ANÁLISE COMBINATÓRIA 01

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ANÁLISE COMBINATÓRIA – TD 01 PROFESSOR CARLOS CLEY 
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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 A análise combinatória é a parte da 
matemática que estuda as técnicas gerais de 
contagem de certos tipos de subconjuntos de 
um conjunto finito, sem que seja necessário 
enumerar seus elementos (contagem indireta). 
 A solução de um problema combinatório 
exige quase sempre engenhosidade e 
compreensão plena da situação descrita pelo 
problema. Portanto, antes de tudo, é 
necessário formular exemplos sobre a situação 
exigida e, a partir daí, usar as técnicas de 
contagem para encontrar a solução. 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
Considere uma ação composta em duas 
etapas. Se a primeira etapa pode ser feita de 
m modos e, se para cada um desses modos, a 
segunda etapa pode ser feita de n modos, 
então o total de modos a se realizar a ação é 
m.n. 
 
obs.: Se essa ação for composta de mais 
etapas, o resultado será o produto das 
possibilidades de cada etapa. 
 
Vamos resolver! 
 
01. Numa sala há 2 homens e 3 mulheres. De 
quantos modos é possível selecionar um casal 
homem-mulher? 
 
 
 
02. Para fazer uma viagem Petrolina – 
Fortaleza – Petrolina, posso usar como 
transporte o trem, o ônibus ou o avião. De 
quantos modos posso escolher os transportes 
se não desejo usar na volta o mesmo meio de 
transporte usado na ida? 
 
 
 
03. Quantos números naturais de três 
algarismos existem no sistema de numeração 
decimal? 
 
 
 
04. Quantos números naturais de três 
algarismos distintos existem no sistema de 
numeração decimal? 
 
 
 
05. Quantos números ímpares de 3 algarismos 
distintos há no sistema de numeração 
decimal? 
 
 
 
 
06. Quantos números pares de 3 algarismos 
distintos há no sistema de numeração 
decimal? 
 
 
 
 
 
 
07. (UFPE) Um fazendeiro dispõe de um 
terreno dividido em regiões, como na figura 
abaixo, e pretende cultivá-las de forma que as 
regiões com uma fronteira comum tenham 
plantios diferentes. De quantas formas ele 
pode fazer o plantio se pode optar entre milho, 
feijão, soja, arroz e trigo para cultivar? 
 
A) 120 
B) 24 
C) 48 
D) 64 
E) 60 
 
 
 
 
08. Numa prova de 10 questões estilo V ou F, 
um aluno que não estudou irá “chutar” todas 
as alternativas, sem assinalar V e F 
simultaneamente ou deixar qualquer questão 
em branco. De quantos modos distintos esse 
aluno poderá marcar o gabarito? 
 
 
 
 
 
 
 
09. Uma igreja tem 10 portas de entrada. De 
quantas formas distintas essa igreja pode 
estar aberta? 
 
 
 
 
 
 
 
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10. (UNEB/2011) 
 
 
Supondo-se que do campeonato ilustrado na 
tirinha, apenas Mônica, Cebolinha, Magali, 
Cascão e Chico Bento tenham participado e 
que tenha ocorrido premiação apenas para os 
três primeiros colocados, pode-se afirmar que 
o número de maneiras distintas que essa 
premiação poderia ser distribuída é 
 
01) 60 
02) 68 
03) 72 
04) 84 
05) 120 
 
 
11. (ENEM/2012) O diretor de uma escola 
convidou os 280 alunos de terceiro ano a 
participarem de uma brincadeira. Suponha que 
existem 5 objetos e 6 personagens numa casa 
de 9 cômodos ; um dos personagens esconde 
um dos objetos em um dos cômodos da casa. 
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual 
objeto foi escondido e em qual cômodo da 
casa o objeto foi escondido. Todos os alunos 
decidiram participar. A cada vez um aluno é 
sorteado e dá a sua resposta. As respostas 
devem ser sempre distintas das anteriores, e 
um mesmo aluno não pode ser sorteado mais 
de uma vez. Se a resposta do aluno estiver 
correta, ele é declarado vencedor e a 
brincadeira é encerrada. O diretor sabe que 
algum aluno acertará a resposta porque há 
 
A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas 
 distintas. 
B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas 
 distintas. 
C) 119 alunos a mais do que possíveis 
 respostas distintas. 
D) 260alunos a mais do que possíveis 
 respostas distintas. 
E) 270 alunos a mais do que possíveis 
 respostas distintas. 
 
 
 
 
 
12. (ENEM/2013) Um banco solicitou aos 
seus clientes a criação de uma senha pessoal 
de seis dígitos, formada somente por 
algarismos de 0 a 9, para acesso à conta 
corrente pela internet. Entretanto, um 
especialista em sistemas de segurança 
eletrônica recomendou à direção do banco 
recadastrar seus usuários, solicitando, para 
cada um deles, a criação de uma nova senha 
com seis dígitos, permitindo agora o uso das 
26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 
0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra 
maiúscula era considerada distinta de sua 
versão minúscula. Além disso, era proibido o 
uso de outros caracteres. Uma forma de 
avaliar uma alteração no sistema de senhas é 
a verificação do coeficiente de melhora, que é 
a razão do novo número de possibilidades de 
senhas em relação ao antigo. O coeficiente de 
melhora da alteração recomendada é 
 
A) 
6
6
10
62
 
B) 
!10
!62
 
C) 
!56!.10
!4!.62
 
D) 62! – 10! 
E) 66 1062 − 
 
 
DIAGRAMA DE ÁRVORE 
 
 Uma técnica de contagem muito útil na 
resolução de alguns problemas é o diagrama 
de árvore, que consiste na construção de uma 
figura na qual cada possibilidade é descrita a 
fim de se obter o total de possibilidades de 
ocorrência do evento. 
 
13. Dois indivíduos vão disputar a final de um 
torneio de tênis. Essa final se dará numa série 
de partidas, em que o primeiro a vencer dois 
jogos será declarado campeão do torneio. De 
quantos modos distintos poderá se desenrolar 
essa final? Qual o número máximo de partidas 
que poderá ocorrer? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLVA EM CASA! 
 
01. Atualmente as placas dos veículos são 
formadas por três letras seguidas de quatro 
algarismos. Considerando estas informações, 
calcule o numero de placas distintas que 
podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras 
HUW, nesta ordem, e cujo último algarismo 
seja impar. 
 
A) 3600 D) 10001 
B) 5000 E) n.r.a 
C) 10000 
 
02. (UNIFOR) Com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 
e 7, podemos construir: 
 
I. x números de 3 algarismos distintos; 
II. y números de 4 algarismos; 
III. z números pares de 4 algarismos 
distintos; 
O valor de x + y + z é igual a: 
 
A) 913 D) 2971 
B) 1890 E) 3401 
C) 1997 
 
03. (FACAPE/2013.2) Uma pessoa deseja se 
deslocar do bairro A até o bairro C, passando 
pelo bairro B. Sabe-se que há quatro estradas 
ligando os bairros A e B e três estradas ligando 
os bairros B e C. De quantas maneiras 
diferentes essa pessoa poderá realizar seu 
deslocamento? 
 
A) 8 D) 6 
B) 18 E) 12 
C) 10 
 
04. Um botão de um cofre tem os números 
00, 01, 02, ..., 97, 98, 99. O segredo dele é 
uma seqüência de 4 números do botão. O 
número total dos possíveis é igual a: 
 
A) 104 D) 107 
B) 105 E) 108 
C) 106 
 
05. Seja n o total de números naturais 
divisíveis por 4 e de cinco dígitos, que se pode 
formar com os algarismos 1, 2, 3, ,4 ,5 e 6. O 
valor de n/36 é igual a: 
 
A) 54 D) 90 
B) 64 E) n.r.a 
C) 84 
 
06. (UFC) Quantos são os anagramas da 
palavra AMOR em que a primeira letra não é A, 
a segunda não é M a terceira não é O e a 
quarta não é R? 
 
07. Dez diretores de uma empresa são 
candidatos aos cargos de presidente e vice-
presidente da mesma. Quantos são os 
possíveis resultados da eleição? 
 
A) 100 D) 70 
B) 90 E) 60 
C) 80 
 
08. (UFPB) Observe o código abaixo + * * + 
+ + * * + * .Trata-se de uma seqüência de 10 
sinais que podem ser + ou *. O número de 
códigos distintos que podem ser formados com 
10 sinais usando os tipos acima (+ ou *) é: 
 
A) 1010 D) 1024 
B) 10! E) 100 
C) 4096 
 
09. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 
9. Quantos números naturais com algarismos 
distintos existem entre 500 e 1000? 
 
A) 504 D) 120 
B) 729 E) 60 
C) 280 
 
10. (UNEB) A quantidade de número 
múltiplos de 4, com 4 algarismos distintos, que 
se pode formarcom os elementos do conjunto 
A = {1, 2, 3, 4, 6} é igual a 
 
01) 12 04) 26 
02) 18 05) 36 
03) 24 
 
11. (UEFS) A quantidade de números inteiros 
x, formados pelos algarismos 0,1,3,4,5, sem 
repeti-los, tais que 100 < x < 1000 e, x é 
múltiplo de 5, é igual a: 
 
A) 21 D) 120 
B) 24 E) 125 
C) 40 
 
12. (UFBA) Determine quantos números 
pares formados por três algarismos distintos 
escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 se podem 
formar, de modo que a soma dos algarismos 
seja par. 
 
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13. (PUC-SP) O novo sistema de placas de 
veículos utiliza um grupo de 3 letras (dentre as 
26) e um grupo de 4 algarismos (por exemplo: 
ABC - 1023). Uma placa dessas será 
“palíndroma” se os dois grupos que a constitui 
forem “palíndromos”. O grupo ABA é 
palíndromo, pois as leituras da esquerda para 
a direita e da direita para a esquerda são 
iguais; da mesma forma, o grupo 1331 é 
“palíndromo”. Quantas placas “palíndromas”, 
distintas, poderão ser constituídas? 
 
14. (UPE/03) Uma loja de departamentos 
utiliza para identificar os cartões de seus 
clientes especiais um código formado por duas 
vogais distintas e quatro dígitos diferentes, 
sendo que o dígito das unidades é sempre 
zero. Nestas condições, podemos afirmar que 
o número de clientes especiais que a loja pode 
cadastrar é: 
 
A) 10800 D) 80010 
B) 10080 E) 81000 
C) 80100 
 
15. (UFAL/07) Considere o conjunto A, 
formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise 
as afirmações que seguem. 
 
0 0 - Com os elementos de A é possível 
 escrever 32542 números de 5 algarismos 
 distintos entre si. 
1 1 - De todos os números de 4 algarismos 
 distintos entre si, que podem ser escritos 
 com os elementos de A, 3120 são pares. 
2 2 - De todos os números de 3 algarismos 
 distintos entre si, que podem ser escritos 
 com os elementos de A, 176 são 
 menores do que 350. 
3 3 - Com os elementos ímpares de A é 
 possível escrever exatamente 60 
 números de 3 algarismos distintos entre 
 si. 
4 4 - De todos os números de 3 algarismos 
 distintos entre si, que podem ser escritos 
 com os elementos de A, 150 são 
 divisíveis por 5. 
 
16. (UEFS) Duas irmãs possuem 4 saias e 3 
blusas. O número de maneiras distintas que 
elas podem vestir é: 
 
01) 12 04) 144 
02) 24 05) 14472 
03) 72 
 
 
17. (UNICAP) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, 
Pascal formou n números pares e positivos 
com quatro dígitos distintos. Determine n. 
 
18. (EXPCEX/06) Um tabuleiro possui 16 
casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. De 
quantas maneiras diferentes é possível colocar 
4 peças iguais nesse tabuleiro de modo que, 
em cada linha e em cada coluna, seja colocada 
apenas uma peça? 
 
A) 4096 D) 64 
B) 576 E) 16 
C) 256 
 
19. (UNICAP) Quantos números inteiros, 
maiores que 2400 podemos escrever com os 
dígitos 1, 2, 3 e 4, sem repetição? 
 
20. (UFPE) De quantas formas podemos 
escolher, sem considerar a ordem, dois 
naturais distintos no conjunto (1,2,3,4,..., 20) 
de forma que sua soma seja múltiplo de 3? 
 
21. (CESGRANRIO – PETROBRÁS/08) Em 
uma fábrica de bijuterias são produzidos 
colares enfeitados com cinco contas de mesmo 
tamanho dispostas lado a lado, como mostra a 
figura. As contas estão disponíveis em 8 cores 
diferentes. De quantos modos distintos é 
possível escolher as cinco contas para compor 
um colar, se a primeira e a última contas 
devem ser da mesma cor, a segunda e a 
penúltima contas devem ser da mesma cor e 
duas contas consecutivas devem ser de cores 
diferentes? 
 
A) 336 
B) 392 
C) 448 
D) 556 
E) 612 
 
 
 
 
GABARITO - RESOLVA EM CASA 
01 B 08 D 15 ** 
02 D 09 C 16 03 
03 E 10 05 17 12 
04 E 11 A 18 B 
05 A 12 42 19 14 
06 09 13 * 20 64 
07 B 14 B 21 B 
* 67600 ** F,F,V,V,F