Aula 4 - Excitação não periódica

Prévia do material em texto

VIBRAÇÕES MECÂNICAS
Sistema de 1 Grau de Liberdade -
Resposta de um sistema a uma 
excitação não periódica
Prof. Edson Hideki Koroishi
FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO (FRI)
Impulso Unitário: Excitação transitória que excita
simultaneamente várias frequências em uma banda de
frequência (B) limitada.
- Possui tempo de duração finito.
- A resposta do sistema se comporta como o caso da vibração
livre subamortecida sujeita as condições iniciais (x(0)=0 e
v(0)= v0). Nestas condições tem-se o Impulso Ideal.
Delta de Dirac:
0)(  at at 



 1)( dtat
F

Força impulsiva
)()( atFtF  

- magnitude do impulso [N/s]
 




 )()()()()( afdtatafdtattf 
FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO (FRI)
Impulso Ideal:
Para o caso subamortecido:
h(t) é denominada Função Resposta ao Impulso Ideal.
h(t) depende apenas das propriedades físicas do sistema.
( ) ( ) ( ) ( )t-aFtkxtxctxm ˆ=++ 
( )
( )
m
F
vx
xx
ˆ
0
00
0
0
==
==

( ) ( )
( )
( ) ( ) t-a
t-
a
n
n
etsen
mF
tx
th
etsen
m
F
tx




1
ˆ
ˆ
==
=
21  -na =
FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO (FRI)
Impulso Ideal:
No MATLAB impulse.m
0 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x 10
-3 m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m
x
 [
m
]
Tempo [s]
% Resposta ao impulso
m=10;
c=30;
k=1000;
A=[0 1;-k/m -c/m];
B=[0;inv(m)];
C=[1 0];
sys=ss(A,B,C,0);
T=10; %período
[y,t,x]=impulse(sys,T);
figure(1)
plot(t,y,'LineWidth',2)
title('m=10kg; c=30Nm/s; 
k=1000N/m','fontsize',20)
ylabel('x [m]','fontsize',20)
xlabel('Tempo [s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
grid
FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO (FRI)
Impulso Não Ideal:
F(t) é uma sucessão de impulsos ideais no intervalo de tempo [0,T].
Para sistema linear com h(t).
( )
( )
12
22
11
-tt
FtF
FtF
=
=
=

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )txtxtx
Ft-thtx
Ft-thtx
21
222
111
+=
=
=
A resposta de todos os impulsos existentes de 0 até t é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑
00
tt
dFt-hFt-htx 

==
=
FUNÇÃO RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO






at
at
atu
1
0
)(
  
t
daatu  )()(
( ) ( ) ( ) ( )ttkxtxctxm =++ 
( )
( )
21
1


-
tsene
-tx a
t- n +
=
)/1( 21  -tg-=
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-3
x
 [
m
]
Tempo [s]
Overshoot (sobre sinal):
Tempo de pico (tp):
ts :tempo em que a resposta atinge o regime 
permanente dentro de um intervalo de ±5%:
)1/exp(1)( 2max  ---txOS ==
21 

-
t
n
p =
n
pt
3
=No MATLAB step.m
FUNÇÃO RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO
No MATLAB step.m
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-3 m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m
x
 [
m
]
Tempo [s]
%Resposta ao degrau unitário
m=10;
c=30;
k=1000;
A=[0 1;-k/m -c/m];
B=[0;inv(m)];
C=[1 0];
sys=ss(A,B,C,0);
T=10; %período
[y,t,x]=step(sys,T);
figure(2)
plot(t,y,'LineWidth',2)
title('m=10kg; c=30Nm/s; 
k=1000N/m','fontsize',20)
ylabel('x [m]','fontsize',20)
xlabel('Tempo [s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
grid
FUNÇÃO RESPOSTA A RAMPA UNITÁRIA:
)()()( atuatatr 
  
t
dauatr  )()(
dt
atdr
atu
)(
)(


 
t
dstp  )()(












tt
TtTF
TtTtF
t
tF
20
2
0
00
)(
0
0






 )2()(
1
)(
1
)( 0 TtuTtr
T
tr
T
FtF






 )2()(
1
)(
1
)( 0 TtsTtp
T
tp
T
Ftx
MÉTODO DA INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO:
A integral de convolução permite descrever a resposta de um sistema
mecânico quando este é excitado por qualquer tipo de força de
excitação e quando as condições iniciais são nulas.
  )()(ˆ FF - magnitude da força F(t)
  t
)()()()(ˆ)(   tFtFtF
)()(),(   tgFtx
)()()( 

 tgFtx
 
t
dtgFtx
0
)()()( 
Integral de convolução ou 
integral de superposição
g(t) é a FRI )(*)()( tgtFtx =
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA (FT)
A equação de movimento na forma de EDO escrita no domínio do
tempo, também pode ser analisada no domínio de Laplace (variável s).
A Transformada de Laplace é definida para sistemas lineares descritos
por uma FRI h(t) como:
{ } ∫
∞
0
)()()(
+
== dtthethLsH -st
( ) ( ) ( ) ( )tFtkxtxctxm =++ 
Transformada de Laplace
Condições Iniciais nulas
kcsmssF
sX
sH
++
==
2
1
)(
)(
)(
A FT pode ser escrita em função de ωn e ξ. 22 2
1
)(
nnss
msH
 ++
=
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA (FT)
 A Função de Transferência é a mesma para qualquer que seja a
excitação aplicada;
 O denominador da FT é o polinômio característico;
 As raízes do denominador da FT correspondem aos autovalores do
sistema.
 A resposta do sistema é obtida a partir da Transformada Inversa de
Laplace da função:
)()()( sFsHsX =
Resposta medida Função de Transferência Inverso da FT
Deslocamento H(s), Compliância Rigidez dinâmica
Velocidade sH(s), Mobilidade Impedância
Aceleração s2H(s), Inertância Massa aparente
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA (FT)
0 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x 10
-3m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m
x
 [
m
]
Tempo [s]
num=[1];
den=[m c k];
T=10; %período
sys=tf(num,den);
[y,t,x]=impulse(sys,T);
figure(3)
plot(t,y,'LineWidth',2)
title('m=10kg; c=30Nm/s; 
k=1000N/m','fontsize',20)
ylabel('x [m]','fontsize',20)
xlabel('Tempo [s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
grid
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA (FT)
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-3 m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m
x
 [
m
]
Tempo [s]
num=[1];
den=[m c k];
T=10; %período
sys=tf(num,den);
[y,t,x]=step(sys,T);
figure(4)
plot(t,y,'LineWidth',2)
title('m=10kg; c=30Nm/s; 
k=1000N/m','fontsize',20)
ylabel('x [m]','fontsize',20)
xlabel('Tempo [s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
grid
FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF)
Corresponde a aplicação da Transformada de Fourier na Função
Resposta ao Impulso, considerando s=jω.
jck-mkjcjm
jH


+
=
++
=
)(
1
)()(
1
)(
22
Desta forma, pode-se escrever a relação entre a entrada e saída do
sistema no domínio da frequência:
A função H(ω) é uma grandeza complexa descrita por uma parte real e
uma imaginária:
)()()(  FHX =
∫
∞
0
)()(
+
= dttheH t-j
{ } { })(Im)(Re)(  HjHH +=
Magnitude: { }( ) { }( )22 )(Im)(Re)(  HHH +=
{ }
{ })(Re
)(Im



H
H
=Fase:
Resposta medida Função de Transferência Inverso da FT
Deslocamento H(ω), Compliância Rigidez dinâmica
Velocidade jωH(ω), Mobilidade Impedância
Aceleração (jω)2H(ω), Inertância Massa aparente
FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF)
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
1
2
3
4
x 10
-3 m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m
|H
(w
)|
 [
m
]
Frequência [rad/s]
10
-1
10
0
10
1
10
2
-50
0
50
100
150
F
a
s
e
 [
G
ra
u
s
]
Frequência [rad/s]
%% Função Resposta em Frequência (FRF)
m=10;
c=30;
k=1000;
w=linspace(0,100,1000);
H=1./((k-m.*w.^2)+(c.*w.*j));
Magnitude_H=abs(H);
figure(5)
subplot(2,1,1)
semilogx(w,Magnitude_H,'LineWidth',2)
title('m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m','fontsize',20)
ylabel('|H(w)| [m]','fontsize',20)
xlabel('Frequência [rad/s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
grid
Fase=imag(H)./real(H);
subplot(2,1,2)
semilogx(w,Fase,'LineWidth',2)
ylabel('Fase [Graus]','fontsize',20)
xlabel('Frequência [rad/s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
grid
FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF)
Formas de apresentação da Função Resposta em Frequência:
Diagrama de Bode: descreve o módulo e a fase da FRF com a
amplitude em dB (20log(Saída/Entrada)).
Diagrama de Nyquist: gráfico da parte imaginária em função da
parte real.
-Utilizado em teoria de controle para análise de estabilidade de
sistemas;
- em análise modal, é utilizado na estimativa do fator de
amortecimento e da frequência natural, com um método conhecido
como Curve Fitting.
Parte real e a parte imaginária em função da frequência.
FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF)
Diagrama de Bode: bode.m
10
-2
10
0
10
2
-200
-100
0
m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m
M
a
g
n
it
u
d
e
 [
d
B
]
Frequência [rad/s]
10
-2
10
0
10
2
-200
-100
0
F
a
s
e
 [
G
ra
u
s
]
Frequência [rad/s]
m=10;
c=30;
k=1000;
num=[1];
den=[m c k];
w=logspace(-2,3,1000);% Diagrama de bode
[Mag, Fase]=bode(num,den,w);
MagdB=20*log10(Mag);
figure(6)
subplot(2,1,1)
semilogx(w,MagdB,'LineWidth',2)
title('m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m','fontsize',20)
ylabel('Magnitude [dB]','fontsize',20)
xlabel('Frequência [rad/s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
xlim([10^-2 10^3])
grid
subplot(2,1,2)
semilogx(w,Fase,'LineWidth',2)
ylabel('Fase [Graus]','fontsize',20)
xlabel('Frequência [rad/s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
xlim([10^-2 10^3])
grid
FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF)
Diagrama de Nyquist: nyquist.m
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x 10
-3
System: sys
Real: 0.00135
Imag: 0.000316
Frequency (rad/sec): -5.47
System: sys
Real: -0.00114
Imag: -0.00264
Frequency (rad/sec): 10.7
System: sys
Real: -0.0014
Imag: -0.00124
Frequency (rad/sec): 11.8
m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m
Real
Im
a
g
in
á
ri
a
m=10;
c=30;
k=1000;
num=[1];
den=[m c k];
w=logspace(-2,3,1000);
% Diagrama de Nyquist
figure(7)
nyquist(num,den,w)
title('m=10kg; c=30Nm/s; 
k=1000N/m','fontsize',20)
ylabel('Imaginária','fontsize',20)
xlabel('Real','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
xlim([-2e-3 2e-3])
ylim([-4e-3 4e-3])
grid
FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF)
Parte real e a parte imaginária em função da frequência
10
-1
10
0
10
1
10
2
-2
0
2
x 10
-3 m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m
R
e
a
l 
H
(w
)
Frequência [rad/s]
10
-1
10
0
10
1
10
2
-4
-2
0
x 10
-3
Im
a
g
 H
(w
)
Frequência [rad/s]
m=10;
c=30;
k=1000;
w=linspace(0,100,1000);
H=1./((k-m.*w.^2)+(c.*w.*j));
figure(9)
subplot(2,1,1)
semilogx(w,real(H),'LineWidth',2)
title('m=10kg; c=30Nm/s; k=1000N/m','fontsize',20)
ylabel('Real {H(w)}','fontsize',20)
xlabel('Frequência [rad/s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
grid
subplot(2,1,2)
semilogx(w,imag(H),'LineWidth',2)
ylabel('Imag {H(w)}','fontsize',20)
xlabel('Frequência [rad/s]','fontsize',20)
set(gca,'fontsize',18)
grid
FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF)
A FRF pode ser obtida experimentalmente a partir da aplicação da
transformada de Fourier nos sinais de entrada F(t) e de saída x(t).
∫
∞
0
)()(
+
= dttxeX t-j
∫
∞
0
)()(
+
= dttFeF t-j
)(
)(
)(



F
X
H =
Na prática, os sinais são amostrados em intervalos de tempo, e
assim utiliza-se a Transformada Discreta de Fourier:
∑
0
][)(
N
n
t-j
k
kenFF
=
= 
)(
)(
)(
k
k
k
F
X
H


 =
∑
0
][)(
N
n
t-j
k
kenxX
=
= 