1 g(x) = 3x+1
 
f g b
b
b
b b
1
2
2
2 2 3
2 2 3
2 3 3 3
2
3
1
2
1
2
1 1
2 1




= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅ → =
⋅ + +
+
( )
(
Logo:
))
log ( )Mas p b bp= → =3 3 2
 Fazendo (2) em (1), tem-se: 
 
3
2
3
3 3 2
3 2 3 3 3
3 1 1 3 0
3 3
3 1 1 3 1 1
p p
p p
p p
= ⇒ ⋅ = ⇒
⇒ = < ⇒ <
⇒ + < ⇒ <
+ +
 Impossível, logo, p não está definido.
 Resposta: C
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TÁCITO VIEIRA
DIG.: GEORGENES – 02/10/17 – REV.: KATIARY