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Obs.: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝒂 𝒂 =0 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑏 , (𝑎 < 𝑏) Primitiva Def.: A primitiva de 𝑓 num intervalo 𝐼 é uma função 𝐹 definida em 𝐼, tal que, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼. A família das primitivas de 𝑓 em 𝐼 é dada por 𝑦 = 𝐹(𝑥) + 𝑘(𝑘 ∈ ℝ). Notação: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑘. Integral de Rieman Def.: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚 𝑚á𝑥(𝛥𝑥𝑖)→0 ∑ 𝛥𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 Propriedades: Sejam 𝑓, 𝑔 integráveis em [𝑎, 𝑏] e 𝑘 constante: i. ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ii. ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 iii. 𝑓(𝑥) ≥ 0 ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≥ 0 iv. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 𝑎 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑐 , ∀𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] Teorema fundamental do cálculo: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Cálculo de áreas i. Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ii. Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 iii. Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 𝑎 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑑 𝑐 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑑 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑏 𝑎 iv. Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Mudança de variável Dada 𝑓 contínua em 𝐼, tal que, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼. Sejam 𝑔: [𝑐, 𝑑] → 𝐼, com 𝑔′ contínua em [𝑐, 𝑑], tal que, 𝑔(𝑐) = 𝑎 e 𝑔(𝑑) = 𝑏. Nessas condições: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)) ∙ 𝑔′(𝑢)𝑑𝑥 𝑑 𝑐 . Integral definida: ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]𝑏 𝑎 − ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑏 Após o cálculo da integral do segundo membro, deve-se voltar à variável 𝑥 através da inversa de 𝑔. Caso o grau de 𝑃 for maior ou igual ao denominador, precisa antes “extrair os inteiros”. 𝑃(𝑥) (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽) = 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽) , em que 𝑄(𝑥) e 𝑅(𝑥) são, respectivamente o quociente e o resto de 𝑃(𝑥) (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽) . Teorema: para denominadores do terceiro grau: ∫ 𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝 (𝑥−𝛼)(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐴 (𝑥−𝛼) 𝑑𝑥 + ∫ 𝐵𝑥+𝐶 (𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐) 𝑑𝑥 Técnicas de primitivação • Primitivas imediatas i. ∫ 𝑐 𝑑𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑥 + 𝑘 ii. ∫ 𝑥𝛼 𝑑𝑥 = 𝑥𝛼+1 𝛼+1 + 𝑘, (𝛼 ≠ −1) iii. ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑘 iv. ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑘, (𝛼 > 0) v. ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(−𝑥) + 𝑘, (𝛼 < 0) vi. ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑘 vii. ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑘 viii. ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝑘 ix. ∫ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑘 x. ∫ sec(𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = sec(𝑥) + 𝑘 xi. ∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|sec(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)| + 𝑘 xii. ∫ 𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑙𝑛|cos(𝑥)| + 𝑘 xiii. ∫ 1 1+𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑘 xiv. ∫ 1 √1+𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑘 xv. ∫ 𝑡𝑔2(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫[sec2(𝑥) − 1] 𝑑𝑥 • Integração por partes ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓(𝑥)′ ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 • Mudança de variável ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)) ∙ 𝑔′(𝑢) 𝑑𝑢 para 𝑥 = 𝑔(𝑢) e 𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑢) 𝑑𝑢 Obs.: Na integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)) ∙ 𝑔′(𝑢) 𝑏 𝑎 𝑑𝑢, 𝑔 não precisa ser invertível, mas 𝑔′ deve ser contínua, 𝑔(𝑐) = 𝑎 e 𝑔(𝑑) = 𝑏. • ∫Integrais racionais com denominador de fatores irredutíveis: 𝑃(𝑥) (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽) 𝑑𝑥 e ∫ 𝑃(𝑥) (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)(𝑥−𝛾) 𝑑𝑥. Teorema: Sejam {𝛼, 𝛽, 𝑚, 𝑛} ∈ ℝ com 𝛼 ≠ 𝛽 , existem 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ tais que: i. 𝑚𝑥+𝑛 (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽) = 𝐴 (𝑥−𝛼) + 𝐵 (𝑥−𝛽) ii. 𝑚𝑥+𝑛 (𝑥−𝛼)2 = 𝐴 (𝑥−𝛼) + 𝐵 (𝑥−𝛼)2 Teorema: para denominadores do tipo (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽)(𝑥 − 𝛾). i. 𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝 (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)(𝑥−𝛾) = 𝐴 (𝑥−𝛼) + 𝐵 (𝑥−𝛽) + 𝐶 (𝑥−𝛾) ii. 𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝 (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)2 = 𝐴 (𝑥−𝛼) + 𝐵 (𝑥−𝛽) + 𝐶 (𝑥−𝛽)2 • Integrais de potência seno e cosseno: basta aplicar as equações seguintes. i. 𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝑏) = 1 2 [𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏)] ii. 𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝑏) = 1 2 [𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) − 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)] iii. 𝑐𝑜𝑠(𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝑏) = 1 2 [𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)] • Integrais de potencias seno e cosseno: equações de recorrência com mudança de variável. i. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = { 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑒 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) , (quando 𝑛 for í𝑚𝑝𝑎𝑟) 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 2 , (quando 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟) ii. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = { 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) , (𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟) 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 2 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟 iii. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑚(𝑥) 𝑑𝑥 = { 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) , (𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟) 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , (𝑚 for 𝑝𝑎𝑟) 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 2 (𝑚 𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠) • Integrais de potencias tangente e secante: equações de recorrência. i. ∫ 𝑡𝑔𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑛+1(𝑥) 𝑛+1 + 𝑘 (𝑛 ≠ −1) ii. ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑛+1(𝑥) 𝑛+1 + 𝑘 (𝑛 ≠ −1) iii. ∫ 𝑡𝑔𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑛−1(𝑥) 𝑛−1 + ∫ 𝑡𝑔𝑛−2(𝑥) 𝑑𝑥 iv. ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) 𝑛−1 + 𝑛−2 𝑛−1 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑥) 𝑑𝑥 v. ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑡𝑔𝑚(𝑥) 𝑑𝑥 = { 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝑥) (𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟) 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝑥) (𝑚 𝑝𝑎𝑟) Integrais impróprias Def1.: Dado 𝑓 integrável em [𝑎, 𝑡] com 𝑡 > 𝑎, a integra indefinida de 𝑓 é: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ 𝑎 = lim 𝑡→+∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑡 𝑎 desde que o limite exista e seja finito. Def2.: Seja 𝑓 integrável em [𝑡, 𝑎], tal que, 𝑡 > 𝑎, tem-se: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 −∞ = lim 𝑡→−∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑡 Def3.: Dado 𝑓 integrável em [−𝑡, 𝑡], tal que, 𝑡 > 𝑎, tem-se: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0 −∞ + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ 0 Def4.: Seja 𝑓 não limitada em ]𝑎, 𝑏] e integrável em [𝑡, 𝑏], tal que, 𝑡 ∈ ]𝑎, 𝑏]: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = lim 𝑡→𝑎+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑡
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