Aula 14 de junho

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FUNÇÃO DELTA DE DIRAC
Em algumas aplicações, precisamos lidar com fenômenos de natureza impulsiva tais 
como tensões ou forças de módulo grande que agem por um período de tempo muito 
curto. Tais problemas levam, com frequência, a equações diferenciais da forma:
𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑦 = 𝑔(𝑡)
Onde 𝑔(𝑡) é grande em um intervalo de tempo pequeno 𝑡 − 𝜏 < 𝑡 < 𝑡 + 𝜏 e é zero 
nos outros pontos.
A integral 𝐼(𝑡), definida por 
𝐼(𝜏) = 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 (1)
Ou, como 𝑔(𝑡) = 0 fora do intervalo (𝑡 −𝜏, 𝑡 + 𝜏),
𝐼(𝜏) = 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 (2)
É uma medida da força do termo não homogêneo. Em um sistema mecânico, onde 
𝑔(𝑡) é uma força, 𝐼(𝜏) é o impulso total da força 𝑔(𝑡) sobre o intervalo de tempo 
(𝑡 −𝜏, 𝑡 + 𝜏). Analogamente, se y é a corrente em um circuito elétrico e g(t) é a 
derivada em relação ao mesmo tempo da tensão, então, 𝐼(𝜏) representa a tensão total 
impressa no circuito durante o intervalo de tempo (𝑡 −𝜏, 𝑡 + 𝜏).
Em particular, considere o intervalo de tempo (𝑡 − 𝜏, 𝑡 + 𝜏) com 𝑡 = 0, e g(t) dada 
por:
𝑔(𝑡) = 𝑑 =
⎯⎯, 𝑠𝑒 − 𝜏 < 𝑡 < 𝜏
0, 𝑠𝑒 𝑡 ≤ −𝜏 𝑜𝑢 𝑡 ≥ 𝜏
𝜏 é uma constante positiva.
Usando a equação (1) ou (2):
𝐼(𝜏) = 𝑑 (𝑡)𝑑𝑡 =
1
2𝜏
⎯⎯ 𝑑𝑡 =
1
2𝜏
⎯⎯ 𝑡 =
𝜏
2𝜏
⎯⎯ − −
𝜏
2𝜏
⎯⎯ = 1 =
𝐴 â = 𝑏. ℎ = 2𝜏.
1
2𝜏
⎯⎯
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Ou seja, 𝐼(𝜏) = 1, independente do valor de 𝜏, desde que 𝜏 ≠ 0. Em outras palavras, a 
área da curva que tivermos será sempre 1, não importa o intervalo analisado.
Vamos usar o termo não homogêneo 𝑑 (𝑡) fazendo com que ele aja em intervalos de 
tempo cada vez mais curtos, ou seja, vamos fazer 𝜏 → 0, como indicado na figura a 
seguir:
lim
→
𝑑 (𝑡) = 0, 𝑡 ≠ 0 (3)
Como 𝐼(𝜏) = 1, ∀𝜏 ≠ 0 segue que:
lim
→
 𝐼(𝜏) = 1 (4)
As equações (3) e (4) são usadas para se definir uma função impulso unitário δ que 
funciona como um impulso de tamanho 1 em t=0, mas é zero em todos os outros 
valores de t diferentes de zero, em outras palavras:
δ(𝑡) = 0 𝑠𝑒 𝑡 ≠ 0 e ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 (5)
Não existe uma função, no sentido usual da palavra, estudada em cálculo que 
satisfaça a condições dadas em (5). A função 𝜹 definida por essas equações é um 
exemplo de algo conhecido como funções generalizadas, e é chamada de função 
delta de Dirac e corresponde a um impulso unitário em t=0.
Temos uma função que caminha, sofre um impulso instantâneo com força infinita e 
depois volta para o zero e continua caminhando.
Função delta de Dirac com deslocamento: 
𝛿 𝑡 − 𝜋 , 𝜋
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Ex: 𝛿(𝑡 − 𝜋), deslocamento de 𝜋 unidades para a direita
∫ 𝛿(𝑡 − 𝜋)𝑑𝑡 = 1 , ou seja, o deslocamento não altera a área.
Ex: 2𝛿(𝑡 − 𝜋) implica no dobro da área. Se formos pensar, temos uma seta infinita 
multiplicada por 2, o que implica um infinito maior que o anterior, em 𝛿(𝑡 −
𝜋), porém, pensamos em área, a área é o dobro da anterior.
Um impulso unitário em um ponto arbitrário 𝑡 = 𝑡 é dado por:
δ(𝑡 − 𝑡 ) = 0, 𝑠𝑒 𝑡 ≠ 𝑡 e ∫ 𝛿(𝑡 − 𝑡 )𝑑𝑡 = 1
Aplicando a transformada de Laplace em 𝛿(𝑡 − 𝑡 ):
ℒ{𝛿(𝑡 − 𝑡 )} = lim
→
ℒ{𝑑 (𝑡 − 𝑡 )}
Para calcular o limite acima, note que, se 𝜏 < 𝑡 , o que vai acabar acontecendo quando 
𝜏 → 0, então 𝑡 − 𝜏 > 0. Como 𝑑 (𝑡 − 𝑡 ) é diferente de zero apenas no intervalo de 
𝑡 − 𝜏 𝑎𝑡é 𝑡 + 𝜏, temos:
ℒ{𝑑 (𝑡 − 𝑡 )} = 𝑒 𝑑 (𝑡 − 𝑡 ) 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑑 (𝑡 − 𝑡 ) 𝑑𝑡
= 𝑒 .
1
2𝜏
⎯⎯ 𝑑𝑡 =
1
2𝜏
⎯⎯ 𝑒 𝑑𝑡 =
1
2𝜏
⎯⎯ .
𝑒
(−𝑠)
⎯⎯⎯⎯
= −
1
2𝜏𝑠
⎯⎯⎯ 𝑒 ( ) − 𝑒 ( ) =
= −
1
2𝜏𝑠
⎯⎯⎯(𝑒 − 𝑒 ) = −
1
2𝜏𝑠
⎯⎯⎯(𝑒 . 𝑒 − 𝑒 . 𝑒 ) =
= −
1
2𝜏𝑠
⎯⎯⎯𝑒 (𝑒 − 𝑒 ) =
1
2𝜏𝑠
⎯⎯⎯𝑒 (𝑒 − 𝑒 ) =
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑠𝜏
𝑠𝜏
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒
Portanto,
ℒ 𝑑 𝑡 − 𝑡 =
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑠𝜏
𝑠𝜏
𝑒
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Portanto,
ℒ{𝑑 (𝑡 − 𝑡 )} =
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑠𝜏
𝑠𝜏
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒
O quociente 
 
⎯⎯⎯⎯⎯ é determinado quando 𝜏 → 0:
lim
→
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑠𝜏
𝑠𝜏
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= 1 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙)
lim
→
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑠𝜏
𝑠𝜏
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒 = 𝑒
Portanto, 𝓛{𝒅𝝉(𝒕 − 𝒕𝟎)} = 𝓛{𝜹(𝒕 − 𝒕𝟎)} = 𝒆
𝒔𝒕𝟎
Logo, 
𝓛{𝜹(𝒕)} = 𝒆 𝒔𝒕𝟎= 𝒆 𝒔.𝟎 = 𝒆𝟎 = 𝟏 𝒐𝒖 𝓛{𝜹(𝒕)} = 𝐥𝐢𝐦
𝒕𝟎→𝟎
𝒆 𝒔𝒕𝟎 = 𝟏
𝓛{𝜹(𝒕 − 𝒄)𝒇(𝒕)} = 𝑒 𝛿(𝑡 − 𝑐)𝑓(𝑡)𝑑𝑡
= 𝑒 𝛿(𝑡 − 𝑐)𝑓(𝑐)𝑑𝑡
= 𝑒 . 𝑓(𝑐) 𝛿(𝑡 − 𝑐) 𝑑𝑡 = 𝒆 𝒄𝒔. 𝒇(𝒄)
Exemplo: ℒ{2𝛿(𝑡 − 𝜋)} = 2ℒ{𝛿(𝑡 − 𝜋)} = 2𝑒
EDO com a função delta de Dirac
(𝑎)
2𝑦 + 𝑦 + 2𝑦 = 𝛿(𝑡 − 5)
𝑦(0) = 0
𝑦 (0) = 0
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(𝑏)
𝑦′′ + 9𝑦 = 3𝛿(𝑡 − 𝜋)
𝑦(0) = 1
𝑦 (0) = 0
(𝑐)
𝑦 + 2𝑦 − 3𝑦 = 𝛿(𝑡 − 1) − 𝛿(𝑡 − 2)
𝑦(0) = 2
𝑦 (0) = −2
Vamos resolver pela transformada de Laplace:
ℒ{𝑦 } + 2ℒ{𝑦′} − 3ℒ{𝑦} = ℒ{𝛿(𝑡 − 1)} − ℒ{𝛿(𝑡 − 2)}
𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 (0) + 2 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝐹(𝑠) = 𝑒 − 𝑒
𝑠 𝐹(𝑠) − 2𝑠 + 2 + 2𝑠𝐹(𝑠) − 4 − 3𝐹(𝑠) = 𝑒 − 𝑒
𝑠 𝐹(𝑠) − 2𝑠 − 2 + 2𝑠𝐹(𝑠) − 3𝐹(𝑠) = 𝑒 − 𝑒
𝐹(𝑠)(𝑠 + 2𝑠 − 3) − 2𝑠 − 2 = 𝑒 − 𝑒
𝐹(𝑠)(𝑠 + 2𝑠 − 3) = 2𝑠 + 2 + 𝑒 − 𝑒
𝐹(𝑠) =
2𝑠 + 2 + 𝑒 − 𝑒
(𝑠 + 2𝑠 − 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=
2(𝑠 + 1) + 𝑒 − 𝑒
(𝑠 + 2𝑠 − 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝐹(𝑠) =
2(𝑠 + 1)
(𝑠 + 2𝑠 − 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯+
𝑒
(𝑠 + 2𝑠 − 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯−
𝑒
(𝑠 + 2𝑠 − 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝐹(𝑠) =
2(𝑠 + 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯+
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯−
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑦(𝑡) = ℒ
2(𝑠 + 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑦(𝑡) = 2ℒ
(𝑠 + 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1)
Resolvendo 
● ℒ
(𝑠 + 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(𝑠 + 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
𝐴
𝑠 − 1
⎯⎯⎯⎯⎯+
𝐵
𝑠 + 3
⎯⎯⎯⎯⎯=
𝐴(𝑠 + 3) + 𝐵(𝑠 − 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=
𝐴𝑠 + 3𝐴 + 𝐵𝑠 − 𝐵
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
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=
(𝐴 + 𝐵)𝑠 + (3𝐴 − 𝐵)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝐴 + 𝐵 = 1
3𝐴 − 𝐵 = 1
⟺ 𝐴 = 𝐵 =
1
2
⎯⎯
ℒ
(𝑠 + 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ℒ
1
2
⎯⎯
(𝑠 − 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +
1
2
⎯⎯
(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
1
2
⎯⎯ℒ
1
(𝑠 − 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +
1
(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
=
1
2
⎯⎯(𝑒 + 𝑒 ) (2)
● ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ℒ 𝑒
1
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 𝑢 (𝑡)𝑓(𝑡 − 1)
E
𝑓(𝑡) = ℒ
1
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
𝐴
𝑠 − 1
⎯⎯⎯⎯⎯+
𝐵
𝑠 + 3
⎯⎯⎯⎯⎯=
𝐴(𝑠 + 3) + 𝐵(𝑠 − 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=
𝐴𝑠 + 3𝐴 + 𝐵𝑠 − 𝐵
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
=
(𝐴 + 𝐵)𝑠 + (3𝐴 − 𝐵)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝐴 + 𝐵 = 0
3𝐴 − 𝐵 = 1
⟺ 𝐴 =
1
4
⎯⎯, 𝐵 = −
1
4
⎯⎯
ℒ
1
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ℒ
1
4
⎯⎯
(𝑠 − 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −
1
4
⎯⎯
(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
1
4
⎯⎯ℒ
1
(𝑠 − 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −
1
(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
4
⎯⎯(𝑒 − 𝑒 ) 
Portanto,
ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 𝑢 (𝑡)𝑓(𝑡 − 1) = 𝑢 (𝑡)
1
4
⎯⎯ 𝑒 − 𝑒 ( ) (3)
● ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ℒ 𝑒
1
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 𝑢 (𝑡)𝑓(𝑡 − 2)
E
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E
𝑓(𝑡) = ℒ
1
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
1
4
⎯⎯(𝑒 − 𝑒 )
Portanto,
ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 𝑢 (𝑡)𝑓(𝑡 − 2) = 𝑢 (𝑡)
1
4
⎯⎯ 𝑒 − 𝑒 ( ) (4)
Substituindo (2), (3) 3 (4) em (1) temos:
𝑦(𝑡) = 2ℒ
(𝑠 + 1)
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − ℒ
𝑒
(𝑠 − 1)(𝑠 + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑦(𝑡) = 2.
1
2
⎯⎯(𝑒 + 𝑒 ) + 𝑢 (𝑡)
1
4
⎯⎯ 𝑒 − 𝑒 ( ) − 𝑢 (𝑡)
1
4
⎯⎯ 𝑒 − 𝑒 ( )
𝑦(𝑡) = 𝑒 + 𝑒 + 𝑢 (𝑡)
1
4
⎯⎯(𝑒 − 𝑒 ) − 𝑢 (𝑡)
1
4
⎯⎯(𝑒 − 𝑒 )
𝑢 (𝑡) =
0, 𝑡 < 1
1, 𝑡 ≥ 1
 𝑒 𝑢 (𝑡) =
0, 𝑡 < 2
1, 𝑡 ≥ 2
Logo, 
𝑦(𝑡) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑒 + 𝑒 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑡 < 1
𝑒 + 𝑒 +
1
4
⎯⎯(𝑒 − 𝑒 ), 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑡 < 2
𝑒 + 𝑒 +
1
4
⎯⎯(𝑒 − 𝑒 ) −
1
4
⎯⎯(𝑒 − 𝑒 )𝑡 ≥ 2
CONVOLUÇÃO
Algumas vezes é possível identificar uma Transformada de Laplace 𝐻(𝑠) como o 
produto de outras transformadas 𝐹(𝑠) e 𝐺(𝑠), estas últimas correspondendo a funções 
conhecidas 𝑓 e 𝑔 respectivamente.
Nessecaso, poderíamos pensar que 𝐻(𝑠) seria a transformada do produto de 𝑓 e 𝑔. 
Isso não acontece no entanto; em outras palavras, a Transformada de Laplace não 
comuta com a multiplicação usual. Por outro lado, se definirmos convenientemente um 
"produto generalizado", a situação muda, conforme enunciado no teorema a seguir:
Teorema: Se 𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑡)} e 𝐺(𝑠) = ℒ{𝑔(𝑡)} existem para 𝑠 > 𝑎 ≥ 0, então:
𝐻(𝑠) = 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠) = ℒ{ℎ(𝑡)}, 𝑠 > 𝑎
Onde
ℎ(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏 = 𝑓(𝜏)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 
ℎ 𝑓 𝑔.
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A função ℎ é conhecida como a convolução de 𝑓 e 𝑔.Algumas vezes as integrais acima 
são chamadas integrais de convolução.
Observações importantes sobre a convolução: Considere ℎ(𝑡) = (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡):
(i) 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓 (𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)
(ii) 𝑓 ∗ (𝑔 + 𝑔 ) = 𝑓 ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ 𝑔 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)
(iii) (𝑓 ∗ 𝑔) ∗ ℎ = 𝑓 ∗ (𝑔 ∗ ℎ) (𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)
(iv) 𝑓 ∗ 0 = 0 ∗ 𝑓 = 0 (0 é 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑙𝑎)
Na convolução, 𝑓 ∗ 1 nem sempre é 1:
(𝑓 ∗ 1)(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 𝜏). 1𝑑𝜏 = 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
Por exemplo, se 𝑓(𝑡) = cos(𝑡) ,
(𝑓 ∗ 1)(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 𝜏). 1𝑑𝜏 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = −𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 𝜏)
= −𝑠𝑒𝑛(0) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ≠ 𝑓(𝑡) = cos(𝑡)
Exemplo: Encontre a transformada inversa de
(a) 𝐻(𝑠) =
( )
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(b) 𝐹(𝑠) =
( )
⎯⎯⎯⎯
(c) 𝐹(𝑠) =
( ) ( )
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
EDO e a convolução
Exemplo: Encontre a solução do PVI usando a convolução:
(a)
𝑦 + 4𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝑦(0) = 3
𝑦 (0) = −1
(b)
𝑦 + 2𝑦 + 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑡)
𝑦(0) = 0
𝑦 (0) = 0
(c)
⎩
⎨
⎧𝑦 + 𝑦 + ⎯𝑦 = 1 − 𝑢 (𝑡)
𝑦(0) = 1
𝑦 (0) = −1
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