Aula 3_Gráficos de Controle por Variáveis (Até o slide 25)

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UNILAGOS
CONTROLE ESTATÍSTICO DA QUALIDADE
Prof. Nicholas V. E. Ludolf
nicholasuff@gmail.com
nicholasludolf@id.uff.br 
Fundamentos do Controle Estatístico de Processos
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3. Gráfico de Controle Por Variáveis
Uma vez eliminadas as causas especiais que afetam o processo e estabelecidas as medidas contra a reincidência de tais causas, pode-se iniciar a construção dos gráficos de controle. Nesta etapa, serão estudados os principais gráficos de controle utilizados no monitoramento de características de qualidade representadas por variáveis contínuas (gráficos de controle por variáveis): o gráfico da média o da amplitude R.
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3. Gráfico de Controle Por Variáveis
Na literatura de CEQ, é usual distinguir as características da qualidade em duas categorias:
Variáveis: Compreendem as características numéricas, usualmente correspondente a medidas. Ex:
Resistência de placas de alumínio.
Quantidade de café em embalagens.
Diâmetros de anéis de pistão.
Viscosidade da calda de chocolate.
Atributos: Compreendem as características resultantes de contagens ou classificação dos itens produzidos. Ex:
Proporção de clientes insatisfeitos com um produto/serviço.
Número de não conformidades por m2 de tecido.
Vamos abordar, inicialmente, os gráficos de controle para variáveis.
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
O usual é usar um par de gráficos de controle: um para monitorar a centralidade e outro para monitorar a dispersão da variável.
Gráfico de linha média (LM) para o gráfico de é localizada na média (valor esperado) de e os limites de controle são geralmente estabelecidos a três desvios-padrão dessa média, isto é: 
LSC = μ + 3σ 
LM = μ 
LIC = μ - 3σ 
 
 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Os limites de controle com três desvios-padrão em relação à linha média foram propostos por Shewhart, que se baseou no seguinte lema: “se o processo estiver em controle, evite ajustes desnecessários, que só tendem a aumentar a sua variabilidade”. 
 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Supondo a independência entre os valores individuais dos elementos da amostra, o valor esperado da estatística coincide com o valor esperado, μX , da variável aleatória X.
μ = μX 
Já a dispersão dos valores de reduz-se à medida que aumenta o tamanho das amostras. A relação entre a variância das observações individuais, σx² , e dos valores de , σ ², é a seguinte: σ ² = σx² /n.
Portanto, como o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância,
σ = σx/n.
Por exemplo, para amostras de tamanho 4, o desvio-padrão de é igual a metade do desvio-padrão das observações Xij .
 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Para fins de determinação dos limites de controle para o gráfico, interessam os valores de μ e σ quando o processo está em controle, isento de causas especiais: μ0 e σ0. Note que, na prática, esses valores não são conhecidos com precisão absoluta, em seu lugar utilizamos as estimativas disponíveis. Denotando essas estimativas por 0 e 0 , obtêm-se os seguintes limites de controle e linha média para o gráfico de : 
LSC = 0 + 3 0 /n
LM = 0 
LIC = 0 - 3 0 /n
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
LSC = 0 + 3 0 /n
LM = 0 
LIC = 0 - 3 0 /n
Na prática, em geral μ0 e σ0 são desconhecidos, devendo ser estimados.
A estimação dos parâmetros do processo baseia-se nos resultados de m amostras preliminares, extraídas do processo no cenário de controle estatístico.
O intervalo de ±3σ0/n em torno de μ0 engloba a maioria dos valores de (99,73% deles) caso a dispersão do processo permaneça estável e sua média permaneça ajustada em μ0 , ou seja, μ = μ0 e σ = σ0. 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Os limites de controle para o gráfico de R também estão situados usualmente a três desvios padrão de afastamento da média, ou seja:
LSCR= μR+ 3σR
LMR= μR 
LICR = μR - 3σR
Se a distribuição da variável de interesse X (por exemplo, a quantidade de leite em cada saquinho) for normal com desvio-padrão igual a σ, então a distribuição da amplitude amostral R (diferença, em módulo, entre o menor e o maior valor da amostra) terá média e desvio-padrão dado por: μR = d2σ e σR = d3σ. Onde d2 e d3 dependem apenas do tamanho da amostra n. 
 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Desta forma, os limites de controle e linha média para o gráfico de R podem ser calculados por:
LSCR= d2 0 + 3 d30 
LMR= d2 0 
LICR = d2 0 - 3 d30 
Uma ressalva precisa ser feita: como a amplitude, por definição, não pode ser negativa, quando o valor calculado para LICR for negativo, adota-se LICR = 0, significando, na verdade, a ausência de limite inferior de controle. 
 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Note que os limites do gráfico de dependem de μ0 (o valor-alvo preestabelecido), ou de sua estimativa, e também da estimativa 0 do desvio-padrão em controle do processo; os limites do gráfico de R dependem apenas desta última.
Dado um conjunto inicial de m amostras , a estimativa para μ0 é o valor médio das médias amostrais:
 = 
Onde é a média da i-ésima amostra, e a estimativa para σ0, no caso de se estar utilizando o gráfico de em conjunto com o gráfico R, é:
SD = 
	Sendo a média aritmética dos m de Ri:
= 
 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Exemplo de construção de gráfico.
A tabela 3.2 apresenta os valores de Xij, volume do j-ésimo saquinho de leite pertencente a i-ésima amostra, e de Ri, amplitude da i-ésima amostra para 25 subgrupos racionais de tamanho 5 (m=25 e n=5), bem como a amplitude média . Portanto, i varia de 1 a 25 e j de 1 a 5. Com base na amplitude média podemos estimar o desvio-padrão do processo. 
 0 = SD = = 11,0/2,326 = 4,729
(Ao utilizar a amplitude média das amostras para estimar σ0, estamos supondo que o processo esteve sob controle durante a retirada das amostras).
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Tabela 3.2
 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Exemplo de construção de gráfico.
Limites e linha média para o gráfico R.
LSCR= d2 0 + 3 d30 = (d2 + 3 d3 )0 = (2,326 + 3 x 0,864) x 4,729 = 23,26
LMR= d2 0 = = 11,0
LICR = d2 0 - 3 d30 = (d2 - 3 d3 )0 = (2,326 - 3 x 0,864) x 4,729 = -1,26
Como o valor do LICR é negativo , usa-se então: LICR = 0
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Exemplo de construção de gráfico.
Na figura 3.1 está o gráfico da amplitude de R. Pode-se notar que o 12º ponto está acima do limite superior de controle. Um trabalho de investigação deve ser empreendido, visando encontrar justificativas para esse aumento na variabilidade do processo sinalizado pelo 12º subgrupo racional. 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Exemplo de construção de gráfico.
Supondo que a causa especial foi diagnosticada e que apenas afetou o 12º subgrupo racional. Na tabela3.3 o 12º subgrupo foi excluído. 
Limites e linha média para o gráfico R recalculados.
 0 = SD = = 10,5/2,326 = 4,514
LSCR= d2 0 + 3 d30 = (d2 + 3 d3 )0 = (2,326 + 3 x 0,864) x 4,514 = 22,20
LMR= d2 0 = = 10,5
LICR = d2 0 - 3 d30 = (d2 - 3 d3 )0 = (2,326 - 3 x 0,864) x 4,514 = -1,20
Como o valor do LICR é negativo , usa-se então: LICR = 0
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Tabela 3.3
 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Exemplo de construção de gráfico. Gráfico .
A tabela 3.4 apresenta os valores de Xij e dos 24 subgrupos racionais (o 12º subgrupo foi excluído) de tamanho 5 (m = 24, e n = 5), bem como a médias das médias. 
Utilizando as estimativas 0 = = 1000,0 e 0 = 4,514 
LSC = 0 + 3 0 /n = 1000,0 + 3 = 1006,1
LM = 0 = 1000,0
LIC = 0 - 3 0 /n = 1000,0 - 3 = 993,9
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Tabela 3.4
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Exemplo de construção de gráfico. Gráfico .
Na figura 3.3 notamos que o 13º ponto está acima do limite superior de controle. Todos os comentários feitos para o 12º subgrupo repetem-se aqui. 
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Exemplo de construção de gráfico. Gráfico .
Excluídos, portanto, o 12º e o 13º subgrupos, conforme tabela 3.5 (m = 23, e n = 5), recalculamos os limites e linha média. 
LSC = 0 + 3 0 /n = 999,7 + 3 = 1005,8
LM = 0 = 999,7
LIC = 0 - 3 0 /n = 999,7- 3 = 993,6
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Tabela 3.5
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
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3.1. Construindo os Gráficos de Controle de e R
Figura 3.4