A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
1 pág.
[Cálculo] Séries Infinitas (Resumo)

Pré-visualização | Página 1 de 1

SÉRIES INFINITAS 
 
Def.: ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + … 
 
 Se ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge, então lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 
 
 Série geométrica: ∑ 𝑎 ∙ 𝑟𝑛∞𝑛=1 
Converge para |𝑟| < 1 e a soma é 𝑆 =
𝑎
1−𝑟
 
 
 Série harmônica: ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 
Obs.: A série harmônica é divergente. 
 Séries P: ∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1 
Converge para 𝑝 > 1 e diverge quando 𝑝 ≤ 1 
Testes 
 
 Divergência: Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 não existe ou lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0, então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge. 
 
 Integral: Se lim
𝑡→∞
∫ 𝑎𝑛 𝑑𝑥
𝑡
1
 converge (diverge), então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge (diverge). 
 
 Comparação: Sejam ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 e ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 séries de termos positivos, tem-se. 
 
i. Se ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 converge e 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ∀𝑛, então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge. 
ii. Se ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 diverge e 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 ∀𝑛, então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge. 
 
 Comparação do limite: Sejam ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 e ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 séries de termos positivos, tem-se. 
 
Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑐 > 0, então ambas convergem ou divergem 
 
 Série alternada: Se |𝑎𝑛+1| ≤ |𝑎𝑛| ou lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0, então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge. 
 
• ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge absolutamente quando ∑ |𝑎𝑛|
∞
𝑛=1 converge. 
• ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é condicionalmente convergente quando converge, mas não absolutamente. 
• ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é absolutamente convergente, então a série converge. 
 
 Teste da razão 
 
i. Se lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| < 1, então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge absolutamente. 
ii. Se lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| > 1 ou lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = ∞, então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge absolutamente. 
Obs.: quando lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 1 nada se pode concluir. 
 
 Teste da raiz 
 
i. Se lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛
< 1, então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge absolutamente. 
ii. Se lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛
> 1 ou lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛
= ∞, então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge absolutamente. 
Obs.: quando lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 1 nada se pode concluir.

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.