Aula 17 - Torção

Prévia do material em texto

Resistência dos Materiais
Prof. Antonio Dias
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 1
Torção
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 2
Introdução
• A princípio vamos estudar eixos circulares
• Analisaremos tensões e deformações de eixos circulares, 
submetidos a “momentos de torção” ou “torque”
• Os “momentos de torção” ou “torque” são grandezas vetoriais 
e podem ser representadas da seguinte forma:
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 3
Aplicação
• As mais diversas possíveis, desde o mecanismo de 
funcionamento do relógio até um veículo automotivo de última 
geração.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 4
Aplicação(2)
Análise de esforços / Sistema dividido em 3 módulos
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção
2
3
1
5
Propriedades dos eixos circulares
Quando um eixo circular é submetido à torção, todas as 
seções transversais permanecem planas e indeformadas.
(apesar de haver uma deformação angular entre as seções dentro de cada seção não há 
deslocamento entre os pontos da mesma seção, cada seção se comporta como um disco 
sólido)
.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 6
Propriedades dos eixos circulares(2)
Determinação da distribuição de deformações 
específicas de cisalhamento em um eixo circular e 
concluir que a deformação específica de cisalhamento 
varia linearmente com a distância ao centro do eixo.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção
T
𝜙
7
Tensões em uma barra de seção circular
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção
T = T′
Centro da Barra
𝜌
𝑑𝐹
 𝜌. 𝑑𝐹 = 𝑇
se 𝑑𝐹 = 𝜏. 𝑑𝐴 
𝜏 ⇒ 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝐴
 𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴 = 𝑇
8
Considerações importantes
• Tensões nos planos longitudinais e perpendiculares
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 9
Distribuição de deformações no cisalhamento
• Comprimento => L
• Raio máximo => c
• Desl. Angular => Φ
• Raio do elemento => ρ
• Def. de Cisalhamento => γ [rad]
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção
A’
A
𝐴𝐴′ = 𝛾. 𝐿 𝐴𝐴′ = 𝜌. 𝜙
𝛾. 𝐿 = 𝜌. 𝜙 ⇒ 𝛾 =
𝜌. 𝜙
𝐿
Portanto : 𝛾𝑚𝑎𝑥. =
𝑐.𝜙
𝐿
𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝛾𝑚𝑎𝑥.
10
Distribuição de deformações no cisalhamento(2)
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 11
Tensões no regime elástico (𝑇 < 𝜏𝐸)
• Fase elástica => lei de Hooke
• Lei de Hooke para cisalhamento => 𝜏 = 𝐺. 𝛾
• 𝐺 => módulo de elasticidade transversal do material.
• Utilizando a equação de deformação por cisalhamento:
𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝛾𝑚𝑎𝑥.
• E multiplicando ambos os membros por 𝐺 temos:
𝐺𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝐺. 𝛾𝑚𝑎𝑥.
Portanto:
𝜏 =
𝜌
𝑐
. 𝜏𝑚𝑎𝑥.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 12
Tensões no regime elástico (𝑇 < 𝜏𝐸)(2)
Tensão de cisalhamento na barra 
circular varia linearmente com a 
distância até o eixo da barra.
𝜏 =
𝜌
𝑐
. 𝜏𝑚𝑎𝑥.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 13
Torque x momento polar de inércia (J)
• Soma dos momentos das forças elementares deve ser igual a intensidade 
𝑇 => 𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴 = 𝑇
• Substituindo 𝜏 podemos escrever:
𝑇 = 𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴 =
𝜏𝑚𝑎𝑥.
𝑐
. 𝜌2. 𝑑𝐴
• Mas 𝜌2. 𝑑𝐴 representa o momento polar de inércia 𝐽da seção 
transversal com relação ao centro. Portanto:
𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥. . 𝐽
𝑐
• Para 𝜏𝑚𝑎𝑥.:
𝜏𝑚𝑎𝑥. =
𝑇. 𝑐
𝐽
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 14
Exemplo
• Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e diâmetros 
interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm.
a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão de 
cisalhamento não deve exceder 120 Mpa?
b) Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra circular?
Lembrando que o momento polar de inércia da barra circular vazada é : 𝐽 =
1
2
𝜋 (𝑐𝑒𝑥𝑡.
4 −
𝑐𝑖𝑛𝑡.
4 )
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 15
Exercício:
• Uma barra circular vazada de aço cilíndrica com diâmetros interno e externo, respectivamente, 
iguais a 40 mm e 60 mm, sofre um torque de 2,5 kN.m
a) Qual a tensão de cisalhamento máxima?
b) Determine para o mesmo carregamento do item a) o diâmetro de um eixo cheio para o qual a 
tensão de cisalhamento máxima é a mesma do item a)
Lembrando que o momento polar de inércia da barra circular vazada é : 𝐽 =
1
2
𝜋 (𝑐𝑒𝑥𝑡.
4 − 𝑐𝑖𝑛𝑡.
4 ) e 
para a barra cheia 𝐽 =
1
2
𝜋 (𝑐𝑒𝑥𝑡.
4 )
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 16
Transmissão de Potência
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 17
Transmissão de potência
• Potência – trabalho realizado por unidade de tempo
• O trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao torque 
aplicado multiplicado pelo ângulo de rotação.
𝑃 =
𝑇𝑑𝜃
𝑑𝑡
• Velocidade angular é:
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
• portanto podemos expressar a potência como:
𝑃 = 𝑇 .𝜔 ou 𝑃 = 2. 𝜋. 𝑓. 𝑇
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 18
Unidades
SI FPS
Potênica Watts ft.lb/s ou hp ou BTU/h
Torque N.m Ft.lbf
𝜔 rad/s rad/s
unidade símbolo equivalência
watt W 1 J/s = 1 Nm/s = 1 kgm2/s3
horse power hp 1 hp = 745,7 W = 550 ft.lbf/s
cavalo vapor cv 1 cv = 0,9863 hp = 735,5 W
velocidade angular 𝜔 1 rad/s = 2𝜋 𝑓 [ℎ𝑧] rad/s
tensão 𝜏
1 Pa = 145,0377.10-6 psi ou
1 M Pa = 145,0377 psi
1 G pa = 145,0377 ksi
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 19
Projeto do eixo
• Potência e frequência:
𝑃 = 2. 𝜋. 𝑓. 𝑇 => 𝑇 =
𝑃
2.𝜋.𝑓
se 𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥. .𝐽
𝑐
𝐽
𝑐
=
𝑃
𝜏𝑚á𝑥.. 2. 𝜋. 𝑓
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 20
Exemplo
O eixo maciço AB da figura deve ser usado para 
transmitir 5 hp do motor M ao qual está acoplado. 
Supondo que o eixo gire a 175 rpm e o aço tenha a 
tensão de cisalhamento admissível de 14,5 ksi, 
determine o diâmetro do eixo necessário de acordo 
com o padrão de mercado.
diâmetros padrão
[mm]
3 22
4 25
5 28
6 30
7 32
8 35
9 40
10 45
12 50
15 55
17 60
20 65
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 21
Exercício
O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques 
aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento 
desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento 
nos elementos de volume localizados nesses pontos. 
Sabendo-se que o eixo gira a 3600 
rpm, qual a potência transferida 
em cada uma das engrenagens?
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 22
Ângulo de torção
• Limitação de projeto ao ângulo de torção
• Importante na analise de reações em eixos estaticamente 
indeterminados
• Iremos desenvolver â fórmula para o ângulo de torção 𝜙
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 23
Suposições
• Eixo com seção transversal circular que pode variar 
gradualmente ao longo do seu comprimento
• Material homogêneo com comportamento linear-elástico 
quando o torque é aplicado
• Desprezar as deformações localizadas nos pontos de aplicação 
dos torques (cargas) e onde a seção transversal muda 
abruptamente suas dimensões. (princípio de Saint-Venant)
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 24
Dedução
• Método das seções / disco infinitesimal:
• Disco 𝑑𝑥 na posição 𝑥
• Torque 𝑇(𝑥) (pode variar ao longo da linha 
de centro do eixo)
• Rotação relativa de face em relação a 
outra - 𝑑𝜙
• Elemento num raio arbitrário 𝜌
• Sofre deformação por cisalhamento 𝛾
𝑑𝜙 = 𝛾.
𝑑𝑥
𝜌Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 25
Dedução(2)
• Aplica-se a Lei de Hooke => 𝛾 =
𝜏
𝐺
• Tensão de cisalhamento expressa em torque em funçào d 
posição x => 𝜏 =
𝑇(𝑥).𝜌
𝐽(𝑥)
• Portanto => 𝛾 =
𝑇(𝑥).𝜌
𝐽(𝑥).𝐺
𝑑𝜙 = 𝛾.
𝑑𝑥
𝜌
𝑑𝜙 =
𝑇(𝑥)
𝐽(𝑥).𝐺
𝑑𝑥
• Integrando:
𝜙 = 
0
𝐿 𝑇(𝑥)
𝐽(𝑥). 𝐺
𝑑𝑥
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 26
Equação do ângulo de torção 
𝜙 = 
0
𝐿 𝑇(𝑥)
𝐽(𝑥). 𝐺
𝑑𝑥
Onde:
𝜙 Ângulo de torção de uma extremidade em relação a outra, em radianos
𝑇(𝑥)
Torque interno na posição arbitrária x, determinado pelo método das 
seções e pela equação do momento na condição de equilíbrio aplicada 
em torno da linha de centro do eixo
𝐽(𝑥) Momento de Inércia polar do eixo expresso como função da posição “x”
𝐺 Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 27
Caso particular:
Torque e área da seção transversal constantes
𝑇 𝑥 = 𝑇 𝐽 𝑥 = 𝐽
Integrando a equação do ângulo de torção temos:
𝜙 =
𝑇. 𝐿
𝐽. 𝐺
Ou seja, em cada trecho onde não tem variação do torque e do 
diâmetro, pode ser utilizada a formula acima, e eixos 
escalonados, ou com várias cargas de torque, podem ser 
calculados cada trecho que atenda a condição acima e no final 
somar todos os ângulos de torção.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 28
Determinação do 𝐺
𝜙 =
𝑇.𝐿
𝐽.𝐺
ou 𝜙 = 
𝑇.𝐿
𝐽.𝐺
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 29
Convenção de sinais
• Regra da mão direita
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 30
Exemplo da convenção de sinais
• 𝜙𝐴/𝐷 = ?
• Três seções:
AB / BC / CD
𝜙𝐴/𝐷 =
+80𝑁𝑚 . 𝐿𝐴𝐵
𝐽. 𝐺
+
−70𝑁𝑚 . 𝐿𝐵𝐶
𝐽. 𝐺
+
−10𝑁𝑚 . 𝐿𝐶𝐷
𝐽. 𝐺
Se 𝜙𝐴/𝐷 > 0 o ângulo de torção relativo é no sentido positivo do 
torque e se for negativo é no sentido contrário.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 31
Procedimento de análise
• Torque interno:
• Determinação do torque em um ponto na linha de centro pelo 
método das seções.
• Se houver variação da seção deve-se fazer o troque em posição 
arbitrária 𝑥 do eixo e o torque deve ser expresso em função da 
posição, 𝑇(𝑥)
• Se houver vários torques atuando no mesmo eixo, deve-se determinar 
o torque em cada segmento do eixo, e o resultado pode ser 
apresentado como um diagrama de torque.
• Ângulo de torção:
• Quando a área da seção transversal varia ao longo da linha de centro 
do eixo o momento polar de inércia deve ser expresso em função da 
posição 𝑥 , ou seja, 𝐽(𝑥)
• Se o momento polar de inércia, ou o torque interno do eixo mudarem 
subitamente entre as extremidades, então deve ser analisado cada 
segmento
• Utilizar convenção de sinais consistente
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 32
Exemplo
As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das 
extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na figura 
abaixo. Supondo que o módulo de elasticidadede cisalhamento 
seja 80 G Pa e o eixo tenha diâmetro de 14 mm, determinar o 
deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo gira 
livremente no mancal em B
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 33
Solução
• Torque interno:
Diagrama de corpo livre
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 34
Exercício
Um eixo está submetido a um torque T. Comparar a eficácia do 
tubo mostrado na figura com a de um eixo de seção maciça de 
raio 𝑐. Para isto, calcular a porcentagem de aumento de tensão 
de torção e no ângulo de torção por unidade de comprimento do 
tubo em relação aos valores do eixo de seção maciça.
𝜏𝑚𝑎𝑥. =
𝑇. 𝑐
𝐽
𝜙 =
𝑇.𝐿
𝐽.𝐺
𝐽 =
1
2
𝜋 (𝑐𝑒𝑥𝑡.
4 − 𝑐𝑖𝑛𝑡.
4 )
𝐽 =
1
2
𝜋 (𝑐𝑒𝑥𝑡.
4 )
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 35
Eixos Sólidos não-circulares
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 36
Conceito(1)
• Eixos circulares se comportam como discos sólidos e mediante a aplicação de torque os 
deslocamentos não provocam a mudança de geometria da seção transversal.
• Formas com seção transversal não circular como os incrementos de volume não possuem 
simetria com o eixo de aplicação de torque a tensão de cisalhamento na seção transversal 
é distribuída de maneira muito complexa. Fazendo com que as seções transversais 
arqueiem ou “entortem” quando há a deformação por torque. 
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 37
Conceito(2)
• Utilizando a análise matemática baseada na teoria da 
elasticidade:
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 38
Conceito(3)
• Dedução extremamente 
complexa
• Formas mais comuns –
tabela
• Eficiência do eixo circular
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 39
Concentração de Tensão
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 40
Características
• Equação 𝜏𝑚á𝑥 = 
𝑇.𝑐
𝐽 destinada a eixo circular constante ou 
levemente cônico.
• Alterações bruscas da seção transversal resultam em 
comportamento extremamente complexo
• Solução experimental ou métodos de análise matemática 
baseados na teoria da elasticidade.
• Para simplificar o dia-a-dia dos engenheiros as 
descontinuidades mais comuns foram estudadas e 
correlacionadas a geometria base através de um fator 𝑲 –
fator de concentração de tensões de torção
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑲.
𝑇. 𝑐
𝐽
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 41
Geometrias mais comuns
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 42
Fator de concentração de tensões
A equação é 
aplicada para o 
menor dos eixos 
sendo que a 
𝜏𝑚á𝑥ocorre na base 
da curva de 
concordância.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 43
Exemplo
O eixo em degrau mostrado na figura abaixo é apoiado por 
mancais em A e B. Determinar a tensão máxima nele 
desenvolvida devido aos torques aplicados. A curva de 
concordância na junção de cada eixo tem raio r = 6 mm.
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 44
Solução
𝐷
𝑑
= 2
𝑟
𝑑
= 0,15
𝐾 = 1,3
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 45
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑲.
𝑇. 𝑐
𝐽
Solução: distribuição de tensão verdadeira
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 46