Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro APX2 – Métodos Estat́ısticos I – 1/2021 Código da disciplina EAD06076 GABARITO Nome: Matŕıcula: Polo: Atenção! • Todas as respostas devem estar devidamente justifi- cadas e com todos os cálculos. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta para registro das resoluções nas Folhas de Respostas. USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3. Todas as peças vendidas em um estabelecimento comercial são oriundas das unidades U1, U2 e U3. Cada unidade produz, respectivamente, 29%, 37% e X% das peças e os lotes delas oriundos têm, respectivamente, 5%, 8% e 2% de peças defeituosas. Assuma que uma peça será escolhida ao acaso. Determine: Questão 1 [0,5 pt] O percentual X de peças produzidas na unidade U3. R: Como todas as peças são produzidas por estas três unidades, então a unidade U3 produz: 100%− (29% + 37%) = 100%− 66% = 34%. Questão 2 [1,0 pt] A probabilidade de a peça escolhida ser defeituosa. R: Usando o Teorema da Probabilidade Total, teremos: P (D) = (P (U1)P (D|U1)) + (P (U2)P (D|U2)) + (P (U3)P (D|U3)) = (0, 29× 0, 05) + (0, 37× 0, 08) + (0, 34× 0, 02) = 0, 0145 + 0, 0296 + 0, 0068 = 0, 0509. Métodos Estat́ısticos I APX2 2021/1 Questão 3 [1,0 pt] A probabilidade de a peça escolhida ter sido produzida na unidade U1, se ela for defeituosa. R: Usando o Teorema de Bayes: P (U1|D) = (P (U1)P (D|U1)) P (D) = 0, 0145 0, 0509 = 0, 284872. USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 4 A 8. A área comercial de uma indústria de queijos é composta por 4 departamentos de vendas que atendem as regiões: Norte, Sul, Leste e Oeste. Todos os departamentos são formados por profissionais de ambos os sexos, conforme tabela a seguir. Sexo Região de Atendimento Total Norte (N) Sul (S) Leste (L) Oeste (O) Masculino (M) 5 7 8 3 23 Feminino (F ) 3 4 2 4 13 Total 8 11 10 7 36 Um profissional será selecionado ao acaso. Determine a probabilidade de ele: Questão 4 [0,5 pt] Atender a Região Sul. R: P (S) = 1136 = 0, 3056 Questão 5 [0,5 pt] Ser do sexo masculino e atender a Região Norte. R: P (M ∩N) = 536 = 0, 1389 Questão 6 [0,5 pt] Ser do sexo feminino, dado que atende a Região Leste. R: P (F |L) = P (F ∩ L) P (L) = 2/36 10/36 = 2 10 = 0, 2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Estat́ısticos I APX2 2021/1 Questão 7 [0,5 pt] Ser do sexo masculino ou atender a Região Oeste. R: P (M ∪O) = P (M) + P (O)− P (M ∩O) = 2336 + 7 36 − 3 36 = 27 36 = 0, 75 Questão 8 [0,5 pt] Atender a Região Norte, dado que é do sexo masculino. R: P (N |M) = P (N ∩M) P (M) = 5/36 23/36 = 5 23 = 0, 22 USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 9 A 12. A cada 50 tiros de um atirador, 10 são no alvo. R: Note que 1/5 dos tiros são no alvo. Ou seja, a probabilidade de sucesso é igual a 0,2. Em todas as questões há várias tentativas e todas são independentes, o que indica que se trata de uma distribuição Binomial de probabilidades. Questão 9 [0,5 pt] Qual é a probabilidade de ele acertar no máximo 1 tiro em 5 tentativas? R: Temos p = 0, 2 e n = 5. P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = [( 5 0 ) (0, 2)0(0, 8)5 ] + [( 5 1 ) (0, 2)1(0, 8)4 ] = [1× 1× 0, 32768] + [5× 0, 2× 0, 4096] = 0, 32768 + 0, 4096 = 0, 73728. Questão 10 [0,5 pt] Qual é a probabilidade de ele errar todos os tiros em 6 tentativas? R: Errar todos os tiros significa acertar “zero”. Com n = 6, temos: P (X = 0) = ( 6 0 ) (0, 2)0(0, 8)6 = 1× 1× 0, 26144 = 0, 26144. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Estat́ısticos I APX2 2021/1 Questão 11 [0,5 pt] Qual é a probabilidade de ele acertar todos os tiros em 7 tentativas? R: Agora temos n = 7. P (X = 7) = ( 7 7 ) (0, 2)7(0, 8)0 = 1× 0, 0000128× 1 = 0, 0000128. Questão 12 [0,5 pt] Se ele atira 30 vezes, quantos tiros espera-se que ele acerte? R: O que se deseja aqui é obter a esperança com n = 30. E(X) = np = 30× 0, 2 = 6. Ou seja: “ESPERA-SE QUE ACERTE APENAS 6 TIROS!” USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 13 A 16. Considere a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta X: X 0 1 2 3 4 5 p(x) 0,1 2p/3 0,1 0,2 p 0,1 Questão 13 [1,0 pt] Determine o valor de p. R: Em uma variável aleatória discreta, a soma das probabilidades deve ser igual à 1. Desta forma: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Estat́ısticos I APX2 2021/1 0, 1 + 2p/3 + 0, 1 + 0, 2 + p + 0, 1 = 1 0, 5 + [2p 3 + p ] = 1 0, 5 + [2p + 3p 3 ] = 1[5p 3 ] = 1− 0, 5[5p 3 ] = 0, 5 5p = 0, 5× 3 5p = 1, 5 p = 1, 55 p = 0, 3 Questão 14 [0,5 pt] Determine P (X > 2). R: Como o valor de p obtido, temos que 2p/3 = 0, 2. Assim, a tabela de distribuição de probabilidades será: X 0 1 2 3 4 5 p(x) 0,1 0, 2 0,1 0,2 0, 3 0,1 Logo: P (X > 2) = p(3) + p(4) + p(5) = 0, 2 + 0, 3 + 0, 1 = 0, 6. Questão 15 [0,5 pt] Determine E(X). R: E(X) = (0× 0, 1) + (1× 0, 2) + (2× 0, 1) + (3× 0, 2) + (4× 0, 3) + (5× 0, 1) = 0 + 0, 2 + 0, 2 + 0, 6 + 1, 2 + 0, 5 = 2, 7. Questão 16 [1,0 pt] Determine V AR(X). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Estat́ısticos I APX2 2021/1 R: Para o cálculo da Variância, precisamos de E(X2). E(X2) = (0× 0, 1) + (1× 0, 2) + (4× 0, 1) + (9× 0, 2) + (16× 0, 3) + (25× 0, 1) = 0 + 0, 2 + 0, 4 + 1, 8 + 4, 8 + 2, 5 = 9, 7. Cálculo da variância: V AR(X) = E(X2)− E2(X) = 9, 7− (2, 7)2 = 9, 7− 7, 29 = 2, 41. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Compartilhar