Memorial de Cálculo - ARCO TRIARTICULADO EM MADEIRA

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
GES-018 Dimensionamento de Estruturas de Madeira (PECE) 
 
 
 
 
 
 
Raissa Pravatta Pivetta 
 
 
 
 
 
 
Projeto de Estruturas de Madeira: 
Memorial de Cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
Julho de 2020 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 3 
2 DADOS ......................................................................................................................... 3 
2 CÁLCULOS GEOMÉTRICOS PRELIMINARES ........................................................... 4 
3 PRÉ DIMENSIONAMENTO .......................................................................................... 7 
4 AÇÕES UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS .............................................................. 8 
4.1 Carga vertical uniformemente distribuída permanente ........................................... 9 
4.2 Carga vertical uniformemente distribuída de sobrecarga ..................................... 11 
4.3 Carga radial de vento ........................................................................................... 13 
5 VERIFICAÇÃO DA SEÇÃO ........................................................................................ 16 
5.1 Flexo-compressão ................................................................................................ 16 
5.2 Cisalhamento ....................................................................................................... 20 
5.3 Flexo-tração ......................................................................................................... 21 
6 CONCLUSÃO ............................................................................................................. 22 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O presente trabalho tem como objetivo verificar o Estado Limite Último devido aos 
esforços solicitantes gerados pelas cargas permanentes, sobrecarga e vento em um 
arco tri articulado de 29 metros de vão. 
 
2 DADOS 
 
Cobertura com chapas onduladas de fibrocimento apoiada em arcos tri-articulados de 
eixo circular conforme a Figura 1: 
 
Figura 1: arco tri-articulado 
Vão Livre entre apoios (L): 
𝑳 = 𝟐𝟗, 𝟎 𝒎 
Flecha do arco (f): 
𝑓 =
𝐿
5
=
29
5
 
𝒇 = 𝟓, 𝟖 𝒎 
A espécie de madeira escolhida foi a Eucalyptus grandis, de acordo com a NBR 
7170:1997 Projetos de Estruturas de Madeira, temos os dados apresentados na Tabela 
1. 
Tabela 1: dados da madeira 
Nome 
comum 
Nome científico 
ρap Ec0 fc0,k fv,k ft0,k 
kg/m³ MPa MPa MPa MPa 
E. Grandis 
Eucalyptus 
grandis 
640 12813 40,3 7,00 70,2 
• Carregamentos de longa duração: 𝐾𝑚𝑜𝑑1 = 0,7 
• Classe de umidade (1) e (2): 𝐾𝑚𝑜𝑑2 = 1,0 
• Madeira Laminada Colada (primeira categoria): 𝐾𝑚𝑜𝑑3 = 1,0 
Portanto: 
𝐾𝑚𝑜𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑1. 𝐾𝑚𝑜𝑑2. 𝐾𝑚𝑜𝑑3 
𝐾𝑚𝑜𝑑 = 0,7. 1,0 . 1,0 
𝐾𝑚𝑜𝑑 = 0,7 
 
2 CÁLCULOS GEOMÉTRICOS PRELIMINARES 
 
NOTA: os valores aqui apresentados foram representados com duas casas decimais, 
porém para todos os cálculos deste memorial foram feitas as contas com os valores 
decimais completos (valor fracionário), podendo haver pequenas diferenças nos valores 
resultantes se refeitos os cálculos com apenas duas casas decimais (principalmente 
aqueles feitos com os ângulos em radianos). Optou-se por representar os valores desta 
forma pois representam melhor o valor real do que com os cálculos feitos com apenas 
duas casas decimais. 
 
Figura 2: detalhe da divisão do arco em aduelas 
 
Raio (R): 
𝑅 =
1
2𝑓
(
𝐿2
4
+ 𝑓2) 
𝑅 =
1
2 . 5,8
(
292
4
+ 5,82) 
𝑹 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟑 𝒎 
Ângulo do meio do arco (Φ0): 
𝛷0 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝐿
2𝑅
) 
𝛷0 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
29
2 . 21,03
) 
𝜱𝟎 = 𝟒𝟑, 𝟔𝟎° = 𝟎, 𝟕𝟔 𝒓𝒂𝒅 
 
Ângulo do arco (ΔΦ): 
𝛥Φ =
𝛷0
3
 
𝛥Φ =
0,76
3
 
𝜟𝚽 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒓𝒂𝒅 
Ângulo de cada “fatia” arco (ΔΦ’): 
𝛥Φ′ =
𝛷0
6
 
𝛥Φ′ =
0,76
6
 
 
𝜟𝚽′ = 𝟎, 𝟏𝟑 𝒓𝒂𝒅 
 
 
Ordenadas: 
𝑥 =
𝐿
2
− 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝛷𝑖) 
𝒙 =
𝟐𝟗
𝟐
− 𝟐𝟏, 𝟎𝟑. . 𝒔𝒆𝒏(𝜱𝒊) (I) 
 
𝑦 = 𝑅(𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 − 1) + 𝑓 
𝒚 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟑(𝒄𝒐𝒔𝜱𝒊 − 𝟏) + 𝟓, 𝟖 (II) 
 
Considerando que os eixos x e y têm coordenadas (0;0) no nó zero e que cada faixa 
tem ângulo de 7,27°, sendo n o número do nó, temos a seguinte equação: 
𝜱𝟎 = 𝟕, 𝟐𝟕. (𝟔 − 𝒏) 
Com esta equação obtemos os valores dos ângulos de cada faixa, conforme Tabela 
2: 
 
Tabela 2: ângulos de cada faixa 
n Equação Φi (rad) 
0 𝛷0 = 0,76. (6 − 0) 
 
0,76 
1 𝛷0 = 0,76. (6 − 1) 
 
0,63 
2 𝛷0 = 0,76. (6 − 2) 
 
0,51 
3 𝛷0 = 0,76. (6 − 3) 0,38 
4 𝛷0 = 0,76. (6 − 4) 0,25 
5 𝛷0 = 0,76. (6 − 5) 0,13 
6 𝛷0 = 0,76. (6 − 6) 0,00 
7 𝛷0 = 0,76. (6 − 7) -0,13 
8 𝛷0 = 0,76. (6 − 8) -0,25 
9 𝛷0 = 0,76. (6 − 9) -0,38 
10 𝛷0 = 0,76. (6 − 10) -0,51 
11 𝛷0 = 0,76. (6 − 11) -0,63 
12 𝛷0 = 0,76. (6 − 12) 
 
-0,76 
 
 
Com os valores dos ângulos, as ordenadas são calculadas pelas seguintes equações: 
𝑥 =
𝐿
2
− 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝛷𝑖) 
𝒙 =
𝟐𝟗
𝟐
− 𝟐𝟏, 𝟎𝟑. 𝒔𝒆𝒏(𝜱𝒊) (I) 
 
𝑦 = 𝑅(𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 − 1) + 𝑓 
𝒚 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟑(𝒄𝒐𝒔𝜱𝒊 − 𝟏) + 𝟓, 𝟖 (II) 
 
Assim, aplicando as equações (I) e (II), temos os valores das ordenadas x (Tabela 3) 
e das ordenadas y (Tabela 4). 
 
Tabela 3: ordenadas x 
Nó 
Φi 
(rad) 
Equação xi (m) 
0 0,76 𝑥0 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,76) 0,00 
1 0,63 𝑥1 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,63) 2,04 
2 0,51 𝑥2 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,51) 4,28 
3 0,38 𝑥3 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,38) 6,69 
4 0,25 𝑥4 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,25) 9,22 
5 0,13 𝑥5 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,13) 11,84 
6 0,00 𝑥6 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0) 14,50 
7 -0,13 𝑥7 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,13) 17,16 
8 -0,25 𝑥8 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,25) 19,78 
9 -0,38 𝑥9 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,38) 22,31 
10 -0,51 𝑥10 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,51) 24,72 
11 -0,63 𝑥11 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,63) 26,96 
12 -0,76 𝑥12 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,76) 29,00 
 
Tabela 4: ordenadas y 
Nó 
Φi 
(rad) 
Equação yi (m) 
0 0,76 𝑦0 = 21,03[cos(0,76) − 1] + 5,8 0,00 
1 0,63 𝑦1 = 21,03[cos(0,63) − 1] + 5,8 1,71 
2 0,51 𝑦2 = 21,03[cos(0,51) − 1] + 5,8 3,15 
3 0,38 𝑦3 = 21,03[cos(0,38) − 1] + 5,8 4,30 
4 0,25 𝑦4 = 21,03[cos(0,25) − 1] + 5,8 5,13 
5 0,13 𝑦5 = 21,03[cos(0,13) − 1] + 5,8 5,63 
6 0,00 𝑦6 = 21,03[cos(0) − 1] + 5,8 5,80 
7 -0,13 𝑦7 = 21,03[cos(−0,13) − 1] + 5,8 5,63 
8 -0,25 𝑦8 = 21,03[cos(−0,25) − 1] + 5,8 5,13 
9 -0,38 𝑦9 = 21,03[cos(−0,38) − 1] + 5,8 4,30 
10 -0,51 𝑦10 = 21,03[cos(−0,51) − 1] + 5,8 3,15 
11 -0,63 𝑦11 = 21,03[cos(−0,63) − 1] + 5,8 1,71 
12 -0,76 𝑦12 = 21,03[cos(−0,76) − 1] + 5,8 0,00 
 
3 PRÉ DIMENSIONAMENTO 
 
Largura (b): 
𝑏 = 18 𝑐𝑚 = 0,18 𝑚 
Esbeltez (λ): 
𝜆 =
𝑑√12
𝑏
 
𝜆 =
6√12
0,18
 
𝜆 = 38,49 
Esbeltez (λ): 
𝜆 =
0,6𝐿√12
ℎ
= 80 
ℎ =
0,6 . 29 √12
80
 
ℎ = 0,753 𝑚 
Para ser uma peça medianamente esbelta com 𝜆 < 80 foi adotado h=0,80m, assim: 
𝜆 =
0,6 . 29 √12
0,80
 
𝜆 = 75,34 
 
4 AÇÕES UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS 
 
Neste projeto, temos cargas distribuídas permanentes e de sobrecarga paralelas ao 
eixo x, conforme Figura 3, descritas nos itens 4.1 e 4.2 a seguir. 
 
Figura 3: cargas distribuídas paralelas ao eixo x 
 
4.1 Carga vertical uniformemente distribuída permanente 
 
Referentes as cargas do peso próprio do telhado temos os valores apresentados na 
Tabela 5. 
Tabela 5: peso próprio telhado 
Telhado de fibrocimento (molhado) 0,24 kN/m² 
Terças 0,06 kN/m² 
Contraventamento, correntes etc. 0,05 kN/m² 
pg,telhado 0,35 kN/m² 
 
Para a carga da estrutura do arco devido a força gravitacional, considerando a 
aceleração da gravidade (a) 9,81m/s²: 
𝑝𝑔,𝑎𝑟𝑐𝑜 = 𝑏 . ℎ . 𝜌𝑎𝑝. 𝑎 
𝑝𝑔,𝑎𝑟𝑐𝑜 = 0,18 . 0,80 . 640 .
9,81
1000
 
𝒑𝒈,𝒂𝒓𝒄𝒐 = 𝟎, 𝟗𝟎 𝒌𝑵/𝒎 
 
Somando a carga do telhado coma do peso próprio do arco, temos a carga total: 
𝑝𝑔,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑝𝑔,𝑡𝑒𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜 . 6 + 𝑝𝑔,𝑎𝑟𝑐𝑜 
𝑝𝑔,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,35 .6 + 0,90 
𝒑𝒈,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟑, 𝟎𝟎𝒌𝑵/𝒎 
 
• Resultantes: 
 
Para o cálculo das forças resultantes, temos que o comprimento do arco (C) é dado 
por: 
𝐶 = 2𝑅𝛷0 
Com 𝛷0 em radianos. Então temos: 
𝐶 = 2 . 21,03 . 0,76 
𝑪 = 𝟑𝟐, 𝟎𝟎 𝒎 
 
Assim, para as cargas verticais uniformemente distribuídas permanentes, temos as 
seguintes resultantes: 
 
Carga vertical 
𝑉 = 
𝐶 . 𝑝
2
 
𝑉 = 
32,00 . 3,00
2
 
𝑽 = 48,07 kN 
 
Carga horizontal 
𝐻 = 
𝑉𝐿
2 − 𝑝𝑅²(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛷0)
𝑓
 
𝐻 = 
48 . 29
2 − 3 . 21,03²(1 − 𝑐𝑜𝑠0,76)
5,80
 
𝑯 = 𝟓𝟕, 𝟎𝟎 kN 
 
• Esforços solicitantes (pontos ímpares): 
Forças Normais: 
𝑁𝑖 = [−𝑉 + 𝑝𝑅(𝛷0 − 𝛷𝑖)] 𝑠𝑖𝑛𝛷𝑖 − 𝐻 𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 
 
𝑁1 = [−48,07 + 3 .21,03(0,76 − 0,63)] 𝑠𝑖𝑛0,63 − 57. 𝑐𝑜𝑠0,63 = −69,65 𝑘𝑁 
𝑁3 = [−48,07 + 3 .21,03(0,76 − 0,38)] 𝑠𝑖𝑛0,38 − 57. 𝑐𝑜𝑠0,38 = −61,85 𝑘𝑁 
𝑁5 = [−48,07 + 3 .21,03(0,76 − 0,13)] 𝑠𝑖𝑛0,13 − 57. 𝑐𝑜𝑠0,13 = −57,56 𝑘𝑁 
𝑁7 = [−48,07 + 3 .21,03(0,76 + 0,13)] sin (−0,13) − 57. cos (−0,13) = −57,56 𝑘𝑁 
𝑁9 = [−48,07 + 3 .21,03(0,76 + 0,38)] sin (−0,38) − 57. cos (−0,38) = −61,85 𝑘𝑁 
𝑁11 = [−48,07 + 3 .21,03(0,76 + 0,63)] sin (−0,63) − 57. cos (−0,63) = −69,65 𝑘𝑁 
Forças Cortantes: 
𝑄𝑖 = [𝑉 − 𝑝𝑅(𝛷0 − 𝛷𝑖)] 𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 − 𝐻 𝑠𝑖𝑛𝛷𝑖 
 
𝑄1 = [48,07 − 3 . 21,03(0,76 − 0,63)] 𝑐𝑜𝑠0,63 − 57 𝑠𝑖𝑛0,63 = −1,51 𝑘𝑁 
𝑄3 = [48,07 − 3 . 21,03(0,76 − 0,38)] 𝑐𝑜𝑠0,38 − 57 𝑠𝑖𝑛0,38 = 1,14 𝑘𝑁 
𝑄5 = [48,07 − 3 . 21,03(0,76 − 0,13)] 𝑐𝑜𝑠0,13 − 57 𝑠𝑖𝑛0,13 = 0,74 𝑘𝑁 
𝑄7 = [48,07 − 3 . 21,03(0,76 + 013)] cos(−0,13) − 57 sin(−0,13) = − 0,74 𝑘𝑁 
𝑄9 = [48,07 − 3 . 21,03(0,76 + 0,38)] cos(−0,38) − 57 sin(−0,38) = −1,14 𝑘𝑁 
𝑄11 = [48,07 − 3 . 21,03(0,76 + 0,63)] cos(−0,63) − 57 sin(−0,63) = 1,51 𝑘𝑁 
 
Momentos Fletores: 
𝑀𝑖 = 𝑉𝑥 − 𝐻𝑦 − 𝑝𝑅²[𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 − 𝑐𝑜𝑠𝛷0 − 𝑠𝑖𝑛𝛷𝑖(𝛷0 − 𝛷𝑖)] 
 
𝑀1 = 48,07. 2,04 − 57. 1,71 − 3. 21,03
2[𝑐𝑜𝑠0,63 − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛0,63(0,76 − 0,63)] 
𝑀1 = −7,74𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀3 = 48,07. 6,69 − 57. 4,30 − 3. 21,03²[𝑐𝑜𝑠0,38 − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛0,38(0,76 − 0,38)] 
𝑀3 = −6, ,96𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀5 = 48,07. 11,84 − 57. 5,63 − 3. 21,03²[𝑐𝑜𝑠0,13 − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛0,13(0,76 − 0,13)] 
𝑀5 = −1,01𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀7 = 48,07. 17,16 − 57. 5,63 − 3. 21,03²[cos(−0,13) − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛(−0,13). (0,76 + 0,13)] 
𝑀7 = −1,01𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀9 = 48,07.22,31 − 57. 4,30 − 3. 21,03²[cos(−0,38) − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛(−0,38). (0,76 + 0,38)] 
𝑀9 = −6,96𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀11 = 48,07.26,96 − 57. 1,71 − 3. 21,03²[cos(−0,63) − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛(−0,63). (0,76 + 0,63)] 
𝑀11 = −7,74𝑁. 𝑚 
 
4.2 Carga vertical uniformemente distribuída de sobrecarga 
 
Considerando uma carga de superfície 0,25 kN/m², temos: 
𝑝𝑠𝑐 = 0,25 . 6 
𝒑𝒔𝒄 = 𝟏, 𝟓𝟎 𝒌𝑵/𝒎 
 
Assim, para as cargas verticais uniformemente distribuídas permanentes, temos as 
seguintes resultantes: 
Carga vertical 
𝑉 = 
𝐶 . 𝑝
2
 
𝑉 = 
32,00 . 1,50
2
 
𝑽 = 𝟐𝟒, 𝟎𝟎 𝒌𝑵 
 
Carga horizontal 
𝐻 = 
𝑉𝐿
2 − 𝑝𝑅²(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛷0)
𝑓
 
𝐻 = 
24 . 29
2 − 1,50 . 21,03²(1 − 𝑐𝑜𝑠0,76)
5,80
 
𝑯 = 𝟐𝟖, 𝟒𝟔 𝒌𝑵 kN 
 
• Esforços solicitantes (pontos ímpares): 
 
Forças Normais: 
𝑁𝑖 = [−𝑉 + 𝑝𝑅(𝛷0 − 𝛷𝑖)] 𝑠𝑖𝑛𝛷𝑖 − 𝐻 𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 
 
𝑁1 = [−24 + 3 .21,03(0,76 − 0,63)] 𝑠𝑖𝑛0,63 − 28,46. 𝑐𝑜𝑠0,63 = −34,78 𝑘𝑁 
𝑁3 = [−24 + 3 .21,03(0,76 − 0,38)] 𝑠𝑖𝑛0,38 − 28,46. 𝑐𝑜𝑠0,38 = −30,88 𝑘𝑁 
𝑁5 = [−24 + 3 .21,03(0,76 − 0,13)] 𝑠𝑖𝑛0,13 − 28,46. 𝑐𝑜𝑠0,13 = −28,74 𝑘𝑁 
𝑁7 = [−24 + 3 .21,03(0,76 + 0,13)] sin (−0,13) − 28,46. cos (−0,13) = −28,74 𝑘𝑁 
𝑁9 = [−24 + 3 .21,03(0,76 + 0,38)] sin (−0,38) − 28,46. cos (−0,38) = −30,88𝑘𝑁 
𝑁11 = [−24 + 3 .21,03(0,76 + 0,63)] sin(−0,63) − 28,46. cos(−0,63) = −34,78 𝑘𝑁 
 
Forças Cortantes: 
𝑄𝑖 = [𝑉 − 𝑝𝑅(𝛷0 − 𝛷𝑖)] 𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 − 𝐻 𝑠𝑖𝑛𝛷𝑖 
 
𝑄1 = [24 − 3 . 21,03(0,76 − 0,63)] 𝑐𝑜𝑠0,63 − 28,46 𝑠𝑖𝑛0,63 = −0,75 𝑘𝑁 
𝑄3 = [24 − 3 . 21,03(0,76 − 0,38)] 𝑐𝑜𝑠0,38 − 28,46 𝑠𝑖𝑛0,38 = 0,57 𝑘𝑁 
𝑄5 = [24 − 3 . 21,03(0,76 − 0,13)] 𝑐𝑜𝑠0,13 − 28,46𝑠𝑖𝑛0,13 = 0,37𝑘𝑁 
𝑄7 = [24 − 3 . 21,03(0,76 + 013)] cos(−0,13) − 28,46 sin(−0,13) = − 0,37 𝑘𝑁 
𝑄9 = [24 − 3 . 21,03(0,76 + 0,38)] cos(−0,38) − 28,46 sin(−0,38) = −0,57𝑘𝑁 
𝑄11 = [24 − 3 . 21,03(0,76 + 0,63)] cos(−0,63) − 28,46 sin(−0,63) = 0,75 𝑘𝑁 
 
Momentos Fletores: 
𝑀𝑖 = 𝑉𝑥 − 𝐻𝑦 − 𝑝𝑅²[𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 − 𝑐𝑜𝑠𝛷0 − 𝑠𝑖𝑛𝛷𝑖(𝛷0 − 𝛷𝑖)] 
 
𝑀1 = 24. 2,04 − 28,46. 1,71 − 3. 21,03
2[𝑐𝑜𝑠0,63 − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛0,63(0,76 − 0,63)] 
𝑀1 = −3,87𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀3 = 24. 6,69 − 28,46. 4,30 − 3. 21,03²[𝑐𝑜𝑠0,38 − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛0,38(0,76 − 0,38)] 
𝑀3 = −3,48𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀5 = 24. 11,84 − 28,46. 5,63 − 3. 21,03²[𝑐𝑜𝑠0,13 − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛0,13(0,76 − 0,13)] 
𝑀5 = −0,50𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀7 = 24. 17,16 − 28,46. 5,63 − 3. 21,03²[cos(−0,13) − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛(−0,13). (0,76 + 0,13)] 
𝑀7 = −0,50𝑁. 𝑚 
𝑀9 = 24 .22,31 − 28,46. 4,30 − 3. 21,03²[cos(−0,38) − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛(−0,38). (0,76 + 0,38)] 
𝑀9 = −3,48𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀11 = 24 .26,96 − 28,46. 1,71 − 3. 21,03²[cos(−0,63) − 𝑐𝑜𝑠0,76 − 𝑠𝑖𝑛(−0,63). (0,76 + 0,63)] 
𝑀11 = −3,87𝑁. 𝑚 
 
4.3 Carga radial de vento 
 
Para as cargas radiais de vento, foram consideradas seis aduelas com números 
ímpares na seção média de cada aduela. Neste nó ímpar foi calculado a força radial 
resultante W gerado pela carga radial distribuída w de cada aduela conforme a Figura 4. 
 
Figura 4: forças radiais resultantes do vento (W) 
 
As cargas radiais distribuídas foram calculadas pelo anexo E da norma NBR 
6123:1998. Assim temos os seguintes dados: 
Velocidade básica do vento (𝑉𝑜) 
𝑉𝑜 = 40𝑚/𝑠 
 
Fatores 
𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆3 = 1 
 
Velocidade característica do vento (𝑉𝑘) 
𝑉𝑘 = 𝑉0. 𝑆1. 𝑆2. 𝑆3 
𝑉𝑘 = 40.1.1.1 
𝑉𝑘 = 40𝑚/𝑠 
 
Pressão dinâmica do vento (𝑞0) 
𝑞0 = 0,613. 𝑉𝑘 = 1𝑘𝑁/𝑚² 
 
Coeficientes de pressão (c) 
𝑐 = 𝑐𝑒 − 𝑐𝑖 = −0,8 − 0,2 
𝑐 = −1 
 
Força radial distribuída do vento (w) 
𝑤 = 𝑐. 𝑞𝑜 . 6 
𝑤 = −1. 1. 6 
𝒘 = − 𝟔 𝒌𝑵/𝒎 
 
Força radial resultante do vento (W) 
𝑊 = 𝑤. 𝑅. 𝛥Φ 
𝑊 = 6. 21,03. 0,25 
𝑾 = 𝟑𝟐, 𝟎𝟎 kN 
 
• Resultantes: 
Para o cálculo das forças resultantes, temos: 
Carga vertical 
𝑉 = 𝑤𝑅 𝑠𝑖𝑛𝛷0 
𝑉 = 6. 21,03 𝑠𝑖𝑛0,76 
𝑽 = 𝟖𝟕, 𝟎𝟎 𝒌𝑵 
 
Carga horizontal 
𝐻 = 
𝑉𝐿
2 − 𝑤²(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛷0)
𝑓
 
𝐻 = 
87 . 29
2 − 21,03²(1 − 𝑐𝑜𝑠0,76)
5,80
 
𝑯 = 𝟗𝟏, 𝟒𝟎 𝒌𝑵 
 
• Esforços solicitantes: 
Forças Normais: 
𝑁𝑖 = 𝑉 𝑠𝑖𝑛𝛷0 + 𝐻 𝑐𝑜𝑠𝛷0 
 
𝑁1 = 87. 𝑠𝑖𝑛0,63 − 91,40. 𝑐𝑜𝑠0,63 = 126,15 𝑘𝑁 
𝑁3 = 87. 𝑠𝑖𝑛0,38 − 91,40. 𝑐𝑜𝑠0,38 = 126,15 𝑘𝑁 
𝑁5 = 87. 𝑠𝑖𝑛0,13 − 91,40. 𝑐𝑜𝑠0,13 = 126,15 𝑘𝑁 
𝑁7 = 87. sin (−0,13) − 91,40. cos (−0,13) = 126,15𝑘𝑁 
𝑁9 = 87. sin (−0,38) − 91,40. cos (−0,38) = 126,15𝑘𝑁 
𝑁11 = 87. sin(−0,63) − 91,40. cos(−0,63) = 126,15 𝑘𝑁 
 
Os esforços solicitantes cortantes e momentos fletores são constantes iguais a zero. 
Dessa forma, com os cálculos feitos nos itens 4.1, 4.2 e 4.3, temos a seguinte tabela 
com o resumo dos dados obtidos: 
 
Tabela 6: resumo de cargas 
 Peso próprio Sobrecarga Vento 
Nó Φi 
N 
(kN) 
Q 
(kN) 
M 
(kN.m) 
N 
(kN) 
Q 
(kN) 
M 
(kN.m) 
N 
(kN) 
Q 
(kN) 
M 
(kN.m) 
1 0,63 -69,65 -1,51 -7,74 -34,78 -0,75 -3,87 126,15 0 0 
3 0,38 -61,85 1,14 -6,96 -30,88 0,57 -3,48 126,15 0 0 
5 0,13 -57,56 0,74 -1,01 -28,74 0,37 -0,50 126,15 0 0 
7 -0,13 -57,56 -0,74 -1,01 -28,74 -0,37 -0,50 126,15 0 0 
9 -0,38 -61,85 -1,14 -6,96 -30,88 -0,57 -3,48 126,15 0 0 
11 -0,63 -69,65 1,51 -7,74 -34,78 0,75 -3,87 126,15 0 0 
 
5 VERIFICAÇÃO DA SEÇÃO 
 
Figura 5: eixos do arco 
5.1 Flexo-compressão 
 
Para a verificação de Estado Limite Último (ELU) de flexo-compressão avaliou-se as 
seções mais solicitadas,conforme resumo de esforços solicitantes da Tabela 6, são as 
seções dos nós 1 e 11. 
Para análise da flexo-compressão máxima foi usada a seguinte combinação de 
cargas: 
𝑝𝑑 = 1,4(𝑝𝑔,𝑘 + 𝑝𝑠𝑐,𝑘) 
Assim temos: 
𝑁1𝑑 = 𝑁11𝑑 = 1,4(−69,65 − 34,78) = −146,21 𝑘𝑁 
𝑀𝑥,1𝑑 = 𝑀𝑥,11𝑑 = 1,4(−7,74 − 3,87) = −16,25 𝑘𝑁 
Como a peça é medianamente esbelta temos as seguintes verificações: 
(
𝜎𝑁𝑐,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
)
2
+ 𝐾𝑀
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
≤ 1 
(
𝜎𝑁𝑐,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
)
2
+
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
+ 𝐾𝑀
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
≤ 1 
a) Para momento em torno de x: 
Excentricidade acidental (𝑒𝑎) 
𝑒𝑎 =
𝐿0
300
=
0,6. 29
300
 
𝒆𝒂 = 𝟎, 𝟔 𝒎 
Excentricidade inicial (𝑒𝑖) 
𝑒𝑖 =
𝑀𝑥,𝑑
𝑁𝑐,𝑑
=
16,25
146,21
>
ℎ
30
= 0,03 
𝒆𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟏𝒎 
Excentricidade de primeira ordem (𝑒1) 
𝑒1 = 𝑒𝑎 + 𝑒𝑖 = 0,6 + 0,11 
𝒆𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟕 𝒎 
 
Nas verificações de segurança que dependem da rigidez da madeira, o módulo de 
elasticidade paralelamente às fibras deve ser tomado com o valor efetivo: 
Momento de Elasticidade paralelamente às fibras efetivo (𝐸𝑐0,𝑒𝑓) 
𝐸𝑐0,𝑒𝑓 = 𝑘𝑚𝑜𝑑,1. 𝑘𝑚𝑜𝑑,2. 𝑘𝑚𝑜𝑑,3. 𝐸𝑐0,𝑚 
𝐸𝑐0,𝑒𝑓 = 0,7. 1,0 . 1,0 . 12813,0 = 8969,10 𝑀𝑃𝑎 
𝑬𝒄𝟎,𝒆𝒇 = 𝟖𝟗𝟔𝟗𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵/𝒎
𝟐 
 
Momento de Inércia (𝐼𝑥) 
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
12
=
0,18. 0,803
12
 
𝑰𝒙 = 𝟕𝟔, 𝟖𝟎. 𝟏𝟎
−𝟒𝒎𝟒 
 
Carga Crítica de Euler (𝐹𝐸) 
𝐹𝐸 =
𝜋2𝐸𝑐0,𝑒𝑓𝐼
𝐿0
2 
𝐹𝐸 =
𝜋2 8969100. 76,80. 10−4
(0,6. 29)2
 
𝑭𝑬 = 𝟐𝟐𝟒𝟓, 𝟒𝟗𝒌𝑵 
 
Excentricidade de cálculo (𝑒𝑑) 
𝑒𝑑 = 𝑒1 (
𝐹𝐸
𝐹𝐸 − 𝑁𝑐,𝑑
) = 0,21 (
2245,49
2245,49 − 146,21 
) 
𝒆𝒅 = 𝟎, 𝟏𝟖 𝒎 
 
Momento Fletor (𝑀𝑑) 
𝑀𝑑 = 𝑁𝑐,𝑑. 𝑒𝑑 = 146,21. 0,18 
𝑴𝒅 = 𝟐𝟔, 𝟒𝟓 𝒌𝑵. 𝒎 
Módulo de resistência (𝑊𝑐) 
𝑊𝑐,𝑥 =
𝐼𝑥
𝑦𝑐
=
76,80. 10−4
0,8
2⁄
 
𝑾𝒄,𝒙 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟎. 𝟏𝟎
−𝟑𝒎𝟑 
 
Assim as tensões atuantes de cálculo são: 
𝜎𝑀𝑥,𝑑 =
𝑀𝑑
 𝑊𝑐
=
26,45
19,20. 10−3𝑚3
 
𝝈𝑴𝒙,𝒅 = 𝟏𝟑𝟕𝟕, 𝟖𝟎 𝒌𝑵/𝒎² 
b) Para momento em torno de y: 
Seguindo a mesma formulação do item a: 
𝑒𝑎 =
𝐿0
300
=
2,00
300
 
𝒆𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕 𝒎 
 
Excentricidade inicial (𝑒𝑖) 
𝑒𝑖 =
𝑀𝑥,𝑑
𝑁𝑐,𝑑
=
0
146,21
>
𝑏
30
= 0,01 
∴ 𝒆𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔 𝒎 
Excentricidade de primeira ordem (𝑒1) 
𝑒1 = 𝑒𝑎 + 𝑒𝑖 = 0,007 + 0,006 
𝒆𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟑 𝒎 
 
Momento de Inércia (𝐼𝑥) 
𝐼𝑦 =
ℎ𝑏3
12
=
0,8. 0,183
12
 
𝑰𝒚 = 𝟑, 𝟖𝟗. 𝟏𝟎
−𝟒𝒎𝟒 
 
Carga Crítica de Euler (𝐹𝐸) 
𝐹𝐸 =
𝜋2𝐸𝑐0,𝑒𝑓𝐼
𝐿0
2 
𝐹𝐸 =
𝜋2 8969100. 3,89. 10−4
(2,00)2
 
𝑭𝑬 = 𝟖𝟔𝟎𝟒, 𝟐𝟗𝒌𝑵 
 
Excentricidade de cálculo (𝑒𝑑) 
𝑒𝑑 = 𝑒1 (
𝐹𝐸
𝐹𝐸 − 𝑁𝑐,𝑑
) = 0,013 (
8604,29
8604,29 − 146,21 
) 
𝒆𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟑 𝒎 
 
Momento Fletor (𝑀𝑑) 
𝑀𝑑 = 𝑁𝑐,𝑑. 𝑒𝑑 = 146,21. 0,013 
𝑴𝒅 = 𝟏, 𝟖𝟖 𝒌𝑵. 𝒎 
Módulo de resistência (𝑊𝑐) 
𝑊𝑐,𝑦 =
𝐼𝑦
𝑥𝑐
=
3,89. 10−4
0,18
2⁄
 
𝑾𝒄,𝒙 = 𝟒, 𝟑𝟐. 𝟏𝟎
−𝟑𝒎𝟑 
 
Assim as tensões atuantes de cálculo são: 
𝜎𝑀𝑦,𝑑 =
𝑀𝑑
 𝑊𝑐
=
1,88
4,32. 10−3
 
𝝈𝑴𝒚,𝒅 = 𝟒𝟑𝟔, 𝟏𝟎 𝒌𝑵/𝒎² 
 
 
c) Tensões normais 
𝜎𝑁𝑐,𝑑 =
𝑁𝑐,𝑑
𝐴
=
146,21
0,18 . 0,80
 
𝝈𝑵𝒄,𝒅 = 𝟏𝟎𝟏𝟓, 𝟑𝟑 𝒌𝑵/𝒎² 
Resistência de cálculo a compressão normal às fibras (𝑓𝑐0,𝑑) 
𝑓𝑐0,𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑.
𝑓𝑐0,𝑘
ϒ𝑤
= 0,7.
40,3
1,4
 
𝒇𝒄𝟎,𝒅 = 𝟐𝟎, 𝟏𝟓 𝑴𝑷𝒂 = 𝟐𝟎𝟏𝟓𝟎, 𝟎𝟎 𝒌𝑵/𝒎² 
 
Como a seção é retangular 𝐾𝑀 = 0,5, substituindo os valores das tensões atuantes no 
cálculo de verificação do Estado Limite Último, temos: 
(
𝜎𝑁𝑐,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
)
2
+ 𝐾𝑀
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
≤ 1 
(
1015,33
20150,00
)
2
+ 0,5
1377,80
20150,00
+
436,10
20150,00
≤ 1 
0,06 ≤ 1 ∴ 𝑜𝑘 
(
𝜎𝑁𝑐,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
)
2
+
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
+ 𝐾𝑀
𝜎𝑀𝑦,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑
≤ 1 
(
1015,33
20150,00
)
2
+
1377,80
20150,00
+ 0,5
436,10
20150,00
≤ 1 
0,08 ≤ 1 ∴ 𝑜𝑘 
5.2 Cisalhamento 
 
Para verificação do cisalhamento foi utilizado a mesma combinação e, de acordo com 
a Tabela 6 as seções mais críticas também foram a 1 e 11, assim: 
𝑄1𝑑 = 1,4. [−1,51 + (−0,75)] = −3,17𝑘𝑁 
𝑄11𝑑 = 1,4. (1,51 + 0,75) = 3,17𝑘𝑁 
Resistência de cálculo ao cisalhamento paralelo às fibras (𝑓𝑣,𝑑) 
𝑓𝑣,𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑 .
𝑓𝑣,𝑘
ϒ𝑤
= 0,7.
7,0
1,8
 
𝒇𝒗,𝒅 = 𝟐, 𝟕𝟐𝑴𝑷𝒂 = 𝟐𝟕𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝒌𝑵/𝒎² 
 
 
As tensões tangenciais são expressas por: 
𝜏𝑑 = 
3
2
 .
𝑄𝑑
𝑏. ℎ
 
𝜏𝑑,1 = 𝜏𝑑,11 = 
3
2
 .
3,17
0,18. 0,80
 
𝝉𝒅 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎
𝒌𝑵
𝒎𝟐
≤ 𝒇𝒗,𝒅 ∴ 𝒐𝒌 
 
5.3 Flexo-tração 
 
Para a verificação de Estado Limite Último (ELU) de flexo-tração avaliou-se as seções 
mais solicitadas, conforme resumo de esforços solicitantes da Tabela 6, são as seções 
dos nós 1 e 11, devido ao maior momento atuante. 
Para análise da flexo-tração máxima foi usada a seguinte combinação de cargas: 
𝑝𝑑 = 0,9 . 𝑝𝑔,𝑘 + 1,4.0,75. 𝑤 
Assim temos: 
𝑁1𝑑 = 𝑁11𝑑 = 0,9. (−74,43) + 1,4. 0,75. 126,15 = 69,77 𝑘𝑁 
𝑀𝑥,1𝑑 = 𝑀𝑥,11𝑑 = 0,9. (−7,74) + 1,4. 0,75. 0 = −6,97 𝑘𝑁 
Como a peça é medianamente esbelta e não tem-se momento em torno de y temos a 
seguinte verificação: 
𝜎𝑁𝑡,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
≤ 1 
 
a) Tensões normais 
𝜎𝑁𝑐,𝑑 =
𝑁𝑐,𝑑
𝐴
=
69,77
0,18 . 0,80
 
𝝈𝑵𝒄,𝒅 = 𝟒𝟖𝟒, 𝟓𝟏 𝒌𝑵/𝒎² 
 
Resistência de cálculo a tração normal às fibras (𝑓𝑐0,𝑑) 
𝑓𝑡0,𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑.
𝑓𝑡0,𝑘
ϒ𝑤
= 0,7.
70,2
1,8
 
𝒇𝒕𝟎,𝒅 = 𝟐𝟕, 𝟑𝟎 𝑴𝑷𝒂 = 𝟐𝟕𝟑𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒌𝑵/𝒎² 
 
 
b) Tensões devido ao momento fletor 
Módulo de resistência (𝑊𝑡) 
𝑊𝑡 =
𝐼𝑥
𝑦𝑡
=
76,80. 10−4
0,8
2⁄
 
𝑾𝒕 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟎. 𝟏𝟎
−𝟑𝒎𝟑 
Assim as tensões atuantes de cálculo são: 
𝜎𝑀𝑦,𝑑 =
𝑀𝑑
 𝑊𝑐
=
6,97
19,20. 10−3
 
𝝈𝑴𝒚,𝒅 = 𝟑𝟔𝟐, 𝟗𝟐 𝒌𝑵/𝒎² 
Substituindo os resultados obtidos para fazer a verificação de flexo-tração, temos: 
 
𝜎𝑁𝑡,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
+
𝜎𝑀𝑥,𝑑
𝑓𝑡0,𝑑
≤ 1 
484,51
27300,00
+
362,92
27300,00
≤ 1 
0,031 ≤ 1 ∴ 𝑜𝑘 
 
6 CONCLUSÃO 
 
O arco triarticulado de seção retangular 18x80 cm passa nas verificações de Estado 
Limite Último de flexo-compressão, flexo-tração e cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ABNT (1997). Projeto de Estruturas de Madeira – NBR 7190. Rio de Janeiro. 1997. 
Associação Brasileira de Normas Técnicas. 
 
MOLITERNO, Antonio. Caderno de Projetos de Telhados em Estruturas de Madeira: 
4ª edição revista. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 2010.