Prova 14 - Contraposição

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Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Autor: Gabriel F. Ferrari
Área: Matemática
Disciplina: Provas e Demonstrações
Prova 14 - Contraposição
Demonstração de proposições por contraposição
1 Apresentação
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Apresentaremos a demonstração de um enunciado através da contraposição.
Teorema 2.1 Se a, b ∈ Z e a e b tem a mesma paridade então 3a+ 7 e 7b− 4 não tem.
Proof. Suponhamos que 3a + 7 e 7b− 4 tem a mesma paridade, isto é ambos são pares ou
ambos são ímpares. De início consideremos o primeiro caso, isto é existem k, k′ ∈ Z tais que
3a+ 7 = 2k e 7b− 4 = 2k′ daí segue que, 3a = 2(k − 3) + 1 e 7b = 2(k′ + 2) logo a é ímpar
e b é par caso contrário 2(k − 3) + 1 deveria ser par e 2(k′ + 2) ímpar o que é um absurdo,
assim tem-se a negação do antecedente. Por outro lado, se ambos são ímpares então temos que
3a + 7 = 2k + 1 e 7b − 4 = 2k′ + 1 daí se segue que 3a = 2(k − 3) e 7b = 2(k′ − 1) − 1
de forma análoga a primeira parte da demonstração temos que a é par e b é ímpar que nega o
antecedente. Consequentemente, isso termina a prova.
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