[Cálculo] Integrais - Primitiva (Resumo)

Prévia do material em texto

Obs.: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝒂
𝒂
=0 
 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
, (𝑎 < 𝑏) 
 
Primitiva 
 
Def.: A primitiva de 𝑓 num intervalo 𝐼 é uma função 𝐹 definida em 𝐼, tal que, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼. 
A família das primitivas de 𝑓 em 𝐼 é dada por 𝑦 = 𝐹(𝑥) + 𝑘(𝑘 ∈ ℝ). Notação: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑘. 
 
 Integral de Rieman 
 
Def.: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑙𝑖𝑚
𝑚á𝑥(𝛥𝑥𝑖)→0
∑ 𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 
 
 Propriedades: Sejam 𝑓, 𝑔 integráveis em [𝑎, 𝑏] e 𝑘 constante: 
 
i. ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
ii. ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
iii. 𝑓(𝑥) ≥ 0 ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ 0 
iv. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
, ∀𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 
 
Teorema fundamental do cálculo: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 Cálculo de áreas 
 
i. Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
ii. Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
iii. Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑑
𝑐
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑑
= ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
iv. Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mudança de variável 
 
Dada 𝑓 contínua em 𝐼, tal que, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼. Sejam 𝑔: [𝑐, 𝑑] → 𝐼, com 𝑔′ contínua em [𝑐, 𝑑], tal que, 
𝑔(𝑐) = 𝑎 e 𝑔(𝑑) = 𝑏. Nessas condições: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)) ∙ 𝑔′(𝑢)𝑑𝑥
𝑑
𝑐
. 
 
Integral definida: 
∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]𝑏
𝑎 − ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
Após o cálculo da integral do 
segundo membro, deve-se voltar à 
variável 𝑥 através da inversa de 𝑔. 
Caso o grau de 𝑃 for maior ou igual ao denominador, precisa antes 
“extrair os inteiros”. 
𝑃(𝑥)
(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)
= 𝑄(𝑥) +
𝑅(𝑥)
(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)
, em que 𝑄(𝑥) 
e 𝑅(𝑥) são, respectivamente o quociente e o resto de 
𝑃(𝑥)
(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)
. 
Teorema: para denominadores do terceiro grau: 
∫
𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝
(𝑥−𝛼)(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)
𝑑𝑥 = ∫
𝐴
(𝑥−𝛼)
𝑑𝑥 + ∫
𝐵𝑥+𝐶
(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)
𝑑𝑥 
 Técnicas de primitivação 
 
• Primitivas imediatas 
 
i. ∫ 𝑐 𝑑𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑥 + 𝑘 
ii. ∫ 𝑥𝛼 𝑑𝑥 =
𝑥𝛼+1
𝛼+1
+ 𝑘, (𝛼 ≠ −1) 
iii. ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑘 
iv. ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑘, (𝛼 > 0) 
v. ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(−𝑥) + 𝑘, (𝛼 < 0) 
vi. ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑘 
vii. ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑘 
viii. ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝑘 
ix. ∫ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑘 
x. ∫ sec(𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = sec(𝑥) + 𝑘 
xi. ∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|sec(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)| + 𝑘 
xii. ∫ 𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑙𝑛|cos(𝑥)| + 𝑘 
xiii. ∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑘 
xiv. ∫
1
√1+𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑘 
xv. ∫ 𝑡𝑔2(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫[sec2(𝑥) − 1] 𝑑𝑥 
 
• Integração por partes 
 
 ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓(𝑥)′ ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
 
• Mudança de variável 
 
 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)) ∙ 𝑔′(𝑢) 𝑑𝑢 para 𝑥 = 𝑔(𝑢) e 𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑢) 𝑑𝑢 
 
Obs.: Na integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)) ∙ 𝑔′(𝑢)
𝑏
𝑎
𝑑𝑢, 𝑔 não precisa ser invertível, mas 𝑔′ deve ser contínua, 
𝑔(𝑐) = 𝑎 e 𝑔(𝑑) = 𝑏. 
 
• ∫Integrais racionais com denominador de fatores irredutíveis: 
𝑃(𝑥)
(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)
𝑑𝑥 e 
∫
𝑃(𝑥)
(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)(𝑥−𝛾)
𝑑𝑥. 
 
Teorema: Sejam {𝛼, 𝛽, 𝑚, 𝑛} ∈ ℝ com 𝛼 ≠ 𝛽 , existem 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ tais que: 
 
i. 
𝑚𝑥+𝑛
(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)
=
𝐴
(𝑥−𝛼)
+
𝐵
(𝑥−𝛽)
 
 
ii. 
𝑚𝑥+𝑛
(𝑥−𝛼)2
=
𝐴
(𝑥−𝛼)
+
𝐵
(𝑥−𝛼)2
 
 
Teorema: para denominadores do tipo (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽)(𝑥 − 𝛾). 
 
i. 
𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝
(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)(𝑥−𝛾)
=
𝐴
(𝑥−𝛼)
+
𝐵
(𝑥−𝛽)
+
𝐶
(𝑥−𝛾)
 
 
ii. 
𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝
(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)2
=
𝐴
(𝑥−𝛼)
+
𝐵
(𝑥−𝛽)
+
𝐶
(𝑥−𝛽)2
 
• Integrais de potência seno e cosseno: basta aplicar as equações seguintes. 
i. 𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝑏) =
1
2
[𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏)] 
ii. 𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝑏) =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) − 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)] 
iii. 𝑐𝑜𝑠(𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝑏) =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)] 
 
• Integrais de potencias seno e cosseno: equações de recorrência com mudança de variável. 
i. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = {
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑒 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) , (quando 𝑛 for í𝑚𝑝𝑎𝑟)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) =
1
2
−
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
2
, (quando 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟)
 
ii. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = {
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) , (𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) =
1
2
−
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
2
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟
 
iii. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑚(𝑥) 𝑑𝑥 = {
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) , (𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟)
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , (𝑚 for 𝑝𝑎𝑟)
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) =
1
2
−
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
2
 (𝑚 𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠)
 
 
• Integrais de potencias tangente e secante: equações de recorrência. 
i. ∫ 𝑡𝑔𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑡𝑔𝑛+1(𝑥)
𝑛+1
+ 𝑘 (𝑛 ≠ −1) 
ii. ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑐𝑛+1(𝑥)
𝑛+1
+ 𝑘 (𝑛 ≠ −1) 
iii. ∫ 𝑡𝑔𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑡𝑔𝑛−1(𝑥)
𝑛−1
+ ∫ 𝑡𝑔𝑛−2(𝑥) 𝑑𝑥 
iv. ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)
𝑛−1
+
𝑛−2
𝑛−1
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑥) 𝑑𝑥 
v. ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑡𝑔𝑚(𝑥) 𝑑𝑥 = {
𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝑥) (𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟) 
𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝑥) (𝑚 𝑝𝑎𝑟)
 
 
 Integrais impróprias 
 
Def1.: Dado 𝑓 integrável em [𝑎, 𝑡] com 𝑡 > 𝑎, a integra indefinida de 𝑓 é: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
𝑎
= lim
𝑡→+∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡
𝑎
 
desde que o limite exista e seja finito. 
 
Def2.: Seja 𝑓 integrável em [𝑡, 𝑎], tal que, 𝑡 > 𝑎, tem-se: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−∞
= lim
𝑡→−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑡
 
 
Def3.: Dado 𝑓 integrável em [−𝑡, 𝑡], tal que, 𝑡 > 𝑎, tem-se: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
0
 
 
Def4.: Seja 𝑓 não limitada em ]𝑎, 𝑏] e integrável em [𝑡, 𝑏], tal que, 𝑡 ∈ ]𝑎, 𝑏]: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑡→𝑎+
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑡