Lista de Exercícios - Integrais Triplas

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Lista 7
Integrais Triplas
Versão do 23-10-2018
Integrais triplas
1) Calcule a seguinte integral iterada:
∫0
3
∫0
1
∫0
√1−z2
z e ydx dz dy (H=
1
3
(e ³−1) m⁴)
2) Resolva a integral tripla ∫∫D∫ dz dy dx , onde D é a região limitada por y = x², z = 0, z = 1, y
=1. (V=4/3 m³)
3) Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z=x²+3y² e z=8-x²-y².
(V= 8π√2 m³) 
4) Determine o centro de massa de um sólido homogêneo que é limitado pelo cilindro parabólico x = y²
e pelos planos x=z, z=0, e x=1.
( x⃗CM=(
5
7,
0,
5
14
) m)
5) Calcule a integral ∫∫S∫6xy dV , onde S é a região abaixo do plano z=1+x+y e acima do plano
xy, limitada pelas curvas y=√ x , y=0, x=1.
 (I = 
65
28
m⁴) 
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
6) Determine o volume do sólido limitado por z=x²+y² e z=36-3x²-3y².
(V= 226.8 π m³)
7) Um sólido está contido no cilindro x²+y² =2, abaixo do plano z=5 e acima do paraboloide z=2-x²-y².
A densidade em qualquer ponto é proporcional à distancia do ponto ao eixo z. Determine a massa do
sólido. ( V=
28√2π k
5
m³)
8) Calcule a integral ∫−1
1
∫0
√1− y ²
∫0
x
(x ²+ y ²)dzdxdy .
(H=
2
5
m⁴, Larissa Suelen A. Oliveira)
9) Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide z = 4x²+4y² e pelo
plano z = a (a > 0) se S for homogêneo. 
(M = 
1
8
a² π k kg, xCM = (0,0 ,
2
3
a ) m)
10) Encontre o volume da região limitada pelo cilindro x²+y²=4 e pelos planos z=0 e y+z=4.
(V = 16π u.v.)
Integrais triplas em coordenadas esféricas
11) Calcular as seguintes integrais triplas em coordenadas esféricas se a região D for uma esfera de
raio 1.
a) ∫∫D∫√ x²+ y²+ z² dz dy dx (H = π m⁴)
b) ∫∫D∫ e
( x²+ y ²+z ²)3/2dz dy dx (H = 
4 π
3
(e−1) m⁴, Felipe H. B. Trevizam)
12) Calcular a seguinte integral tripla em coordenadas esféricas:
∫−3
3
∫−√9−x ²
√9−x2
∫0
√9−x ²− y²
z√ x ²+ y ²+z ²dz dydx (H =
243 π
5
m⁴)
13) Demostre que o volume de uma esfera de raio r é 
4 π
3
r3
(Hamilton José dos Santos Filho)
14) Calcular ∫∫D∫( x²+ y²+ z² ) ²dz dy dx onde D é a parte comum do paraboloide 2az≥ x²+ y²
e da esfera x²+ y²+ z²≤3a² (H = πa
5
5
(18√3−
97
6
) m⁴)
15) Determine o volume e o centro de massa do solido homogêneo que está acima do cone
z=√ x²+ y² e abaixo da esfera de raio 1. ( V=
2π
3
(1−√
2
2
)m3 ,(0,0
3
8
(2−√2))m )
16) Calcule ∫∫D∫√ x²+ y²+z² dz dy dx , onde D é a região abaixo do cone z=r e acima da
esfera ρ=R (H= 16π [2−√2] m⁴)
17) Calcule o volume do sólido limitado pela esfera de raio 3 e pelo cone z=r .
(V = 9π [2−√2] m³, Glaucio G. Martins)
Mudança de variáveis em integrais duplas e triplas
18) Calcule o Jacobiano da transformação:
x = u²-v²
y = u²+v² (J = 8uv)
19) Calcule o Jacobiano da transformação:
x = 5u-v
y = u+3v (J = 16, Sara Cristina de Almeida Lara)
20) Calcule ∫∫D
x− y
x+ y
dA , onde D é a região limitada pelas retas x-y = 0, x-y =1, x+y = 1, x+y = 3.
(V = 
1
4
ln(3) m³)
21) Calcule a integral ∫∫D e
x+ y
x− y dA , onde D é a região do plano trapezoidal com vértices (1,0),
(2,0), (0,-2), e (0,-1). (V = 
3
4
(e−e−1) m³)
22) Utilize a mudança de variáveis x= u²-v², y =2uv para calcular a integral ∫D∫ y dA , onde D é a
região limitada pelo eixo x e pelas parábolas y² = 4-4x, y² = 4+4x.
(V=2 m³)
23) Calcule a integral ∫∫S∫
z−x3
1+x²
dx dy dz onde S: 0<x<1,x²−1< y<x² , x3<z<x³+2, mediante
a transformação: u =x, v=y-x², w =z-x³. (H =
π
2 m⁴ )
24) Use a transformação u=x-y e v=2x+y para calcular a integral ∫D∫(2x²−xy− y² )dxdy para a
região D no primeiro quadrante limitada pelas retas y=-2x+4, y=-2x+7, y=x-2, e y =x+1.
(H =
33
4
m⁴)
25) Calcule a integral ∫D∫ x²dxdy , onde D é a elipse de equação 9x²+4y²=36.
(H= 4 π m⁴)
26) Encontre o volume do elipsoide 
x²
a²
+
y²
b²
+
z²
c²
=1 .
(V= 
4 π
3
abc m³, Debora Martins do Amaral)