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SÉRIES INFINITAS Def.: ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + … Se ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 converge, então lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 Série geométrica: ∑ 𝑎 ∙ 𝑟𝑛∞𝑛=1 Converge para |𝑟| < 1 e a soma é 𝑆 = 𝑎 1−𝑟 Série harmônica: ∑ 1 𝑛 ∞ 𝑛=1 Obs.: A série harmônica é divergente. Séries P: ∑ 1 𝑛𝑝 ∞ 𝑛=1 Converge para 𝑝 > 1 e diverge quando 𝑝 ≤ 1 Testes Divergência: Se lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 não existe ou lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0, então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 diverge. Integral: Se lim 𝑡→∞ ∫ 𝑎𝑛 𝑑𝑥 𝑡 1 converge (diverge), então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 converge (diverge). Comparação: Sejam ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 e ∑ 𝑏𝑛 ∞ 𝑛=1 séries de termos positivos, tem-se. i. Se ∑ 𝑏𝑛 ∞ 𝑛=1 converge e 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ∀𝑛, então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 converge. ii. Se ∑ 𝑏𝑛 ∞ 𝑛=1 diverge e 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 ∀𝑛, então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 diverge. Comparação do limite: Sejam ∑ 𝑏𝑛 ∞ 𝑛=1 e ∑ 𝑏𝑛 ∞ 𝑛=1 séries de termos positivos, tem-se. Se lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝑐 > 0, então ambas convergem ou divergem Série alternada: Se |𝑎𝑛+1| ≤ |𝑎𝑛| ou lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0, então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 converge. • ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 converge absolutamente quando ∑ |𝑎𝑛| ∞ 𝑛=1 converge. • ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 é condicionalmente convergente quando converge, mas não absolutamente. • ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 é absolutamente convergente, então a série converge. Teste da razão i. Se lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | < 1, então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 converge absolutamente. ii. Se lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | > 1 ou lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = ∞, então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 diverge absolutamente. Obs.: quando lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = 1 nada se pode concluir. Teste da raiz i. Se lim 𝑛→∞ √|𝑎𝑛| 𝑛 < 1, então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 converge absolutamente. ii. Se lim 𝑛→∞ √|𝑎𝑛| 𝑛 > 1 ou lim 𝑛→∞ √|𝑎𝑛| 𝑛 = ∞, então ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 diverge absolutamente. Obs.: quando lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = 1 nada se pode concluir.
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