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Formas Diferenciais - Teorema de Green, Gauss e Stokes

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Formas diferenciais
Marcela M.Paula Karina T. Pereira Nicole M. Rabelo
25 de novembro de 2015
Resumo
Este trabalho baseia-se no assunto de formas diferenciais e suas apli-
cações. A partir dos Teoremas Fundamentais do Cálculo (Teorema de
Green, Teorema de Gauss e Teorema de Stokes), a fomentação da teo-
ria de formas diferenciais foi estabelecida, sendoque as formas diferenciais
podem ter grau in�nitesimal (n = 1, 2, 3, ......). Contudo neste trabalho
especi�caremos as formas de grau 1, 2 e 3 e suas aplicações em um de-
terminado espaço. As aplicações físicas também serão expostas para um
maior entendimento do estudo. Portanto, o objetivo da pesquisa foi de
abrir o conceito de formas diferenciais com base no cálculo vetorial como
a utilização de integral de linha, rotacional, divergênciae os teoremas,
analisando as regiões dos campos vetoriais.
Palavras-chave: formas diferenciais, aplicações, Teoremas Fundamen-
tais do Cálculo e cálculo vetorial.
1 Introdução
As formas diferenciais, são ferramentas cruciais para diversos campos de
estudo. No cálculo vetorial, na física, na geometria analítica, e em muitos cam-
pos da ciência, constituem um papel importante na passagem do local para o
global.A análise vetorial oferece uma maneira mais conveniente para tratar pro-
blemas da física, tornando-os mais concisos. Em busca de um contexto dusual,
apresenta-se os principais teoremas do cálculo vetorial. O Teorema de Green,
querelaciona uma integral dupla sobre uma região plana de uma curva simples.
O teorema de Gauss,relaciona uma integral tripla com o �uxo na fronteira de
uma superfície. O Teorema de Stokes, traz a relação entre a integral de uma
forma diferencial e sua derivada exterior. Este trabalho traz o estudo de N-
formas diferenciais, introduzindo a integral de linha sobre uma curva (1-forma),
a integral de superfície (2-formas) e a integral de volume sobre uma região (3-
formas). O cálculo vetorial proporcionou uma uni�cação à álgebra vetorial,
que sem dúvidas é uma ferramenta para a resolução de inúmeros problemas.Os
teoremas abordados possuem aplicações na termodinâmica, no estudo do eletro-
magnetismo, em simetrias de equações diferenciais, na geometria, em leis físicas,
entre outros.
1
2 Teoremas Fundamentais
2.1 Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral dupla de uma certa região com a
integral de linha da curva que a delimita (relaciona com a fronteira da região).
O Teorema de Green baseia-se na postulação de que tendo uma certa curva (C)
plana, fechada percorrida no sentido anti-horário e contínua, que delimitauma
região (R) e um certo P e Q que possuem suas derivadas parciais de primeira
ordem em um espaço aberto que contenha a região R, então:∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
R
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)dA
Esse teorema exerce papel fundamental na determinação de áreas de regiões
limitadas por curvas fechadas simples. Para entender a sua contribuição para
o cálculo de tais regiões, podemos comparar com os antigos métodos de men-
suração de regiões planas. Em 1854 foi criado o planímetro, instrumento capaz
de medir áreas de regiões planas limitadas: possui dois braços que variam o ân-
gulo de 0o a 180o, conforme contorna a curva na superfície. A Integral de linha
obtida pelo Teorema de Green é igual ao múltiplo da área da região delimitada
da curva C pelo planímetro, e o campo de vetores gerado pelo instrumento, está
em acordo com o teorema.O Teorema de Green constitui-se portanto, de uma
ferramenta utilizada em diversas ciências físicas, que torna possível e viável a
mensuração e aplicação de diversos conceitos.
2.2 Teorema de Gauss
O Teorema de Gauss também chamado de Teorema da Divergência relaciona
a integral tripla da divergência de um campo com o �uxo na fronteira de uma
superfície. ∮ ∮
S
~Fd~S =
∫∫∫
E
∇~Fdv
O estudo da superfície Gaussiana permite relacionar o �uxo de linhas de força
de um campo elétrico através de uma dada superfície. Como o �uxo de linhas
de campo através de uma superfície fechada é proporcional à massa (ou carga)
dentro dessa superfície, sabe-se da relação entre a carga contida em um volume,
e o �uxo de campo elétrico. Se a super�cie for dividida in�nitesimalmente dA,
considerando o campo eletrico E constante, e considerando todos os pontos com
formacao de um angulo com dA, o campo eletrico e dado por:
dΦ = EdA cos θ
O �uxo através de toda a superfície é uma integral:
Φ =
∮
~Ed ~A =
∮
EdA cos θ
2.3 Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície de uma certa região
com a integral ao redor da curva que delimita a região citada anteriormente.
2
A conceituação do teorema se baseia na ideia de que um certo F simboliza um
campo vetorial que possua componentes com derivadas parciais existentes em
um espaço aberto que contenha uma região (S), que seja delimitada por uma
curva (C) simples, fecha e positiva.∮
C
~Fd~r =
∫∫∫
S
(∇X ~F )d~S
Analisando uma superfície β orientada, com um número �nito de arestas (suave
por partes),e com fronteira formada por uma curva simples; o Teorema de Stokes
relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície β com uma integral
ao redor da fronteira de β. A partir do Teorema de Stokes é possível trabalhar
com equações válidas para campos vetoriais. É utilizada na lei de Ampére e
tem diversas outras aplicações no cálculo das variáveis do eletromagnetismo.
3 N�formas
De posse do conhecimento de que cada espaço vetorial possui um espaço
associado, o dual, e que ao se associar cada elemento pertencente de um conjunto
aberto contido nessa região a um funcional linear correspondente ao seu dual,
tem-se uma aplicação. Isto é, uma forma diferencial(diferenciavel) de grau p é
uma aplicação diferencial (diferenciavel).
3.1 Funcional linear e o espaço dual
Serão relatadas as bases do estudo de formas diferenciais: funcionais line-
ares e o espaço dual.Os quais tratam-se de fundamentos importantes da álge-
bra linear. Seja S um espaço vetorial de n dimenções em R. Chama-se por
S∗ = H(S,R)o espaço vetorial dos funcionais lineares F : SemR, denominado
espaço dual de S,o qual satisfaz dimS∗ = dimS. Dada uma base A = v1, ..., vn
de S, tem-se uma base A∗ = F1, ..., Fn de S∗ denominada base dual de A
satisfazendo:
Fi(vj) = Zij, ondeZij =
{
0 , se i 6= j
1 , se i = j
Assim, para v ∈ S com
F =
n∑
i=1
αivi
segue que para Fi(v) = αai, i = 1, ..., n. Outra forma de se expressar:
v = F1(v)v1 + F2(v)v2 + ...+ Fn(v)vn
Para um funcional linear F ∈ S∗, supondo F =
∑n
i=1 θiF i, tem-se que F (vi) =
αi, i = 1, ..., n.Logo,
F = F (v1)F1 + F (v2)F2 + ...+ F (vn)Fn
3
4 1�formas
Iniciaremos com a formalização de 1-formas em Rn, embora seja comumente
utilizada para n e (1,2 e 3).
De�nição 1 Uma forma diferencial de grau 1, de�nida em um aberto U ⊂ Rn
é uma aplicaçãoW que a cada x ∈ U associa um funcional linearW (x)→ (Rn),
i.e,
W (x) =
n∑
i=1
ci(x)dxi
W (x) = c1(x)(dx1)+, ...,+cn(x)(dxn)
Sendo ci funções, tais que ci : UXRn → R, i = 1, ..., n e dxi tais que dx1, .., dxn ⊂
(Rn), é a base dual canônica.
Que satisfaz:
(1) Para p0 ∈ U , �xo, e estimando β(p0, u) dependente apenas de u, tem-se
uma aplicação linear de RnemR;
(2) Para u0 ∈ Rn, �xo, e estimando β(p, u0) dependente apenas de p, tem-se
uma função diferenciavel de UemR;
Desde que p ∈ U tenha sido �xado, de�nimos βp como sendo a transformação
linear
βp : Rn → R
dada por
β|p(v) = β(p, v)
para qualquer v ∈ Rn. A forma-1 é representada de forma concreta por um
sistema de coordenada em Rn
� = e1, ..., en
a base canônica. Dado um campo vetorial em Rn, e v como um vetor qualquer,
tem-se:
v = b1e1 + ...+ bnen
, em que b1, b2, ...bn são coe�cientes reais. Esse campo é diferenciavel quando
as funções ai : U → R para i = 1, ..., n são diferenciáveis. Seja, agora, um ponto
p �xo em U e a partir de (1),
β(p, u) = b1β(p, e1) + ...+ bnβ(p, en)
.
Representando por dxi a transformação linear de RnemR por meio da qual
é extraido até o i-esimo termo de um vetor
dxi(k) = ci
podendo ser reescrito na forma
β(p, u) = β(p, e1)dx1(u) + ...+

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