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Formas Diferenciais - Teorema de Green, Gauss e Stokes

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β(p, en)dxn(u)
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Como o vetor ei é �xado, de modo que, conforme a propriedade (2), β(p, ei) é
diferenciavel para cada 1 < i < n. Assim escrevendo,
ai(x1, ..., xn) = β((x1, ..., xn), ei)
obtem-se uma função diferenciavel
ai : U → R
Desse modo,
β(p, u) = a1(p)dx1(u) + ...+ an(p)dxn(u)
para todo p ∈ Ueu ∈ Rn. De forma equivalente:
β = a1dx1 + ...+ andxn
em UXRn.
4.1 Diferencial
A diferencial de�ne uma transformação linear de O(U), composta por um
conjunto de funções diferenciaveis em U , que produz 1(U), a qual é determinada
em f2O(U) pela fórmula
df =
∂f
∂x1
dx+ ...+
∂f
∂xn
dn
Ou então, por
d(fg) = fd(g) + gd(f)
Quando f, g ∈ O(U), sendo esta conhecida como a fórmula de Leibniz.
5 2-formas
De�nição 2 Uma forma diferencial de grau 2, de�nida em um aberto U ⊂ Rn
é uma aplicação
α : UxRnxRn → R
Que satisfaz: (1) Para p0 ∈ U , �xo, e estimando W (p0, v, u) dependente apenas
de u e v, tem-se uma aplicação bilinear de RnxRnemR; (2) Para v0eu0 ∈
Rn, �xo, e estimando β(p, v0, u0) dependente apenas de p, tem-se uma função
diferenciavel de UemR; Segundo a propriedade 1,
Wp : RnxRn → R
composta por
Wp(v, u) = W (p, v, u)
Supondo que os vetores veu estejam representados com base em suas coordena-
das na base canônica
Wp =
∑
1≤i≤j≤n
cij(p)dxi ∧ dxj
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Já que dxidxj(ei, ej) = 1
W (p, ei, ej) = aij(p)
Assim, conforme a propriedade (2)
aij : U → R
sao funções diferenciaveis em U .Desse modo, podemos inferir que toda 2-forma
diferencial de�nida em uma dada região UdeRn pode ser expressa da seguinte
maneira:
W =
∑
1≤i≤j≤n
cijdxi ∧ dxj
em que aij = aij(x1, ..., xn) são diferenciáveis em U . A partir disso, �ca fácil
veri�car as propriedades anteriores. Uma maneira mais simplicada de represen-
tar o conjunto das 2-formas diferenciais de�nidas em U seria por Ω. Através
do qual, há uma serie de operações que podem ser realizadas, sendo a soma a
mais simples.Partido de ωeκ, 2-formas diferenciais em U , sua soma φ+ κ esta
de�nida em um ponto (p, v, u) ∈ UxRnxRn por
(ω + κ)(p, v, u) = ω(p, v, u) + κ(p, v, u)
Para p ∈ U , �xo,
(ω + κ)(p, v, u) = (ωp+ κp)(v, u)
Conforme foi visto em 1-formas,a soma de 2-forma constantes é uma 2-forma
constante também.Isso quer dizer que ω + κ é bilinear alternada, provando a
prop 1. Ao �xarmos dois vetores v0eu0doRn, e considerarmos
(ω + κ)(p, v0, u0) = ω(p, v0, u0) + κ(p, v0, u0)
como uma função dependente apenas de p.Tendo em vista que ω(p, v0, u0) e
κ(p, v0, u) são ambas diferenciaveis, além disso que a soma de funções diferen-
ciaveis também o são. Logo,
(ω + κ)(p, v0, u0)
é uma funcao diferenciavel de p, o que prova 2.
5.1 Produto exterior
Sejam θ e γ exemplos de 1-formas diferenciais em U,a operação produto
exterior pode ser expressa por θ ∧ γ em um ponto
(p, v, u) ∈ UXRnXRn
pela seguinte fórmula
(θ ∧ γ)(p, v, u) = det
(
θ(p, v) γ(p, v)
θ(p, u) γ(p, u)
)
são satisfeitas as seguintes propriedades:
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Anti-comutatividade:
θ ∧ γ = (−γ ∧ θ)
Distribuitividade:
θ + kγ ∧ τ = θ ∧ τ + k(γ ∧ τ)
cujo τ ∈ Ω é tambem uma 1-forma e k um escalar. Para toda 1-forma com
θ ∈ U , a primeira propriedade implica que
θ ∧ θ = 0
O produto exterior nos permite escrever qualquer 2-forma em U como
a1dx1 ∧ dx2 + a2dx1 ∧ dx3 + a3dx2 ∧ dx3
em que a1, a2, a3 ∈ O(U). A partir dele podemos de�nir a diferencial total da
1-forma
θ =
n∑
i=1
cidxi
como sendo igual a
dθ =
n∑
i=1
dci ∧ dxi
6 3-formas
A 3 � formas podem ser deduzidas a partir da 1 � formas e 2 � formas,
lembrando que a integral 2 � formas pode ser convertida em 3 � formas através
do Teorema de Stokes. A expressão da 3 � formas é de�nida como: f∧dx∧dy∧dz
(multiplicação de formas). A 3 � forma dxdydz representa um volume orientado.
De�nição 3 Uma forma diferencial de grau 3, de�nida em um aberto S, sendo
entendida como t : SXRnXRnXRn → R
Com as premissas de que,
(1) Quando se �xa um certo x0 e a�rma que a função t(x0, y, z, w) só depende
de u, vew, há uma aplicação linear como: RnXRnXRn → R.
(2) Quando se �xa y0, z0ew0 e a�rma que a função t(x, y0, z0, w0) só depende
de x, então há uma função diferenciável de S no conjunto dos reais.
Para o melhor entendimento das 3 � formas, consideramos, assim como em
1 � formas, uma transformação linear, no caso, t(y, z, w) e a base canônica:
� = e1, e2, e3, obtendo assim,
t(y, z, w) = a1t(e1, z, w) + a2t(e2, z, w) + a3t(e3, z, w)
Dessa forma, os vetores da base canônica, determinando a, bec constantes
quaisquer pertencentes ao conjunto dos reais, será da forma:
v = ae1 + be2 + ce3
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Mas os t(ej, v, w) são 3 � forma constante (quando se troca 2 entradas a
forma diferencial troca de sinal), por isso a forma linear alternada é equivalente
ao produto da transformação linear em função das bases canônicas pelo deter-
minante da matriz de termos com todas as colunas, exceto a coluna j. Isso se
consegue quando abrimos as formas de v e w em, por exemplo:
v = 2e1 + 3e2 + 5e3
w = 7e1 + 4e2 + 10e3
6.1 Integração de 3 � formas
Vamos analisar o caso de um 3 � forma de um 3 � retângulo no espaço
tridimensional. Seja N pertencente a um espaço S, que contém o 3 � retângulo
([a, a′]X[b, b′]X[c, c′]), então ele pode ser escrito como:
N = f(r, s, t)dr ∧ ds ∧ dt
E a integral de N �ca: ∫
R
N =
a′∫
a
b′∫
b
c′∫
c
fdrdsdt
Com essa conclusão, podemos inferir que:∫
M
t =
∫
R
M ∗ (t)
Para uma certa 3 - célula M, que a imagem está contida em uma região R, então
a integral do vetor t será:
7 Aplicações
7.1 Relações Termodinâmicas de Maxwell
O matemático James Clerk Maxwell postulou relações entre as variáveis
termodinâmicas através da aplicação da geometria. Com o surgimento do estudo
de formas diferenciais, foi criado a lógica por trás das relações de Maxwell. As
relações abrangem as variáveis: pressão, volume, entropia, número de moles,
temperatura, etc. Uma das várias relações entre os termos termodinâmicos é a
que envolve entropia (S) e volume (V ).
7.2 Lei de Faraday
O inglês Michael Faraday realizou experimentos, passando uma corrente elé-
trica induzida através da diferença de potencial em uma bobina concêntrica e
ele percebeu que havia um �uxo magnético através da bobina. A partir desse
experimento, Faraday através do estudo de formas diferenciais, considerando ~E
o campo elétrico e ~B o vetor densidade de �uxo magnético.
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8 Conclusão
Foi possível concluir com o trabalho que as formas diferenciais são bons ope-
radores que generalizam o estudo vetorial. As n � formas descrevem um âmbito
para a resolução de problemas físicos como o estudo das relações de Maxwell,
que interpreta as propriedades termodinâmicas como a entropia, temperatura
e número de moles, a Lei de Faraday, que utiliza não só de formas diferenciais
como também o Teorema de Stokes para propor uma relação matemática entre
um campo elétrico induzido e o �uxo de um campo magnético e outros pro-
blemas de termodinâmica e eletromagnetismo. Além disso, esta pesquisa nos
mostrou as aplicações matemáticas de formas diferenciais, citadas aqui a 1 �
formas, 2 � formas e 3 - formas, como na diferenciação, integração e produto
exterior e que as n � formas é uma generalização dos teoremas e leis das formas
diferenciais, já que um padrão das formas 1, 2 e 3 foi observado.
Referências
1 CASTRO, Fernando Rossales.Folheações de dimensão 2 de R3 induzidas
por 1-formas diferenciais.Unesp.Apresentado como tese de mestrado. 81
páginas. São José do Rio Preto.Março de 2012.
2 S. C. Coutinho.Cálculo vetorial com formas diferenciais. 172 páginas.
3 PERDIGÃO, Manfredo do Carmo. Formas diferenciais e aplicações.Impa,
Instituto de Matemática Pura e Aplicada.Apresentado como monogra-
�a.234 páginas.Rio de Janeiro.1983.
CASTRO, Fernando Rossales Sobrenome maiusculo, resto nome normal.titulo
do artigo em negrito.faculdade, apresentado como tese, .., quantidade de pags,
lugar, ano. titulo de onde tirei. autor. disponivel em: nome do site. Acesso em:
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