MATERIAL DE APOIO Introdução Matemática Financeira Exercícios resolvidos Cap 2

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Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 6 
 
FORMULÁRIO 
Regime de Juros Simples 
 
1n
S
C
i
n
 
 
 
 
1n
S
C
n
i
 
 
 
 
2.7 — Exercícios Propostos1 
1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 100.000,00 aplicados por um prazo de 12 
meses, a uma taxa de 5% a.a? 
Solução 
1(1 ) 100000 (1 0,05 1) $105.000,00nS C i n S R         
 
 
2) Qual o capital inicial que deve ser aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., para ao final 
de 1 ano e meio gerar R$ 100.000,00? 
Solução 
100000
$ 91.743,12
1 1 0,005 18
nSC C R
i n
   
   
 
 
3) Qual o prazo de uma aplicação à 5% a.m. que dobra seu capital inicial? 
Solução 
2
1 1
1
20
0,05
nS C
C C
n n meses
i i
   
    
       
 
 
4) Qual a taxa de juros anual, a que devemos aplicar um capital inicial para que ele 
dobre o seu valor num prazo de 10 anos? 
Solução 
2
1 1
2
0,2 20% . .
10 10
nS C
C C
i a a
n
   
    
        
 
5) Qual o total de juros acumulado, de uma aplicação de R$ 20.000,00, à taxa de juros 
de 5% a.a. por um período de 7 anos? 
Solução 
20000 0,05 7 $ 7.000,00J C i n R      
 
 
1
 Na resolução de problemas propostos considerar anos comerciais de 360 dias e meses de 30 dias, salvo 
menção em contrário. Considerar neste capítulo o Regime de Juros Simples. 
365
niC
Juroexato


360
niC
JuroComercial


niCJ 
(1 )nS C i n   
JCS 
1
nSC
i n

 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
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6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 183 dias 
resgatou R$ 1.033.650,00 brutos. 
a) Qual foi a taxa diária de juros simples auferida pelo investidor? 
b) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações 
financeiras for aplicada sobre os rendimentos auferidos, antecipadamente e 
postecipadamente? 
Solução 
a) 
1033650
1 1
750000
0,002067 0,2067% . .
183
nS
C
i i a d
n
   
    
       
 
 
b) Antecipada 
1033650 750000 283650
0,10 283650 28365
750000 28635 778365
1033650
1 1
778365
0,001792 0,1792% . .
183
n
l
S C J J S C
T t J
S
C
i a d
n
       
    
  
   
    
      
Desembolso inicial de 
 
Deve-se notar que, está sendo admitido que o rendimento é prefixado; sendo, 
pois,conhecido na data da aplicação. 
Postecipada 
1033650 750000 283650
0,10 283650 28365
1033650 28635 1005285
1005285
1 1
750000
0,001860 0,1860% . .
183
n
l
S C J J S C
T t J
S
C
i a d
n
       
    
  
   
    
      
Resgate líquido de 
 
 
7) Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses, 
aplicado à taxa de juros simples de 22% a.a., se for paga uma alíquota de imposto de renda 
igual a 20% dos juros, no resgate da aplicação? 
Solução 
5
5 5
(1 )
5
8000 0,22 733,33
12
8000 733,33 8733,33
8733,33 0,2 733,33 $8.586,67
n
n n n
S C i n e J C i n
S S T S t J
J C i n
S C J
S S t J R
      
     
      
    
       
 
 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
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8) Ana colocou R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 12% a.a. pelo prazo de 50 meses. 
Entretanto, antes do término do prazo, conseguiu um aumento da taxa para 18% a.a. 
referente ao restante do prazo. Sabe-se que, no final do período, recebeu um montante de 
R$ 165.000,00. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das 
taxas? 
Solução  
1 1
2 2
50 1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 1
1
1
0,12
100000
12
0,18
100000
12
100000 165000
50
165000 100000 100000 0,01 100000 0,015
65000 1000 1500 1000 1500 50
65000 1000 75000 1500
500 10000
10000
20
500
J n
J n
S J J
n n
n n
n n n n
n n
n
n m
  
  
   
 
      
    
  

  2 30eses n meses 
 9) Uma pessoa realizou dois investimentos, com o mesmo capital inicial de 
R$ 3.000,00, em duas instituições financeiras, no mesmo dia, obtendo duas taxas 
de juros idênticas. Sabendo-se que o prazo total das duas aplicações foi 60 dias; 
que a diferença entre os prazos é de 10 dias; e que uma rendeu de juros R$ 300,00 
a mais que a outra, quais foram os prazos das duas aplicações e a taxa de juros 
diária obtida? 
 
Solução 
 
 
1 1
2 2
1 2
1 2
1 1 2
1 2
1 1
1 1
3000
3000
300
10
2 70 35 25
60
3000 3000 10 300
3000 10 300
300
0,01 1% . .
30000
J i n
J i n
J J
n n
n n dias n dias
n n
i n i n
i n n
i a d
  
  
 
  
     
  
      
   
  
 
 
10) Uma aplicação rende 15% a.s. e é taxada pelo Imposto de Operações Financeiras 
(IOF), no recebimento do rendimento, à uma alíquota fixa de 1,5% aplicada sobre o 
mesmo. Se você aplicou R$ 100.000,00 pelo prazo de um ano, qual a taxa líquida 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
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semestral obtida, considerando que o rendimento líquido obtido, no fim do 
primeiro semestre, foi reaplicado à mesma taxa pelo restante do período? 
 
Solução 
 
O rendimento líquido em cada semestre, do investimento inicial, é dado por: 
       1 100000 0,15 1 1 0,015 15000 0,985 14775lJ C i n t            
 
 
O rendimento líquido no 2º semestre, do rendimento líquido reinvestido, é dado 
por: 
       1 14775 0,15 1 1 0,015 2183,01lJ C i n t           
 
 
O esquema abaixo representa o fluxo de caixa do investimento. 
 
 
Logo a taxa líquida é dada por: 
 
131733,01
1
100000
0,1587 15,87% . .
2
li a s
 
 
    
Note-se que a reaplicação do rendimento no primeiro semestre, acarretando juros 
sobre juros, fez com que a taxa líquida semestral, para a operação consolidada, 
ficasse maior de que a taxa bruta semestral. 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
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11) Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções. 
a) R$ 1.800,00 à vista. 
b) R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 600,00. 
c) R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 500,00. 
d) 8 prestações mensais e sucessivas de R$ 275,00, com carência de 3 meses. 
Qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros simples de 
4% a.m. e data focal na data da compra? 
 
Solução 
A melhor opção para o comprador é a que tem o menor valor presente, isto é na 
data da compra (data focal 0). Calculando os valores atuais das opções temos: 
a) Como o valor é a vista, 
$1.800,00aVP R
 
b) 
600 600 600
300 $1.968,19
1 0,04 1 0,04 2 1 0,04 3
bVP R    
    
 
 
c) 
500 500 500
500 $1.890,16
1 0,04 1 0,04 2 1 0,04 3
cVP R    
    
 
 
d) 
275 275 275 275 275
1 0,04 3 1 0,04 4 1 0,04 5 1 0,04 6 10,04 7
275 275 275
$1.755,36
1 0,04 8 1 0,04 9 1 0,04 10
dVP
R
     
         
   
     
 
 
Logo a melhor opção para o comprador é a d. 
12) Pensando nas festas de fim de ano, Fabio pretende depositar R$ 2.000,00 em 05/06 e 
R$ 3.000,00 em 05/09. Se o banco usado pagará juros simples à taxa de 10% ao trimestre, 
qual será o valor que Fabio poderá retirar em 05/12? 
 
Solução 
   2000 1 0,10 2 3000 1 0,10 1 $ 5.700,00S R      
 
 
13) Qual o juro simples exato resultante de uma aplicação de R$500,00, à taxa de 18%a.a., 
empreendida no período de 04 de janeiro de 2006 a 25 de março de 2008? 
Solução 
 
Existem 80 dias entre as datas. Logo: 
500 0,18 80
$19,73
365 365
C i n
J R
   
  
 
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14) O fluxo de caixa da Indústria Zé Bolinha apresenta os pagamentos de R$ 120.000,00 e 
R$ 80.000,00, respectivamente, de hoje a 3 e 9 meses. Antevendo dificuldades, o gerente 
financeiro, Dr. Araújo, tenta negociar junto à instituição credora essa dívida, na forma de 
dois pagamentos iguais vencíveis de hoje a 12 e 15 meses. Supondo que essa renegociação 
se faça à taxa de 5% a.t. e data focal no dia de hoje, qual o valor dos novos pagamentos? 
 
Solução 
 
O valor atual dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual dos pagamentos 
propostos. 
 
120000 80000
1 0,05 1 1 0,05 3 1 0,05 4 1 0,05 5
114285,71 69565,22 0,8333 0,80
183850,93
1,6333 183850,93 $112.564,09
1,6333
P P
P P
P P R
  
       
  
   
 
 
15) Uma pessoa deve R$ 50.000,00 daqui a 2 meses, R$100.000,00 daqui a 3 meses e 
R$20.000,00 daqui a 4 meses. Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento 
daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, considerando uma taxa de juros 
simples de 10% ao ano e data focal no dia de hoje? 
 
Solução 
A soma dos valores atuais dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual do 
pagamento proposto. 
 
50000 100000 20000
2 3 4 1
1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1
12 12 12 12
49180,33 97560,98 19354,84 0,9231
166096,15
0,9231 166096,15 $179.937,50
0,9231
P
P
P P R
  
       
  
   
 
 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
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16) Imagine-se o caso de um título de renda fixa, com valor de emissão E igual a 
R$12.000,00, com prazo de vencimento igual a um ano, taxa de rendimento bruta 
10% . .bi a a
, e tributo cobrado postecidamente à alíquota de 10% sobre o rendimento; 
com o título sendo negociado com deságio de 7%, com a taxa bruta 
bi
 incidindo sobre o 
valor cheio do título. Pede-se determinar a taxa líquida anual de rentabilidade se: 
a) O tributo não levar em conta o deságio. 
b) O tributo levar em conta o deságio. 
 
Solução 
a) Se o tributo não levar em conta o deságio. 
 
   
 
   
12000 0,1 1200
0,1 1200 120
1 12000 1 0,1 120 13080
1 12000 0,93 11160
13080 11160
0,1720 17,20% . .
11160
1 1 0,10 0,1 0,07
0,1720 17,20% . .
1 1 0,07
b
b
l
b
l
R E i
T t R
N E i T
V E
N V
i ou a a
n V
ou
t i
i ou a a



    
    
      
    
 
  

    
  
 
 
 
b) Se o tributo levar em conta o deságio. 
Regra geral, a alíquota 
t
 incide sobre o chamado lucro contábil, LC, que é igual à soma das 
receitas menos a soma das despesas. No caso em apreço, teremos: 
     1 1b bLC E i E E i      
 
Logo, teremos 
 bT t E i  
. Consequentemente, o fluxo de caixa que caracteriza a 
operação é dado por: 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
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Logo, sendo 
 1 1 bN E t i t       
 e 
(1 )V E  
, teremos: 
  
   
 
0,1 12000 0,17 204
1 12000 1,1 204 12996
1 0,93 12000 11160
12996 11160
0,1645 16,45% . .
11160
b
b
l
T t LC t E i
N E i T
V E
N V
i ou a a
n V


         
       
     
 
  

 
 
     1 1 0,1 0,1 0,07
0,1645 16,45% . .
1 1 0,07
b
l
ou
t i
i ou a a


   
  
  
17) Seja uma instituição financeira que esteja emitindo títulos com prazo de 1 ano e taxas 
brutas de rentabilidade de 18% ao ano. 
a) Em sendo cobrado imposto de renda no resgate à uma alíquota de 15%, qual será a 
taxa anual de rentabilidade líquida para o investidor? 
b) Supondo que o investidor demande uma taxa líquida de rentabilidade de 30 % a.a., 
quanto deverá ser concedido de deságio se o deságio for ou não considerado para fins 
de imposto de renda? 
Solução 
a) 
 
   
 
1 ;
0,18
0,15 0,18 0,027
1 1 0,18 0,027 1,153
1,153
0,153 15,3% . .
1 0,85 0,18 0,153 15,3% . .
b
b
b
l
l b
N E i T V E
R E i E
T t R E E
N E i T E E E
N V E E
i a a
n V E
ou
i t i a a
   
  
    
      
 
   

     
 
b) Deságio não considerado para fins do imposto de renda 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
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   
   
 
 
 
 
 
 
1 ; 1
0,18
0,15 0,18 0,027
1 1 0,18 0,027 1,153
1,153 1 1,153 1
1 1
1,153 1 0,147
0,3 0,3 0,3 0,153 0,1131 11,31%
1 1,30
b
b
b
l
N E i T V E
R E i E
T t R E E
N E i T E E E
E EN V
i
n V E
ou

 
 

  

     
  
    
      
         
   
 
       

 
Deságio considerado para fins imposto de renda 
   
     
     
       
   
 
 
 
1 ; 1
1 1
0,15 0,18 0,027 0,15
1 1 0,18 0,027 0,15 1,153 0,15
1,153 0,15 1 1,153 0,15 1
1 1
0,153 0,85
1
b
b b b
b
b
l
l
N E i T V E
LC E i E E i E E i
T t E i E E
N E i T E E E
E EN V
i
n V E
i

  
  
 
   
 

     
          
          
        
           
   


   
0,153 0,85
0,3
1
0,147
0,3 0,3 0,153 0,85 0,1278 12,78%
1,15

 
  

 
 
       
 
18) Certo indivíduo, que costuma efetuar empréstimos de curto prazo, cobrando juros 
simples, possui em sua Carteira de Investimentos as seguintes cinco notas 
promissórias: 
a) A primeira, com valor de face de R$ 2.000,00, termo de 6 meses a juros simples 
de 4% ao mês, sendo datada de 2 meses antes da data de hoje. 
b) A segunda, com valor de face de R$ 1.000,00, termo de 8 meses a juros simples 
de 60% ao ano, sendo datada de 2 meses antes da data de hoje. 
c) A terceira com valor nominal de R$ 1.500,00, vencendo-se de hoje a 3 meses. 
d) A quarta com valor nominal de R$ 3.000,00, vencendo-se de hoje a 6 meses. 
e) A quinta com valor nominal de R$ 2.000,00, vencendo-se de hoje a 8 meses. 
Tendo o indivíduo recebido a proposta de vender as cinco notas promissórias 
em questão, por R$ 7.400,00, pagáveis à vista, deve ou não aceitar a proposta se, 
na data de hoje, consegue fazer empréstimos cobrando a taxa de juros simples de: 
i. 6% ao mês 
ii. 10% ao mês 
 
Solução 
Calculandoo valor nominal das notas promissórias 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 15 
 
 2000 1 0,04 6 2480
8
1000 1 0,6 1400
12
1500
3000
 , quatro meses após a data de hoje (0)
 , seis meses após a data de hoje (0)
 , três meses após a data de hoje (0)
, seis meses após a data
a
b
c
d
N
N
N
N
   
 
    
 


2000
 de hoje (0)
, oito meses após a data de hoje (0)eN 
 
 
I. Taxa de 6% ao mês, data focal hoje 
 
O valor atual da Carteira de notas promissória é: 
2480 1400 1500 3000 2000
7857,83
1 0,06 4 1 0,06 6 1 0,06 3 1 0,06 6 1 0,06 8
VP      
         
 
Logo como R$ 7.857,83 é maior que o valor oferecido, R$ 7.400,00, deve-se recusar a 
oferta. 
 
II. Taxa de 10% ao mês, data focal hoje 
O valor atual da Carteira de notas promissórias é: 
2480 1400 1500 3000 2000
6786,39
1 0,10 4 1 0,10 6 1 0,10 3 1 0,10 6 1 0,10 8
VP      
         
 
Logo como R$ 6.786,39 é menor que o valor oferecido, R$ 7.400,00, deve-se aceitar a 
oferta. 
 
19) Determinada pessoa, ao comprar um carro novo cujo preço é R$ 20.000,00, teve seu carro 
usado aceito como entrada. O saldo do preço de venda será pago em cinco prestações 
mensais de R$ 2.600,00, a primeira vencendo um mês após a compra. Sabendo-se que a 
taxa de juros simples do financiamento é de 2% a.m., qual foi o valor da avaliação do carro 
usado? 
 
Solução 
Na data de hoje a equação de valor é: 
2600 2600 2600 2600 2600
20000
1 0,02 1 1 0,02 2 1 0,02 3 1 0,02 4 1 0,02 5
20000 2549,02 2500 2452,83 2407,41 2363,64 12272,90
20000 12272,90 $ 7.727,10
usado
usado
usado
V
V
V R
     
         
      
  
 
 
20) Uma aplicação no regime de juros simples durante o prazo de 5 meses, rende juros à taxa 
de 22% a.a. e paga imposto de renda igual a 20% dos juros. O imposto é pago no resgate. 
Qual o montante líquido de uma aplicação de R$8.000,00? 
 
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 16 
 
Solução 
 
 
5
8000 0,22 733,33
12
0,2 733,33 146,67
8000 733,33 146,67 $ 8.586,66l
J C i n
T t J
S C J T R
      
    
      