100222-prova_1_-_ANALISE_2

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PROVA DE ANÁLISE II
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1. Resolva:
(a) Prove que f é derivável em x = a se, e somente se, qualquer que seja a sequência
(xn), com xn → a, tem-se que
f(xn)−f(a)
xn−a
é convergente.
(b) Dê um exmeplo de uma função derivável em x = a e de duas sequências xn e yn,
com a < xn < yn, de forma que não exista o limite
f(xn)−f(yn)
xn−yn
2. Seja f uma função cont́ınua em um ponto a,e que exista δ > 0 tal que f seja derivável
no intervalo perfurado (a − δ, a + δ) − a. Se f ′(x) tem limite finito quando x → a,
prove que f é derivável em x=a e que lim f ′(x) = f ′(a) quanto x → a.
3. Seja P = {x0, x1, ..., xn} uma partição de [a, b] e considere P1 refinamento de P. Mostre
que s(f, P ) < s(f, P1).
4. Seja f uma função constante em qualquer intervalo [a, b] de R. Mostre f é integrável em
qualquer intervalo [a, b] e que sua integral é função de (b− a).
5. Desafio: Seja f uma função cont́ınua em [a, b], tal que
∫ b
a
f.g = 0, para toda função
cont́ınua g que se anule nos extremos do intervalo. Prove que f ≡ 0.
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