Prova resolvida - Álgebra Linear II

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Matemática em Exerćıcios
Prova resolvida - Álgebra Linear II
Professor Guilherme Miguel Rosa
Questão 1. Mostre que ||u + v||2 + ||u − v||2 = 2||u||2 + 2||v||2 para quaisquer vetores u e v de um
espaço com produto interno.
Solução: Pelas propriedades do produto interno:
||u + v||2 + ||u− v||2 = 〈(u + v, u + v)〉+ 〈(u− v, u− v)〉
= 〈(u + v, u)〉+ 〈(u + v, v)〉+ 〈(u− v, u)〉 − 〈(u− v, v)〉
= 〈(u, u)〉+ 〈(u, v)〉+ 〈(u, v)〉+ 〈(v, v)〉+ 〈(u, u)〉 − 〈(u, v)〉 − 〈(u, v)〉+ 〈(v, v)〉
= 2〈(u, u)〉+ 2〈(v, v)〉
= 2||u||2 + ||v||2.
Questão 2. Considere os vetores a seguir:
v1 =
(
4
5
,
3
5
, 0
)
, v2 =
(
−3
5
,
4
5
, 0
)
e v3 = (0, 0, 1).
O conjunto B = {v1, v2, v3} é uma base ortonormal para R3 com o produto interno usual. Escreva o
vetor u = (1,−1, 2) nesta base.
Solução: Precisamos calcular os coeficientes de Fourrier: 〈u, v1〉, 〈u, v2〉 e 〈u, v3〉, onde:
u = (1,−1, 2) = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + 〈u, v3〉v3.
• 〈u, v1〉 =
〈
(1,−1, 2),
(
4
5
,
3
5
, 0
)〉
=
4
5
− 3
5
=
1
5
.
• 〈u, v2〉 =
〈
(1,−1, 2),
(
−3
5
,
4
5
, 0
)〉
= −3
5
− 4
5
= −7
5
.
• 〈u, v3〉 = 〈(1,−1, 2), (0, 0, 1)〉 = 2.
Logo, u =
(
1
5
,−7
5
, 2
)
B
.
Questão 3. Considere a transformação linear T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+2y−z, y+2z, x+3y+z).
• a) Verifique se (1,−1, 2) ∈ Im(T );
• b) Determine o núcleo de T .
Solução:
• a) Para que (1,−1, 2) ∈ Im(T ), deve existir um vetor v ∈ R3 tal que T (v) = (1,−1, 2).
Seja v = (a, b, c), temos T (v) = (a + 2b− c, b + 2c, a + 3b + c). Logo

a + 2b− c = 1
b + 2c = −1
a + 3b + c = 2
.
1
Multiplicando a primeira equação por −1 e somando com a terceira, obtemos b + 2c = 1. Porém, a
segunda equação diz que b + 2c = −1. Logo, o sistema é imposśıvel e portanto (1,−1, 2) /∈ Im(T ).
Questão 4. Encontre a transformação linear T : R3 → R4 conhecendo os valores de T na base de R3:
T (1, 3,−1) = (1, 1,−1, 0), T (2, 0, 1) = (0, 0, 1,−1), e T (0,−1, 1) = (1, 0,−1, 0).
Solução: Considere um vetor qualquer v ∈ R3, dado por v = (x, y, z). Escrevendo v na base fornecida,
temos (x, y, z) = a(1, 3,−1) + b(2, 0, 1) + c(0,−1, 1). Com isso:
x = a + 2b
y = 3a− c
z = −a + b + c
Resolvendo o sistema, encontramos a =
−x + 2y + 2z
3
, b =
2x− y − z
3
e c = −x + y + 2z. Logo,
(x, y, z) =
−x + 2y + 2z
3
(1, 3,−1) + 2x− y − z
3
(2, 0, 1) + (−x + y + 2z)(0,−1, 1).
Basta substituir os vetores da base pelas respectivas imagens por T :
T (x, y, z) =
−x + 2y + 2z
3
(1, 1,−1, 0) + 2x− y − z
3
(0, 0, 1,−1) + (−x + y + 2z)(1, 0,−1, 0)
=
(
−x + 2y + 2z
3
− x + y + 2z, −x + 2y + 2z
3
,
x− 2y − 2z
3
+
2x− y − z
3
+ x− y − 2z, −2x + y + z
3
)
=
(
−4x + 5y + 8z
3
,
−x + 2y + 2z
3
, 2x− 2y − 3z, −2x + y + z
3
)
.
Questão 5. Seja T : R3 → R3 a transformação linear dada por T (x, y, z) = (x + z, y + z, x + y + 2z).
Encontre a matriz de T :
• a) Em relação à base canônica;
• b) Em relação à base B = {(1, 1, 2), (−1, 1, 0), (−1,−1, 1)}.
Solução:
• a) Calculando a transformação linear nos vetores da base canônica de R3, temos T (1, 0, 0) =
(1, 0, 1), T (0, 1, 0) = (0, 1, 1) e T (0, 0, 1) = (1, 1, 2). Os vetores obtidos fornecem as colunas da
matriz pedida na ordem, portanto a matriz pedida é
 1 0 10 1 1
1 1 2
.
• b) Calculando a transformação linear nos vetores da base B, temos T (1, 1, 2) = (3, 3, 6), T (−1, 1, 0) =
(−1, 1, 0) e T (−1,−1, 1) = (0, 0, 0). Precisamos obter as coordenadas dos vetores na base B, ou
seja, calcular as constantes a, b e c para cada um deles, conforme abaixo:
(3, 3, 6) = a(1, 1, 2) + b(−1, 1, 0) + c(−1,−1, 1)
(−1, 1, 0) = a(1, 1, 2) + b(−1, 1, 0) + c(−1,−1, 1)
(0, 0, 0) = a(1, 1, 2) + b(−1, 1, 0) + c(−1,−1, 1)
No primeiro vetor, a = 3, b = 0 e c = 0, então suas coordenadas na base B são (3, 0, 0).
No segundo vetor, as coordendas são (0, 1, 0) no terceiro (0, 0, 0). Logo a matriz pedida é
[T ]B =
 3 0 00 1 0
0 0 0
.
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