Raciocínio Lógico - PF

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RACIOCÍNIO LÓGICO
Estruturas lógicas. ....................................................................................................................................................................................................01
Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. ..................................................................................... 01
Lógica sentencial (ou proposicional). ............................................................................................................................................................. 02
Proposições simples e compostas. .................................................................................................................................................................. 02
Tabelas-verdade. .....................................................................................................................................................................................................02
Equivalências. ...........................................................................................................................................................................................................06
Leis de Morgan. .......................................................................................................................................................................................................11
Diagramas lógicos. .................................................................................................................................................................................................13
Lógica de primeira ordem. ..................................................................................................................................................................................13
Princípios de contagem e probabilidade. ..................................................................................................................................................... 16
Operações com conjuntos. .................................................................................................................................................................................18
Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. .......................................................................... 21
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RACIOCÍNIO LÓGICO
ESTRUTURAS LÓGICAS. 
Esse conteúdo será tratado no tópico 3
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, 
INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES. 
Argumentos 
Um argumento é um conjunto fi nito de premissas (pro-
posições ), sendo uma delas a consequência das demais. 
Tal premissa (proposição), que é o resultado dedutivo ou 
consequência lógica das demais, é chamada conclusão. Um 
argumento é uma fórmula: P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn → Q
OBSERVAÇÃO: A fórmula argumentativa P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ 
Pn → Q, também poderá ser representada pela seguinte forma:
Argumentos válidos 
Um argumento é válido quando a conclusão é verda-
deira (V), sempre que as premissas forem todas verdadeiras 
(V). Dizemos, também, que um argumento é válido quando 
a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades 
de suas premissas. 
Argumentos inválidos 
Um argumento é dito inválido (ou falácia, ou ilegítimo 
ou mal construído), quando as verdades das premissas são 
insufi cientes para sustentar a verdade da conclusão. Caso a 
conclusão seja falsa, decorrente das insufi ciências geradas 
pelas verdades de suas premissas, tem-se como conclusão 
uma contradição (F).
Métodos para testar a validade dos argumentos 
(IFBA – Administrador – FUNRIO/2016) Ou João é cul-
pado ou Antônio é culpado. Se Antônio é inocente então 
Carlos é inocente. João é culpado se e somente se Pedro é 
inocente. Ora, Pedro é inocente. Logo,
(A) Pedro e Antônio são inocentes e Carlos e João são 
culpados. 
(B) Pedro e Carlos são inocentes e Antônio e João são 
culpados. 
(C) Pedro e João são inocentes e Antônio e Carlos são 
culpados.
(D) Antônio e Carlos são inocentes e Pedro e João são 
culpados.
(E) Antônio, Carlos e Pedro são inocentes e João é cul-
pado.
Resposta: E.
Vamos começar de baixo pra cima.
Ou João é culpado ou Antônio é culpado.
Se Antônio é inocente então Carlos é inocente
João é culpado se e somente se Pedro é inocente
Ora, Pedro é inocente
 (V)
Sabendo que Pedro é inocente, 
João é culpado se e somente se Pedro é inocente
João é culpado, pois a bicondicional só é verdadeira se 
ambas forem verdadeiras ou ambas falsas.
João é culpado se e somente se Pedro é inocente
(V) (V)
Ora, Pedro é inocente
 (V)
Sabendo que João é culpado, vamos analisar a primeira 
premissa
Ou João é culpado ou Antônio é culpado.
Então, Antônio é inocente, pois a disjunção exclusiva só 
é verdadeira se apenas uma das proposições for.
Se Antônio é inocente então Carlos é inocente
Carlos é inocente, pois sendo a primeira verdadeira, a 
condicional só será verdadeira se a segunda proposição 
também for.
Então, temos:
Pedro é inocente, João é culpado, António é inocente e 
Carlos é inocente.
EXERCÍCIO COMENTADO
 (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Con-
sidere que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
• Quando Cláudio fi ca em casa, Maria vai ao cinema.
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
• Quando Fernando está estudando, não chove.
• Durante a noite, faz frio.
Tendo como referência as proposições apresentadas, 
julgue o item subsecutivo.
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estu-
dando.
certo errado
Resposta: Errado
• Durante a noite, faz frio.
 V
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
 F F
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RACIOCÍNIO LÓGICO
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.
 V V
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
 F F
• Quando Fernando está estudando, não chove.
 V/F V
Portanto, Se Maria foi ao cinema, então Fernando es-
tava estudando.
Não tem como ser julgado.
LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL). 
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS. 
TABELAS-VERDADE. 
Definição: Todo o conjunto de palavras ou símbolos 
que exprimem um pensamento de sentido completo.
Nossa professora, bela definição!
Não entendi nada!
Vamos pensar que para ser proposição a frase tem que 
fazer sentido, mas não só sentido no nosso dia a dia, mas 
também no sentido lógico.
Para uma melhor definição dentro da lógica, para ser 
proposição, temos que conseguir julgar se a frase é verda-
deira ou falsa.
Exemplos:
(A) A Terra é azul.
Conseguimos falar se é verdadeiro ou falso? Então é 
uma proposição.
(B) >2
Como ≈1,41, então a proposição tem valor lógico 
falso.
Todas elas exprimem um fato.
Agora, vamos pensar em uma outra frase:
O dobro de 1 é 2?
 Sim, correto?
Correto. Mas é uma proposição?
Não! Porque sentenças interrogativas, não podemos 
declarar se é falso ou verdadeiro.
Bruno, vá estudar.
É uma declaração imperativa, e da mesma forma, não 
conseguimos definir se é verdadeiro ou falso, portanto, não 
é proposição.
Passei!
Ahh isso é muito bom, mas infelizmente, não podemos 
de qualquer forma definir se é verdadeiro ou falso, porque 
é uma sentença exclamativa.
Vamos ver alguns princípios da lógica:
I. Princípio da não Contradição: uma proposição 
não pode ser verdadeira “e” falsa ao mesmo 
tempo.
II. Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição 
“ou” é verdadeira “ou” é falsa, isto é, verifica-se 
sempre um desses casos e nunca um terceiro caso.
Valor Lógico das Proposições
Definição: Chama-se valor lógico de uma proposição a 
verdade, se a proposição é verdadeira (V), e a falsidade, se 
a proposição é falsa (F).
Exemplo
p: Thiago é nutricionista.
V(p)=V essa é a simbologia para indicar que o valor 
lógico de p é verdadeira, ou 
V(p)=F
Basicamente, ao invés de falarmos, é verdadeiro ou fal-
so, devemos falar tem o valor lógico verdadeiro, tem valor 
lógico falso.
Classificação
Proposição simples: não contém nenhuma outra pro-
posição como parteintegrante de si mesma. São geral-
mente designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r,s...
E depois da letra colocamos “:”
Exemplo:
p: Marcelo é engenheiro
q: Ricardo é estudante
Proposição composta: combinação de duas ou mais 
proposições. Geralmente designadas pelas letras maiúscu-
las P, Q, R, S,...
Exemplo:
P: Marcelo é engenheiro e Ricardo é estudante.
Q: Marcelo é engenheiro ou Ricardo é estudante.
Se quisermos indicar quais proposições simples fazem 
parte da proposição composta:
P(p,q)
Se pensarmos em gramática, teremos uma proposição 
composta quando tiver mais de um verbo e proposição 
simples, quando tiver apenas 1. Mas, lembrando que para 
ser proposição, temos que conseguir definir o valor lógico.
Conectivos
Agora que vamos entrar no assunto mais interessante 
e o que liga as proposições.
Antes, estávamos vendo mais a teoria, a partir dos co-
nectivos vem a parte prática.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Definição
Palavras que se usam para formar novas proposições, a partir de outras. 
Vamos pensar assim: conectivos? Conectam alguma coisa?
Sim, vão conectar as proposições, mas cada conetivo terá um nome, vamos ver?
-Negação
Exemplo
p: Lívia é estudante.
~p: Lívia não é estudante.
q: Pedro é loiro.
¬q: É falso que Pedro é loiro.
r: Érica lê muitos livros.
~r: Não é verdade que Érica lê muitos livros.
s: Cecilia é dentista.
¬s: É mentira que Cecilia é dentista.
-Conjunção
Nossa, são muitas formas de se escrever com a conjunção.
Não precisa decorar todos, alguns são mais usuais: “e”, “mas”, “porém”
Exemplos
p: Vinícius é professor.
q: Camila é médica.
p∧q: Vinícius é professor e Camila é médica.
p∧q: Vinícius é professor, mas Camila é médica.
p∧q: Vinícius é professor, porém Camila é médica.
- Disjunção
p: Vitor gosta de estudar.
q: Vitor gosta de trabalhar
p∨q: Vitor gosta de estudar ou Vitor gosta de trabalhar.
- Disjunção Exclusiva
Extensa: Ou...ou...
Símbolo: ∨
p: Vitor gosta de estudar.
q: Vitor gosta de trabalhar
p∨q Ou Vitor gosta de estudar ou Vitor gosta de trabalhar.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
-Condicional
Extenso: Se...,então..., É necessário que, Condição ne-
cessária
Símbolo: →
Exemplos
p→q: Se chove, então faz frio.
p→q: É suficiente que chova para que faça frio.
p→q: Chover é condição suficiente para fazer frio.
p→q: É necessário que faça frio para que chova.
p→q: Fazer frio é condição necessária para chover.
-Bicondicional
Extenso: se, e somente se, ...
Símbolo:↔
p: Lucas vai ao cinema
q: Danilo vai ao cinema.
p↔q: Lucas vai ao cinema se, e somente se, Danilo vai 
ao cinema.
Referências
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica mate-
mática – São Paulo: Nobel – 2002.
Tabela-verdade
Com a tabela-verdade, conseguimos definir o valor 
lógico de proposições compostas facilmente, analisando 
cada coluna.
Se tivermos uma proposição p, ela pode ter V(p)=V 
ou V(p)=F
p
V
F
Quando temos duas proposições, não basta colocar só 
VF, será mais que duas linhas.
p q
V V
V F
F V
F F
Observe, a primeira proposição ficou VVFF
E a segunda intercalou VFVF
Vamos raciocinar, com uma proposição temos 2 possi-
bilidades, com 2 proposições temos 4, tem que haver um 
padrão para se tornar mais fácil!
As possibilidades serão 2n, 
Onde:
n=número de proposições
p q r
V V V
V F V
V V F
V F F
F V V
F F V
F V F
F F F
A primeira proposição, será metade verdadeira e me-
tade falsa.
A segunda, vamos sempre intercalar VFVFVF
E a terceira VVFFVVFF
Agora, vamos ver a tabela verdade de cada um dos 
operadores lógicos?
-Negação
p ~p
V F
F V
Se estamos negando uma coisa, ela terá valor lógico 
oposto, faz sentido, não?
- Conjunção
Eu comprei bala e chocolate, só vou me contentar se eu 
tiver as duas coisas, certo?
Se eu tiver só bala não ficarei feliz, e nem se tiver só 
chocolate.
E muito menos se eu não tiver nenhum dos dois.
p q p ∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
-Disjunção
Vamos pensar na mesma frase anterior, mas com o co-
nectivo “ou”.
Eu comprei bala ou chocolate.
Eu comprei bala e também comprei a chocolate, está 
certo pois poderia ser um dos dois ou os dois.
Se eu comprei só bala, ainda estou certa, da mesma 
forma se eu comprei apenas chocolate.
Agora se eu não comprar nenhum dos dois, não dará certo.
p q p ∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
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RACIOCÍNIO LÓGICO
-Disjunção Exclusiva
Na disjunção exclusiva é diferente, pois OU comprei 
chocolate OU comprei bala.
Ou seja, um ou outro, não posso ter os dois ao mesmo 
tempo.
p q p ∨q
V V F
V F V
F V V
F F F
-Condicional
Se chove, então faz frio.
Se choveu, e fez frio
Estamos dentro da possibilidade.(V)
Choveu e não fez frio
Não está dentro do que disse. (F)
Não choveu e fez frio..
Ahh tudo bem, porque pode fazer frio se não chover, 
certo?(V)
Não choveu, e não fez frio
Ora, se não choveu, não precisa fazer frio. (V)
p q p →q
V V V
V F F
F V V
F F V
-Bicondicional
Ficarei em casa, se e somente se, chover.
Estou em casa e está chovendo.
A ideia era exatamente essa. (V)
Estou em casa, mas não está chovendo. 
Você não fez certo, era só pra fi car em casa se choves-
se. (F)
Eu sai e está chovendo. 
Aiaiai não era pra sair se está chovendo (F)
Não estou em casa e não está chovendo.
Sem chuva, você pode sair, ta?(V)
p q p ↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tentei deixar de uma forma mais simples, para entender 
a tabela verdade de cada conectivo, pois sei que será difícil 
para decorar, mas se você lembrar das frases, talvez fi que 
mais fácil. Bons estudos! Vamos as questões!
EXERCÍCIO COMENTADO
01. (EBSERH - área médica - CESPE/2018) A respeito 
de lógica proposicional, julgue o item que se segue.
Se P, Q e R forem proposições simples e se ~R indicar a 
negação da proposição R, então, independentemente dos 
valores lógicos V = verdadeiro ou F = falso de P, Q e R, a 
proposição P→Q∨(~R) será sempre V.
 Certo Errado
Resposta: Errado
Se P for verdadeiro, Q falso e R falso, a proposição é 
falsa.
02. (TRT 7ªREGIÃO – Conhecimentos Básicos – CES-
PE/2017) Texto CB1A5AAA – Proposição P
A empresa alegou ter pago suas obrigações previden-
ciárias, mas não apresentou os comprovantes de paga-
mento; o juiz julgou, pois, procedente a ação movida pelo 
ex-empregado. 
A quantidade mínima de linhas necessárias na tabela-
-verdade para representar todas as combinações possíveis 
para os valores lógicos das proposições simples que com-
põem a proposição P do texto CB1A5AAA é igual a
(A) 32.
(B) 4.
(C) 8.
(D) 16.
Resposta: C.
P: A empresa alegou ter pago suas obrigações previ-
denciárias
Q: apresentou os comprovantes de pagamento
R: o juiz julgou, pois, procedente a ação movida pelo 
ex-empregado
Número de linhas: 2³=8
03. (SERES/PE – Agente de Segurança Penitenciá-
ria – CESPE/2017) A partir das proposições simples P: 
“Sandra foi passear no centro comercial Bom Preço”, Q: 
“As lojas do centro comercial Bom Preço estavam realizan-
do liquidação” e R: “Sandra comprou roupas nas lojas do 
Bom Preço” é possível formar a proposição composta S: 
“Se Sandra foi passear no centro comercial Bom Preço e se 
as lojas desse centro estavam realizando liquidação, então 
Sandra comprou roupas nas lojas do Bom Preço ou Sandra 
foi passear no centro comercial Bom Preço”. Considerando 
todas as possibilidades de as proposições P, Q e R serem 
verdadeiras (V) ou falsas (F), é possível construir a tabe-
la-verdade da proposição S, que está iniciada na tabela 
mostrada a seguir.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Completando a tabela, se necessário, assinale a opção 
que mostra, na ordem em que aparecem, os valores lógicos 
na coluna correspondente à proposição S, de cima para baixo.
(A) V / V / F / F / F / F / F / F
(B) V / V / F / V / V / F / F / V
(C) V / V / F / V / F / F / F / V
(D) V / V / V / V / V / V / V / V
(E) V / V / V / F / V / V / V / F
Resposta: D.
A proposição S é composta por: (p∧q)→(r∨p)
P Q R p∧q r∨p S(p∧q)→(r∨p)
V V V V V V
V V F V V V
V F V F V V
V F F F V V
F V V F V V
F V F F F V
F F V F V V
F F F F F V
EQUIVALÊNCIAS. 
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS
Diz-se que uma proposição P(p,q,r..) é logicamente 
equivalente ouequivalente a uma proposição Q(p,r,s..) se as 
tabelas-verdade dessas duas proposições são IDÊNTICAS.
Para indicar que são equivalentes, usaremos a seguinte 
notação: 
P(p,q,r..) ⇔ Q(p,r,s..)
Essa parte de equivalência é um pouco mais chatinha, 
mas conforme estudamos, vou falando algumas dicas.
Regra da Dupla negação
~~p⇔p
p ~p ~~p
V F V
F V F
São iguais, então ~~p⇔p
Regra de Clavius
~p→p⇔p
p ~p ~p→p
V F V
F V F
Regra de Absorção
p→p∧q⇔p→q
p q p∧q p→p∧q p→q
V V V V V
V F F F F
F V F V V
F F F V V
Condicional
Gostaria da sua atenção aqui, pois as condicionais são 
as mais pedidas nos concursos
A condicional p→q e a disjunção ~p∨q, têm tabelas-
-verdades idênticas
p ~p q p∧q p→q ~p∨q
V F V V V V
V F F F F F
F V V F V V
F V F F V V
Exemplo
p: Coelho gosta de cenoura
q: Coelho é herbívoro.
p→q: Se coelho gosta de cenoura, então coelho é her-
bívoro.
~p∨q: Coelha não gosta de cenoura ou coelho é herbívoro
A condicional ~p→~q é equivalente a disjunção p∨~q
p q ~p ~q ~p→~q p∨~q
V V F F V V
V F F V V V
F V V F F F
F F V V V V
Equivalência fundamentais (Propriedades Funda-
mentais): a equivalência lógica entre as proposições goza 
das propriedades simétrica, reflexiva e transitiva.
1 – Simetria (equivalência por simetria)
a) p ∧ q ⇔ q ∧ p
p q p ∧ q q ∧ p
V V V V
V F F F
F V F F
F F F F
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RACIOCÍNIO LÓGICO
b) p ∨ q ⇔ q ∨ p
p q p ∨ q
q ∨ 
p
V V V V
V F V V
F V V V
F F F F
c) p ∨ q ⇔ q p
p q p ∨ q
q ∨ 
p
V V F F
V F V V
F V V V
F F F F
d) p ↔ q ⇔ q ↔ p
p q p ↔ q
q ↔ 
p
V V V V
V F F F
F V F F
F F V V
Equivalências notáveis:
1 - Distribuição (equivalência pela distributiva)
a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F V F F F F
F F V V F F F F
F F F F F F F F
b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p q r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) p ∨ q p ∨ r (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V F V V V V
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F F F V F F
F F V F F F V F
F F F F F F F F
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RACIOCÍNIO LÓGICO
2 - Associação (equivalência pela associativa)
a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)
p q r q ∧ r p ∧ (q ∧ r) p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)
V V V V V V V V
V V F F F V F F
V F V F F F V F
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F F F F F F
F F V F F F F F
F F F F F F F F
b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r)
p q r q ∨ r p ∨ (q ∨ r) p ∨ q p ∨ r (p ∨ q) ∨ (p ∨ r)
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V V V V V V
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F V V V F V
F F V V V F V V
F F F F F F F F
3 – Idempotência
a) p ⇔ (p ∧ p)
Para ficar mais fácil o entendimento, vamos fazer duas colunas com p
 
p p p∧p
V V V
F F F
b) p ⇔ (p ∨ p)
p p p∨p
V V V
F F F
4 - Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira, apenas invertendo-se e 
negando-se as proposições simples que as compõem.
Da mesma forma que vimos na condicional mais acima, temos outros modos de definir a equivalência da condicional 
que são de igual importância
1º caso – (p → q) ⇔ (~q → ~p) 
p q ~p ~q p → q ~q → ~p
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
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RACIOCÍNIO LÓGICO
2º caso: (~p → q) ⇔ (~q → p)
p q ~p ~p → q ~q ~q → p
V V F V F V
V F F V V V
F V V V F V
F F V F V F
3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p)
p q ~q p → ~q ~p q → ~p
V V F F F F
V F V V F V
F V F V V V
F F V V V V
5 - Pela bicondicional
a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p), por definição
p q p ↔ q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p)
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V
b) (p ↔ q) ⇔ (~q → ~p) ∧ (~p → ~q)
p q p ↔ q ~q ~p ~q → ~p ~p → ~q (~q → ~p) ∧ (~p → ~q)
V V V F F V V V
V F F V F F V F
F V F F V V F F
F F V V V V V V
c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
p q p ↔ q p ∧ q ~p ~q ~p ∧ ~q (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
V V V V F F F V
V F F F F V F F
F V F F V F F F
F F V F V V V V
6 - Pela exportação-importação
[(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)]
p q r p ∧ q (p ∧ q) → r q → r p → (q → r)
V V V V V V V
V V F V F F F
V F V F V V V
V F F F V V V
F V V F V V V
F V F F V F V
F F V F V V V
F F F F V V V
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Proposições Associadas a uma Condicional (se, então)
Chama-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionadas que contêm p e q:
– Proposições recíprocas: p → q: q → p
– Proposição contrária: p → q: ~p → ~q
– Proposição contrapositiva: p → q: ~q → ~p
Observe a tabela verdade dessas quatro proposições:
p q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q → ~p
V V F F V V V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V
Observamos ainda que a condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua contrária ~p → ~q NÃO SÃO EQUIVA-
LENTES.
EXERCÍCIO COMENTADO
01. (TRF 1ª REGIÃO – Técnico Judiciário – CESPE/2017) A partir da proposição P: “Quem pode mais, chora menos.”, 
que corresponde a um ditado popular, julgue o próximo item.
Do ponto de vista da lógica sentencial, a proposição P é equivalente a “Se pode mais, o indivíduo chora menos”.
 Certo Errado
Resposta: Certo.
Uma dica é que normalmente quando tem vírgula é condicional, não é regra, mas acontece quando você não acha o 
conectivo.
02. (PC/PE- Perito Papiloscopista - CESPE/2016) Assinale a opção que é logicamente equivalente à proposição “Ele 
é suspeito também de ter cometido outros dois esquartejamentos, já que foram encontrados vídeos em que ele suposta-
mente aparece executando os crimes”, presente no texto CG1A06AAA.
 A. Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois esquartejamentos, ele é sus-
peito também de ter cometido esses crimes.
 B. Ele não é suspeito de outros dois esquartejamentos, já que não foram encontrados vídeos em que ele supostamente 
aparece executando os crimes.
C. Se não foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois esquartejamentos, ele não 
é suspeito desses crimes.
D. Como ele é suspeito de ter cometido também dois esquartejamentos, foram encontrados vídeos em que ele supos-
tamente aparece executando os crimes.
E. Foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois esquartejamentos, pois ele é tam-
bém suspeito de ter cometido esses crimes.
 
Resposta: A.
A expressão já que=pois
Que se for escrita com a condicional, devemos mudar as proposições de lugar.
Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois esquartejamentos, ele é suspeito 
também de ter cometido esses crimes.
Referências
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002.
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 
2013.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
LEIS DE MORGAN. 
Negação de uma proposição composta 
Definição: Quando se nega uma proposição composta primitiva, gera-se outra proposição também composta e equi-
valente à negação de sua primitiva.
Ou seja, muitas vezes para os exercícios teremos que saber qual a equivalência da negação para compor uma frase, por 
exemplo.
Negação de uma conjunção (Lei de Morgan) 
Para negar uma conjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo conjunção pelo conectivo disjunção.
~(p ∧ q) ⇔ (~p ∨ ~q)
p q ~p ~q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p ∨ ~q
V V F F V F F
V F F V F V V
F V V F F V V
F F V V F V V
Negação de uma disjunção (Lei de Morgan) 
Para negar uma disjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo-disjunção pelo conectivo-conjunção.
~(p ∨ q) ⇔ (~p ∧ ~q)
p q ~p ~q p ∨ q ~(p ∨ q) ~p ∨ ~q
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V F V V
Resumindo as negações, quando é conjunção nega as duas e troca por “ou”
Quando for disjunção, nega tudo e troca por “e”.
Negação de uma disjunção exclusiva 
~(p ∨ q) ⇔ (p ↔ q)
p q p∨q ~( p∨q) p ↔ q
V V F V V
V F V F F
F V V F F
F F F V V
Negação de uma condicional 
Famoso MANE
Mantém a primeira e nega a segunda.
~(p → q) ⇔ (p ∧ ~q)
p q p → q ~q ~(p → q) p ∨ ~q
V V V F F F
V F F V V V
F V V F F V
F F V V F F
12
RACIOCÍNIO LÓGICO
Negação de uma bicondicional 
~(p ↔ q) = ~[(p → q) ∧ (q → p)] ⇔ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)]
P Q p ↔q p → q q → p p → q) ∧ (q → p)] ~[(p → q) ∧ (q → p)] p ∧ ~q q ∧ ~p [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)]
V V V V V V F F F F
V F F F V F V V F V
F V F V F F V F V V
F F V V V V F F F F
Dupla negação (Teoria da Involução) 
a) De uma proposição simples: p ⇔ ~ (~p)
P ~P ~ (~p)
V F V
F V F
b) De uma condicional: Defi nição: A dupla negação de uma condicional dá-se da seguinte forma: nega-se a 1ª parte da 
condicional, troca-se o conectivo-condicional pela disjunção e mantém-se a 2a parte.
Demonstração: Seja a proposição primitiva: p → q nega-se pela 1a vez: ~(p → q) ⇔ p ∧ ~q nega-se pela 2a vez: ~(p 
∧ ~q) ⇔ ~p ∨ q
Conclusão: Ao negarmos uma proposição primitiva duas vezes consecutivas, a proposição resultante será equivalente 
à sua proposição primitiva. Logo, p → q ⇔ ~p ∨ q 
EXERCÍCIO COMENTADO
01. (TRF 1ª REGIÃO – Técnico Judiciário – CESPE/2017) A partir da proposição P: “Quem pode mais, chora menos.”, 
que corresponde a um ditado popular, julgue o próximo item.
A negação da proposição P pode ser expressa por “Quem não pode mais, não chora menos”
 Certo Errado
Resposta: Errado.
Negação de uma condicional: mantém a primeira e nega a segunda
02. (PC/PE - Perito Criminal - CESPE/2016) Considere as seguintes proposições para responder a questão.
P1: Se há investigação ou o suspeito é fl agrado cometendo delito, então há punição de criminosos.
P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar.
P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as próprias mãos.
Assinale a opção que apresenta uma negação correta da proposição P1.
A. Se não há punição de criminosos, então não há investigação ou o suspeito não é fl agrado cometendo delito.
B. Há punição de criminosos, mas não há investigação nem o suspeito é fl agrado cometendo delito.
C. Há investigação ou o suspeito é fl agrado cometendo delito, mas não há punição de criminosos.
D. Se não há investigação ou o suspeito não é fl agrado cometendo delito, então não há punição de criminosos.
E. Se não há investigação e o suspeito não é fl agrado cometendo delito, então não há punição de criminosos.
Resposta: C.
Famoso MANE
Mantém a primeira e nega a segunda.
Há investigação ou o suspeito é fl agrado cometendo delito e não há punição de criminosos.
No caso, a questão ao invés de “e”utilizou mas
13
RACIOCÍNIO LÓGICO
DIAGRAMAS LÓGICOS. 
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM. 
FIQUE ATENTO!
Esses dois tópicos não foram encontradas 
questões recentes da CESPE.
Por isso, ao fi nal da teoria, teremos algumas 
questões de outros concursos comentadas.
Diagramas Lógicos
As questões de Diagramas lógicos envolvem as pro-
posições categóricas (todo, algum, nenhum), cuja solução 
requer que desenhemos fi guras, os chamados diagramas.
Quantifi cadores são elementos que, quando associa-
dos às sentenças abertas, permitem que as mesmas sejam 
avaliadas como verdadeiras ou falsas, ou seja, passam a ser 
qualifi cadas como sentenças fechadas.
O quantifi cador universal
O quantifi cador universal, usado para transformar sen-
tenças (proposições) abertas em proposições fechadas, é 
indicado pelo símbolo “∀”, que se lê: “qualquer que seja”, 
“para todo”, “para cada”. 
Exemplo:
(∀x)(x + 2 = 6)
Lê-se: “Qualquer que seja x, temos que x + 2 = 6” (falsa).
É falso, pois não podemos colocar qualquer x para a 
afi rmação ser verdadeira.
O quantifi cador existencial
O quantifi cador existencial é indicado pelo símbolo 
“∃” que se lê: “existe”, “existe pelo menos um” e “existe 
um”. 
Exemplos:
(∃x)(x + 5 = 9)
Lê-se: “Existe um número x, tal que x + 5 = 9” (verda-
deira).
Nesse caso, existe um número, ahh tudo bem...claro que 
existe algum número que essa afi rmação será verdadeira.
Ok??Sem maiores problemas, certo?
Representação de uma proposição quantifi cada
(∀x)(x ∈ N)(x + 3 > 15)
Quantifi cador: ∀
Condição de existência da variável: x ∈ N .
Predicado: x + 3 > 15.
(∃x)[(x + 1 = 4) ∧ (7 + x = 10)]
Quantifi cador: ∃
Condição de existência da variável: não há.
Predicado: “(x + 1 = 4) ∧ (7 + x = 10)”.
Negações de proposições quantifi cadas ou funcionais
Seja uma sentença (∀x)(A(x)).
Negação: (∃x)(~A(x))
Exemplo
(∀x)(2x-1=3)
Negação: (∃x)(2x-1≠3)
Seja uma sentença (∃x)(Q(x)).
Negação: (∀x)(~Q(x)).
(∃x)(2x-1=3)
Negação: (∀x)(2x-1≠3)
Defi nição das proposições
Todo A é B.
O conjunto A está contido no conjunto B, assim todo 
elemento de A também é elemento de B.
Podemos representar de duas maneiras:
Quando “todo A é B” é verdadeira, vamos ver como 
fi cam os valores lógicos das outras?
Pensemos nessa frase: Toda criança é linda.
Nenhum A é B é necessariamente falsa
Nenhuma criança é linda, mas eu não acabei de falar 
que TODA criança é linda? Por isso é falsa.
Algum A é B é necessariamente verdadeira
Alguma Criança é linda, sim, se todas são 1, 2, 3...são lindas
Algum A não é B necessariamente falsa, pois A está 
contido em B.
Alguma criança não é linda, bem como já vimos impos-
sível, pois todas são.
Nenhum A é B.
A e B não terão elementos em comum
14
RACIOCÍNIO LÓGICO
Quando “nenhum A é B” é verdadeira, vamos ver como 
ficam os valores lógicos das outras?
Frase: Nenhum cachorro é gato. (sim, eu sei. Frase ex-
trema, mas assim é bom para entendermos..hehe) 
Todo A é B é necessariamente falsa
Todo cachorro é gato, faz sentido? Nenhum, não é?
Algum A é B é necessariamente falsa
Algum cachorro é gato, ainda não faz sentido.
Algum A não é B necessariamente verdadeira.
Algum cachorro não é gato, ah sim espero que todos 
não sejam mas, se já está dizendo algum vou concordar.
Algum A é B.
Quer dizer que há pelo menos 1 elemento de A em 
comum com o conjunto B
Temos 4 representações possíveis
a) os dois conjuntos possuem uma parte dos elemen-
tos em comum
b) Todos os elementos de A estão em B.
c) Todos os elementos de B estão em A
d) O conjunto A é igual ao conjunto B.
Quando “algum A é B” é verdadeira, vamos ver como 
ficam os valores lógicos das outras?
Frase: Algum copo é de vidro.
Nenhum A é B é necessariamente falsa
Nenhum copo é de vidro, com frase fica mais fácil né? 
Porque assim, conseguimos ver que é falsa, pois acabei de 
falar que algum copo é de vidro, ou seja, tenho pelo menos 
1 copo de vidro.
Todo A é B , não conseguimos determinar, podendo ser 
verdadeira ou falsa (podemos analisar também os diagra-
mas mostrados nas figuras a e c)
Todo copo é de vidro. 
Pode ser que sim, ou não. 
Algum A não é B não conseguimos determinar, poden-
do ser verdadeira ou falsa(contradiz com as figuras b e d)
Algum copo não é de vidro, como não sabemos se to-
dos os copos são de vidros, pode ser verdadeira.
Algum A não é B.
 O conjunto A tem pelo menos um elemento que não 
pertence ao conjunto B.
Aqui teremos 3 modos de representar
15
RACIOCÍNIO LÓGICO
a) Os dois conjuntos possuem uma parte dos elemen-
tos em comum
b) Todos os elementos de B estão em A.
c) Não há elementos em comum entre os dois conjuntos
Quando “algum A não é B” é verdadeira, vamos ver 
como fi cam os valores lógicos das outras?
Vamos fazer a frase contrária do exemplo anterior
Frase: Algum copo não é de vidro.
Nenhum A é B é indeterminada( contradição com as 
fi guras a e b)
Nenhum copo é de vidro, algum não é, mas não sei se 
todos não são de vidro.
Todo A é B , é necessariamente falsa
Todo copo é de vidro, mas eu disse que algum copo 
não era.
Algum A é B é indeterminada
Algum copo é de vidro, não consigo determinar se tem 
algum de vidro ou não.
EXERCÍCIO COMENTADO
01. (PC/RS - Escrivão - FUNDATEC/2018) Supondo a 
verdade da sentença aberta: Alguns investigados são ad-
vogados mas nem todos os investigados têm domicílio co-
nhecido. Podemos deduzir a verdade da alternativa:
 A. Todos investigados são advogados e têm domicílio 
conhecido.
 B. Todos investigados são advogados e não têm domi-
cílio conhecido.
 C. Alguns investigados são advogados e têm domicílio 
conhecido.
 D. Alguns investigados são advogados e alguns inves-
tigados têm domicílio conhecido.
 E. Alguns investigados são advogados ealguns inves-
tigados não têm domicílio conhecido.
Resposta: E,
Nem todos os investigados têm domicilio=Existem in-
vestigados que não têm domicilio.
02. (UFES - Assistente em Administração – 
UFES/2017) Em um determinado grupo de pessoas,
• todas as pessoas que praticam futebol também pra-
ticam natação,
• algumas pessoas que praticam tênis também prati-
cam futebol,
• algumas pessoas que praticam tênis não praticam 
natação.
É CORRETO afi rmar que no grupo 
(A) todas as pessoas que praticam natação também 
praticam tênis. 
(B) todas as pessoas que praticam futebol também pra-
ticam tênis.
(C) algumas pessoas que praticam natação não prati-
cam futebol. 
(D) algumas pessoas que praticam natação não prati-
cam tênis. 
(E) algumas pessoas que praticam tênis não praticam 
futebol. 
Resposta: E.
16
RACIOCÍNIO LÓGICO
03. (SEPOG/RO - Técnico em Tecnologia da Informa-
ção e Comunicação - FGV/2017) Considere a afirmação:
“Toda pessoa que faz exercícios não tem pressão alta”.
De acordo com essa afirmação é correto concluir que 
A. se uma pessoa tem pressão alta então não faz exer-
cícios. 
B. se uma pessoa não faz exercícios então tem pressão 
alta. 
C. se uma pessoa não tem pressão alta então faz exer-
cícios. 
D. existem pessoas que fazem exercícios e que têm 
pressão alta. 
E. não existe pessoa que não tenha pressão alta e não 
faça exercícios.
Resposta: A.
Se toda pessoa que faz exercício não tem pressão alta, 
ora, se a pessoa tem pressão alta, então não faz exercício.
Referências
Carvalho, S. Raciocínio Lógico Simplificado. Série Pro-
vas e Concursos, 2010.
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E 
PROBABILIDADE. 
Análise Combinatória
A Análise Combinatória é a área da Matemática que 
trata dos problemas de contagem.
Princípio Fundamental da Contagem
Estabelece o número de maneiras distintas de ocorrên-
cia de um evento composto de duas ou mais etapas.
Se uma decisão E1 pode ser tomada de n1 modos e, a 
decisão E2 pode ser tomada de n2 modos, então o número 
de maneiras de se tomarem as decisões E1 e E2 é n1.n2.
Exemplo
O número de maneiras diferentes de se vestir é:2(cal-
ças). 3(blusas)=6 maneiras
Probabilidade
Experimento Aleatório
Qualquer experiência ou ensaio cujo resultado é im-
previsível, por depender exclusivamente do acaso, por 
exemplo, o lançamento de um dado.
Espaço Amostral
Num experimento aleatório, o conjunto de todos os 
resultados possíveis é chamado espaço amostral, que se 
indica por E.
No lançamento de um dado, observando a face volta-
da para cima, tem-se:
E={1,2,3,4,5,6}
No lançamento de uma moeda, observando a face vol-
tada para cima:
E={Ca,Co}
Evento
É qualquer subconjunto de um espaço amostral.
No lançamento de um dado, vimos que
E={1,2,3,4,5,6} 
Esperando ocorrer o número 5, tem-se o evento 
{5}:Ocorrer um número par, tem-se {2,4,6}.
Exemplo
Considere o seguinte experimento: registrar as faces 
voltadas para cima em três lançamentos de uma moeda.
a) Quantos elementos tem o espaço amostral?
b) Descreva o espaço amostral.
Solução
a)O espaço amostral tem 8 elementos, pois cada lança-
mento, há duas possibilidades.
2x2x2=8
b) E={(C,C,C), (C,C,R),(C,R,C),(R,C,C),(R,R,C),(R,C,R),(-
C,R,R),(R,R,R)}
Probabilidade
Considere um experimento aleatório de espaço amos-
tral E com n(E) amostras equiprováveis. Seja A um evento 
com n(A) amostras.
Eventos complementares
Seja E um espaço amostral finito e não vazio, e seja A 
um evento de E. Chama-se complementar de A, e indica-se 
por , o evento formado por todos os elementos de E que 
não pertencem a A.
Note que 
17
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo
Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retirada uma 
bola vermelha é Calcular a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha.
Solução
são complementares.
Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face superior?
Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
Probabilidade Condicional
É a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B, definido por:
E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6
B={2,4,6} n(B)=3
A={2}
Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada por:
18
RACIOCÍNIO LÓGICO
EXERCÍCIO COMENTADO
(PM/MA - Soldado do Quadro de Praça Policial - 
CESPE/2017) Uma operação policial será realizada com 
uma equipe de seis agentes, que têm prenomes distintos, 
entre eles André, Bruno e Caio. Um agente será o coorde-
nador da operação e outro, o assistente deste; ambos fi ca-
rão na base móvel de operações nas proximidades do local 
de realização da operação. Nessa operação,um agente se 
infi ltrará, disfarçado, entre os suspeitos, em reunião por es-
tes marcada em uma casa noturna, e outros três agentes, 
também disfarçados, entrarão na casa noturna para prestar 
apoio ao infi ltrado, caso seja necessário.
A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens se-
guintes.
01. A quantidade de maneiras distintas de formar a 
equipe, de modo que André, Bruno e Caio sejam os agen-
tes que ocuparão, respectivamente, as vagas de coordena-
dor, assistente e infi ltrado, é superior a 5.
Resposta: Errado.
Se são 6 agentes e o coordenador, assistente e infi ltra-
do já estão defi nidos, então só há uma maneira de formar 
a equipe.
02. A quantidade de maneiras distintas de formar a 
equipe, de modo que André, Bruno e Caio sejam os agen-
tes que prestarão apoio ao infi ltrado, é inferior a 10.
Resposta: certo.
COmo os três que sabemos o nome serão o apoio, en-
tão os três restantes serão coordenador, assistente e infi l-
trado.
__ __ __
 3 2 1 =6
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. 
Representação
-Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 
2, 3, 4, 5}
-Simbolicamente: B={x∈ N|2<x<8}, enumerando esses 
elementos temos:
B={3,4,5,6,7}
- por meio de diagrama:
Quando um conjunto não possuir elementos chamares 
de conjunto vazio: S=∅ ou S={ }.
Igualdade
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem 
exatamente os mesmos elementos. Em símbolo:
Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisa-
mos saber apenas quais são os elementos.
Não importa ordem:
A={1,2,3} e B={2,1,3}
Não importa se há repetição:
A={1,2,2,3} e B={1,2,3}
Relação de Pertinência
Relacionam um elemento com conjunto. E a indicação 
que o elemento pertence (∈) ou não pertence (∉)
Exemplo: Dado o conjunto A={-3, 0, 1, 5}
0∈A
2∉A
Relações de Inclusão
Relacionam um conjunto com outro conjunto. 
Simbologia: ⊂(está contido), ⊄(não está contido), 
⊃(contém), (não contém)
A Relação de inclusão possui 3 propriedades:
Exemplo:
{1, 3,5}⊂{0, 1, 2, 3, 4, 5}
{0, 1, 2, 3, 4, 5}⊃{1, 3,5}
Aqui vale a famosa regrinha que o professor ensina, 
boca aberta para o maior conjunto
19
RACIOCÍNIO LÓGICO
Subconjunto
O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de 
A é também elemento de B.
Exemplo: {2,4} é subconjunto de {x∈N|x é par}
Operações 
União
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro 
formado pelos elementos que pertencem pelo menos um 
dos conjuntos a que chamamos conjunto união e represen-
tamos por: A∪B.
Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x B}
Exemplo:
A={1,2,3,4} e B={5,6}
A∪B={1,2,3,4,5,6} 
Interseção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado 
pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é 
representada por : A∩B.
Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x B}
Exemplo:
A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}
A∩B={d,e}
Diferença
Uma outra operação entre conjuntos é a diferença, que 
a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto 
definido por: 
 A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o 
complementar de B em relação a A. 
A este conjunto pertencem os elementos de A que não 
pertencem a B. 
A\B = {x : x∈A e x∉B}.
B-A = {x : x∈B e x∉A}.
Exemplo:
A = {0, 1, 2, 3,4, 5} e B = {5, 6, 7} 
Então os elementos de A – B serão os elementos do 
conjunto A menos os elementos que pertencerem ao con-
junto B.
Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Complementar
O complementar do conjunto A( ) é o conjunto for-
mado pelos elementos do conjunto universo que não per-
tencem a A.
Fórmulas da união
n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
n(A ∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)+n(A∩B∩C)-n(A∩B)-
-n(A∩C)-n(B C)
Essas fórmulas muitas vezes nos ajudam, pois ao invés 
de fazer todo o digrama, se colocarmos nessa fórmula, o 
resultado é mais rápido, o que na prova de concurso é in-
teressante devido ao tempo.
Mas, faremos exercícios dos dois modos para você en-
tender melhor e perceber que, dependendo do exercício é 
melhor fazer de uma forma ou outra.
20
RACIOCÍNIO LÓGICO
(MANAUSPREV – Analista Previdenciário – FCC/2015) 
Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 22 são barbados e 
16 são carecas. Homens altos e barbados que não são carecas 
são seis. Todos homens altos que são carecas, são também 
barbados. Sabe-se que existem 5 homens que são altos e não 
são barbados nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens 
que são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se que 
existem 5 homens que são carecas e não são altos e nem bar-
bados. Dentre todos esses homens, o número de barbados 
que não são altos, mas são carecas é igual a
 (A) 4.
 (B) 7.
 (C) 13.
 (D) 5.
 (E) 8.
Primeiro, quando temos 3 diagramas, sempre come-
çamos pela interseção dos 3, depois interseção a cada 2 e 
por fim, cada um
Se todo homem careca é barbado, não teremos apenas 
homens carecas e altos.
Homens altos e barbados são 6
Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e 
não são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens 
que são carecas e não são altos e nem barbados
Sabemos que 18 são altos
Quando somarmos 5+x+6=18
X=18-11=7
Carecas são 16
7+y+5=16
Y=16-12
Y=4
Então o número de barbados que não são altos, mas são 
carecas são 4.
21
RACIOCÍNIO LÓGICO
EXERCÍCIO COMENTADO
01. (ABIN - Agente de Inteligência - CESPE/2018) 
As três fi guras precedentes, cada uma com diversos 
símbolos, foram desenhadas na parede de um suposto 
esconderijo inimigo. O serviço de inteligência descobriu 
que cada um dos símbolos representa um algarismo do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Com referência a essas fi guras, julgue o item seguinte.
Se o signifi cado da fi gura I for “ano do século passa-
do”, existem pelo menos dois anos que podem estar repre-
sentados nessa fi gura. 
( ) Certo ( ) Errado
Resposta: Errado.
Para ser ano do século passado, tem que estar entre 
1901 e 2000, portanto para ter números iguas(no lugar das 
bolas), só pode ser 1909
02. (TRF 1 ª REGIÃO - Analista Judiciário - CES-
PE/2017) Em uma reunião de colegiado, após a aprovação 
de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 
5 contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afi rmação: 
“Basta um de nós mudar de ideia e a decisão será total-
mente modifi cada.” 
Considerando a situação apresentada e a proposição 
correspondente à afi rmação feita, julgue o próximo item. 
Se A for o conjunto dos presentes que votaram a fa-
vor e B for o conjunto dos presentes que votaram contra, 
então o conjunto diferença A\B terá exatamente um ele-
mento.
( ) Certo ( ) Errado
Resposta: Errado
A diferença entre conjuntos, não basta diminuir o nú-
mero de elementos, temos que analisar o que há em um 
conjunto e não há no outro, nesse caso como são pessoas, 
não será apenas 1.
03. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) 
Na zona rural de um município, 50% dos agricultores cul-
tivam soja; 30%, arroz; 40%, milho; e 10% não cultivam ne-
nhum desses grãos. Os agricultores que produzem milho 
não cultivam arroz e 15% deles cultivam milho e soja.
Considerando essa situação, julgue o item que se se-
gue.
Em exatamente 30% das propriedades, cultiva-se ape-
nas milho.
( ) Certo ( ) Errado
Resposta: errado 
O número de pacientes que apresentaram pelo menos 
dois desses sintomas é:
Pois pode ter 2 sintomas ou três.
6+14+26+32=78
Referências
YOUSSEF, Antonio Nicolau (et al.). Matemática: ensino 
médio, volume único. – São Paulo: Scipione, 2005.
CARVALHO, S. Raciocínio Lógico Simplifi cado, volume 
1, 2010
RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO 
PROBLEMAS ARITMÉTICOS, GEOMÉTRICOS E 
MATRICIAIS.
Números Naturais
Os números naturais são o modelo matemático neces-
sário para efetuar uma contagem.
Começando por zero e acrescentando sempre uma 
unidade, obtemos o conjunto infi nito dos números naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor 
a) O sucessor de 0 é 1.
b) O sucessor de 1000 é 1001.
c) O sucessor de 19 é 20.
Usamos o * para indicar o conjunto sem o zero.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um 
antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural fi nito diferente 
de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
Expressões Numéricas
Nas expressões numéricas aparecem adições, subtra-
ções, multiplicações e divisões. Todas as operações podem 
acontecer em uma única expressão. Para resolver as ex-
pressões numéricas utilizamos alguns procedimentos:
Se em uma expressão numérica aparecer as quatro 
operações, devemos resolver a multiplicação ou a divi-
são primeiramente, na ordem em que elas aparecerem e 
somente depois a adição e a subtração, também na or-
dem em que aparecerem e os parênteses são resolvidos 
primeiro.
22
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 1 
10 + 12 – 6 + 7 
22 – 6 + 7
16 + 7
23
Exemplo 2
40 – 9 x 4 + 23 
40 – 36 + 23
4 + 23
27
Exemplo 3
25-(50-30)+4x5
25-20+20=25
Números Inteiros
 Podemos dizer que este conjunto é composto pelos 
números naturais, o conjunto dos opostos dos números 
naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por:
Z-{...,-3,-2,-1,0,1,2,3...}
Subconjuntos do conjunto :
1)Z*={...-3,-2,-1, 1, 1, 2, 3...}
2) Z+={0,1,2,3,...}
3) Z-={...,-3,-2,-1}
Números Racionais
Chama-se de número racional a todo número que 
pode ser expresso na forma , onde a e b são inteiros quais-
quer, com b≠0
São exemplos de números racionais:
-12/51
-3
-(-3)
-2,333...
As dízimas periódicas podem ser representadas por 
fração, portanto são consideradas números racionais.
Como representar esses números?
Representação Decimal das Frações
Temos 2 possíveis casos para transformar frações em 
decimais
1º) Decimais exatos: quando dividirmos a fração, o nú-
mero decimal terá um número fi nito de algarismos após a 
vírgula.
2º) Terá um número infi nito de algarismos após a vír-
gula, mas lembrando que a dízima deve ser periódica para 
ser número racional
OBS: período da dízima são os números que se repe-
tem, se não repetir não é dízima periódica e assim números 
irracionais, que trataremos mais a frente.
Representação Fracionária dos Números Decimais
1ºcaso) Se for exato, conseguimos sempre transformar 
com o denominador seguido de zeros.
O número de zeros depende da casa decimal. Para uma 
casa, um zero (10) para duas casas, dois zeros(100) e assim 
por diante.
2ºcaso) Se dízima periódica é um número racional, en-
tão como podemos transformar em fração?
Exemplo 1 
Transforme a dízima 0, 333... .em fração
Sempre que precisar transformar, vamos chamar a dízi-
ma dada de x, ou seja
X=0,333...
Se o período da dízima é de um algarismo, multiplica-
mos por 10.
10x=3,333...
E então subtraímos:
10x-x=3,333...-0,333...
9x=3
X=3/9
X=1/3
Agora, vamos fazer um exemplo com 2 algarismos de 
período.
23
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 2
Seja a dízima 1,1212...
Façamos x = 1,1212...
100x = 112,1212... .
Subtraindo:
100x-x=112,1212...-1,1212...
99x=111
X=111/99
Números Irracionais
Identifi cação de números irracionais
- Todas as dízimas periódicas são números racionais.
- Todos os números inteiros são racionais.
- Todas as frações ordinárias são números racionais.
- Todas as dízimas não periódicas são números irra-
cionais.
- Todas as raízes inexatas são números irracionais.
- A soma deum número racional com um número irra-
cional é sempre um número irracional.
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um 
número racional.
-Os números irracionais não podem ser expressos na 
forma , com a e b inteiros e b≠0.
Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional.
- O quociente de dois números irracionais, pode ser 
um número racional.
Exemplo: : = = 2 e 2 é um número racional.
- O produto de dois números irracionais, pode ser um 
número racional.
Exemplo: . = = 7 é um número racional.
Exemplo: radicais( a raiz quadrada de um nú-
mero natural, se não inteira, é irracional.
Números Reais
Fonte: www.estudokids.com.br
Representação na reta
INTERVALOS LIMITADOS
Intervalo fechado – Números reais maiores do que a ou 
iguais a e menores do que b ou iguais a b.
Intervalo:[a,b]
Conjunto: {x∈R|a≤x≤b}
Intervalo aberto – números reais maiores que a e me-
nores que b.
Intervalo:]a,b[
Conjunto:{x∈R|a<x<b}
Intervalo fechado à esquerda – números reais maiores 
que a ou iguais a a e menores do que b.
Intervalo:{a,b[
Conjunto {x∈R|a≤x<b}
Intervalo fechado à direita – números reais maiores que 
a e menores ou iguais a b.
Intervalo:]a,b]
Conjunto:{x∈R|a<x≤b}
INTERVALOS IIMITADOS
Semirreta esquerda, fechada de origem b- números 
reais menores ou iguais a b.
Intervalo:]-∞,b]
Conjunto:{x∈R|x≤b}
24
RACIOCÍNIO LÓGICO
Semirreta esquerda, aberta de origem b – números 
reais menores que b.
Intervalo:]-∞,b[
Conjunto:{x∈R|x<b}
Semirreta direita, fechada de origem a – números reais 
maiores ou iguais a a.
Intervalo:[a,+ ∞[
Conjunto:{x∈R|x≥a}
Semirreta direita, aberta, de origem a – números reais 
maiores que a.
Intervalo:]a,+ ∞[
Conjunto:{x∈R|x>a}
Potenciação
Multiplicação de fatores iguais
2³=2.2.2=8
Casos
1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1.
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio 
número.
3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, 
resulta em um número positivo.
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ím-
par, resulta em um número negativo.
5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar 
o sinal para positivo e inverter o número que está na base. 
6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o 
valor do expoente, o resultado será igual a zero. 
Propriedades
1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de 
mesma base, repete-se a base e soma os expoentes.
Exemplos:
24 . 23 = 24+3= 27
(2.2.2.2) .( 2.2.2)= 2.2.2. 2.2.2.2= 27
2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mes-
ma base. Conserva-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
96 : 92 = 96-2 = 94
3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e mul-
tiplica-se os expoentes.
Exemplos:
(52)3 = 52.3 = 56
25
RACIOCÍNIO LÓGICO
4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores eleva-
dos a um expoente, podemos elevar cada um a esse mes-
mo expoente.
(4.3)²=4².3²
5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, 
podemos elevar separados.
Radiciação
Radiciação é a operação inversa a potenciação
Técnica de Cálculo
A determinação da raiz quadrada de um número torna-
-se mais fácil quando o algarismo se encontra fatorado em 
números primos. Veja: 
64=2.2.2.2.2.2=26
Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “ti-
ra-se” um e multiplica.
Observe: ( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se ,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++ então:
nnn baba .. =
O radical de índice inteiro e positivo de um produto 
indicado é igual ao produto dos radicais de mesmo índice 
dos fatores do radicando.
Raiz quadrada de frações ordinárias
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++
então:
n
n
n
b
a
b
a
=
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente 
indicado é igual ao quociente dos radicais de mesmo índi-
ce dos termos do radicando.
Raiz quadrada números decimais
Operações
Operações
Multiplicação
Exemplo
Divisão
Exemplo
Adição e subtração
Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20.
26
RACIOCÍNIO LÓGICO
 
Caso tenha:
Não dá para somar, as raízes devem ficar desse modo.
Racionalização de Denominadores
Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à eliminação 
dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador. 
1º Caso:Denominador composto por uma só parcela
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Devemos multiplicar de forma que obtenha uma diferença de quadrados no denominador:
Ângulos
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o 
nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.
27
RACIOCÍNIO LÓGICO
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do 
que 90º. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do 
que 90º. 
Ângulo Raso:
 
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendi-
culares. 
Triângulo
Elementos
Mediana
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que 
liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, é uma mediana do ABC.
Um triângulo tem três medianas.
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo in-
tercepta o lado oposto
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento da 
bissetriz de um ângulo do triângulo que liga um vértice a 
um ponto do lado oposto.
Na figura, é uma bissetriz interna do .
Um triângulo tem três bissetrizes internas.
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vér-
tice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpen-
dicular a esse lado.
Na figura, é uma altura do .
Um triângulo tem três alturas.
28
RACIOCÍNIO LÓGICO
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpen-
dicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de .
Mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do 
triângulo que é mediatriz de um dos lados desse triângulo.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado do .
Um triângulo tem três mediatrizes.
Classificação
Quanto aos lados
Triângulo escaleno:três lados desiguais.
Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais.
Triângulo equilátero: três lados iguais.
Quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo:tem os três ângulos agudos
Triângulo retângulo:tem um ângulo reto
Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso
Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos
Num triângulo o comprimento de qualquer lado é me-
nor que a soma dos outros dois. Em qualquer triângulo, ao 
maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa.
29
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes pro-
priedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos.
- é paralelo a 
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
- Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são con-
gruentes (iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpen-
diculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bissetrizes 
dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio).
Áreas
1- Trapézio: , onde B é a medida da base 
maior, b é a medida da base menor e h é medida da altura.
2- Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da 
base e h é a medida da altura.
3- Retângulo: A = b.h
4- Losango: , onde D é a medida da diagonal 
maior e d é a medida da diagonal menor.
5- Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado.
Polígono
Chama-se polígono a união de segmentos que são 
chamados lados do polígono, enquanto os pontos são cha-
mados vértices do polígono.
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extre-
midades são vértices não-consecutivos desse polígono.
Número de Diagonais
Ângulos Internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polí-
gono convexo de n lados é (n-2).180
Unindo um dos vértices aos outros n-3, conveniente-mente escolhidos, obteremos n-2 triângulos. A soma das 
medidas dos ângulos internos do polígono é igual à soma 
das medidas dos ângulos internos dos n-2 triângulos.
30
RACIOCÍNIO LÓGICO
Ângulos Externos
A soma dos ângulos externos=360°
Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, 
então a razão de dois segmentos quaisquer de uma trans-
versal é igual à razão dos segmentos correspondentes da 
outra.
Dada a figura anterior, O Teorema de Tales afirma que 
são válidas as seguintes proporções:
Exemplo
2
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os 
seus ângulos internos tiverem, respectivamente, as mesmas 
medidas, e os lados correspondentes forem proporcionais.
Casos de Semelhança
1º Caso:AA(ângulo-ângulo)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes de 
vértices correspondentes, então esses triângulos são con-
gruentes.
31
RACIOCÍNIO LÓGICO
2º Caso: LAL(lado-ângulo-lado)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes 
proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles con-
gruentes, então esses dois triângulos são semelhantes.
3º Caso: LLL(lado-lado-lado)
Se dois triângulos têm os três lado correspondentes 
proporcionais, então esses dois triângulos são semelhantes.
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Considerando o triângulo retângulo ABC.
Temos:
Fórmulas Trigonométricas
Relação Fundamental
Existe uma outra importante relação entre seno e cos-
seno de um ângulo. Considere o triângulo retângulo ABC.
Neste triângulo, temos que: c²=a²+b²
Dividindo os membros por c²
Como
32
RACIOCÍNIO LÓGICO
Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado 
triangulo retângulo.
O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h:altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipo-
tenusa
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chamamos relações métricas as relações existentes en-
tre os diversos segmentos desse triângulo. Assim:
1. O quadrado de um cateto é igual ao produto da 
hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
2. O produto dos catetos é igual ao produto da hipo-
tenusa pela altura relativa à hipotenusa.
3. O quadrado da altura é igual ao produto das pro-
jeções dos catetos sobre a hipotenusa.
4. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos (Teorema de Pitágoras).
Posições Relativas de Duas Retas
Duas retas no espaço podem pertencer a um mesmo 
plano. Nesse caso são chamadas retas coplanares. Podem 
também não estar no mesmo plano. Nesse caso, são deno-
minadas retas reversas.
Retas Coplanares
a) Concorrentes: r e s têm um único ponto comum
-Duas retas concorrentes podem ser:
1. Perpendiculares: r e s formam ângulo reto.
2. Oblíquas: r e s não são perpendiculares.
b) Paralelas: r e s não têm ponto comum ou r e s são 
coincidentes.
33
RACIOCÍNIO LÓGICO
Cilindros
Considere dois planos, α e β, paralelos, um círculo de 
centro O contido num deles, e uma reta s concorrente com 
os dois.
Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião 
de todos os segmentos paralelos a s, com extremidades no 
círculo e no outro plano.
Classificação
Reto: Um cilindro se diz reto ou de revolução quando 
as geratrizes são perpendiculares às bases. 
Quando a altura é igual a 2R(raio da base) o cilindro é 
equilátero.
Oblíquo: faces laterais oblíquas ao plano da base.
Área
Área da base: Sb=πr²
Volume
Cones
Na figura, temos um plano α, um círculo contido em α, 
um ponto V que não pertence ao plano.
A figura geométrica formada pela reunião de todos os 
segmentos de reta que tem uma extremidade no ponto V 
e a outra num ponto do círculo denomina-se cone circular.
Classificação
-Reto:eixo VO perpendicular à base;
Pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângu-
lo em torno de um de seus catetos. Por isso o cone reto é 
também chamado de cone de revolução.
Quando a geratriz de um cone reto é 2R, esse cone é 
denominado cone equilátero.
-Oblíquo: eixo não é perpendicular
Área
Área lateral:
Área da base:
Área total:
34
RACIOCÍNIO LÓGICO
Volume
Pirâmides
As pirâmides são também classifi cadas quanto ao nú-
mero de lados da base. 
Área e Volume 
Área lateral: 
Onde n= quantidade de lados
Prismas
Considere dois planos α e β paralelos, um polígono R 
contido em α e uma reta r concorrente aos dois.
Chamamos prisma o sólido determinado pela reunião 
de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no 
polígono R e no plano β.
Assim, um prisma é um poliedro com duas faces con-
gruentes e paralelas cujas outras faces são paralelogramos 
obtidos ligando-se os vértices correspondentes das duas 
faces paralelas.
Classifi cação
Reto: Quando as arestas laterais são perpendiculares 
às bases
Oblíquo: quando as faces laterais são oblíquas à base.
Classifi cação pelo polígono da base
-Triangular
35
RACIOCÍNIO LÓGICO
-Quadrangular
E assim por diante...
Paralelepípedos
Os prismas cujas bases são paralelogramos denomi-
nam-se paralelepípedos.
Cubo é todo paralelepípedo retângulo com seis faces 
quadradas.
Prisma Regular
Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regu-
lares, o prisma é dito regular.
As faces laterais são retângulos congruentes e as bases 
são congruentes (triângulo equilátero, hexágono regular,...)
Área
Área cubo: 
Área paralelepípedo:
A área de um prisma:
Onde: St=área total
Sb=área da base
Sl=área lateral, soma-se todas as áreas das faces late-
rais.
Volume
Paralelepípedo:V=a.b.c
Cubo:V=a³
Demais:
EXERCÍCIO COMENTADO
01. (SERES/PE – Agente de Segurança Penitenciária 
– CESPE/2017) A fi gura a seguir mostra o esquema utiliza-
do por um indivíduo na travessia de um rio — de margens 
paralelas e com forte correnteza —, saindo do ponto A, na 
margem inferior, e indo ao ponto B, na margem superior.
Ele nadava por 4 m na direção perpendicular às mar-
gens e, enquanto descansava, a correnteza o levava por 4 
m rio abaixo na direção paralela às margens. Fez esse es-
quema por três vezes e, na quarta vez que nadou perpendi-
cularmente às margens, ele atingiu a margem superior, no 
ponto B. Nessa situação, a distância do ponto A ao ponto 
B é igual a 
A 12 m. 
B 16 m. 
C 20 m. 
D 28 m. 
E 32 m.
36
RACIOCÍNIO LÓGICO
Resposta: C.
AB²=12²+16²
AB²=144+256
AB²=400
AB=20
(PM/MA – Soldado – CESPE/2017) Na preparação de 
uma ação policial, um agente fez algumas medições em 
uma casa noturna, mostradas na figura a seguir. O agente, 
em pé no ponto A, de frente para a casa noturna, estava a 
10 m de distância do ponto C, correspondente à porta de 
entrada da casa noturna. Do ponto B, posição dos olhos 
do agente, ele visualizava uma câmera de segurança no 
ponto D, no prédio da casa noturna, segundo um ângulo 
de visão de 30º com a horizontal. Perpendicularmente a 
AC, e a 24 m de A, ficava localizada uma base móvel para 
apoio à operação, no ponto E.
Com referência às informações contidas na situação 
hipotética e na figura anteriormente apresentadas, julgue 
os próximos itens. 
02. Considerando que AB seja igual a 1,70 m, que essa 
seja a altura dos olhos do agente e que 0,58 seja o valor 
aproximado para tg30°, então a câmera estava a uma altu-
ra inferior a 7 m. 
( ) Certo ( ) Errado
Resposta: Errado
X=5,8m
5,8+1,70=7,5m
03. No dia da operação, caso precise evadir-se do esta-
belecimento pela porta de entrada e chegar ao ponto cor-
respondente à base móvel, um agente que esteja no ponto 
C precisará se deslocar por, pelo menos, 26 m.
( ) Certo ( ) Errado
Resposta: Certo
No texto fala que a base fica perpendicular a AC.
CE²=AC²+AE²
CE²=10²+24²
CE²=100+576
CE²=676
CE=26
37
RACIOCÍNIO LÓGICO
HORA DE PRATICAR!
01. (ABIN – Agente de Inteligência – CESPE/2018) As seguintes proposições lógicas formam um conjunto de pre-
missas de um argumento:
• Se Pedro não é músico, então André é servidor da ABIN.
• Se André é servidor da ABIN, então Carlos não é um espião.
• Carlos é um espião.
A partir dessas premissas, julgue o itema seguir, acerca de lógica de argumentação.
Se a proposição lógica “Pedro é músico.” for a conclusão desse argumento, então, as premissas juntamente com essa 
conclusão constituem um argumento válido.
( ) Certo ( ) Errado
02. (TRT 7ª REGIÃO – Analista Judiciário – CESPE/2017) Texto CB1A5BBB – Argumento formado pelas premissas 
(ou proposições) P1 e P2 e pela conclusão C
P1: Se eu assino o relatório, sou responsável por todo o seu conteúdo, mesmo que tenha escrito apenas uma parte.
P2: Se sou responsável pelo relatório e surge um problema em seu conteúdo, sou demitido.
C: Logo, escrevo apenas uma parte do relatório, mas sou demitido.
O argumento apresentado no texto CB1A5BBB se tornaria válido do ponto de vista da lógica sentencial, se, além das 
premissas P1 e P2, a ele fosse acrescentada a proposição 
A. Não sou demitido ou não escrevo uma parte do relatório.
B. Sou responsável apenas pela parte que escrevi do relatório.
C. Eu escrevo apenas uma parte do relatório, assino o relatório e surge um problema em seu conteúdo.
D. Se não escrevo nenhuma parte do relatório, não sou demitido.
03. (TRF 1ª REGIÃO – Técnico Judiciário – CESPE/2017) Texto CB2A6BBB
A maior prova de honestidade que realmente posso dar neste momento é dizer que continuarei sendo o cidadão 
desonesto que sempre fui. 
Considerando o texto CB2A6BBB, julgue o item seguinte, concernente à argumentação e aos tipos de argumentos.
Verifi ca-se a ocorrência de falácia no argumento da frase.
( ) Certo ( ) Errado
04. (TRF 1ª REGIÃO – Técnico Judiciário – CESPE/2017) Texto CB2A6BBB
A maior prova de honestidade que realmente posso dar neste momento é dizer que continuarei sendo o cidadão 
desonesto que sempre fui. 
Considerando o texto CB2A6BBB, julgue o item seguinte, concernente à argumentação e aos tipos de argumentos.
Pode-se inferir da frase que a maior parte dos cidadãos é corrupta e que, portanto, a sociedade é corrupta em sua 
totalidade.
( ) Certo ( ) Errado
05. (SERES/PE – Agente de Segurança Penitenciária – CESPE/2017) De uma urna que continha 20 bolas idênticas, 
identifi cadas por números de 1 a 20, foi extraída aleatoriamente uma bola. Esse evento defi ne o espaço amostral Ω = {1, 2, 
3, ..., 20}. Considere os seguintes eventos: A = {a bola retirada da urna é identifi cada por um número múltiplo de 4}; B = {a 
bola retirada da urna é identifi cada por um número múltiplo de 5}. A partir das probabilidades P(A), P(B) e P(A∪B) — que 
são, respectivamente, as probabilidades de os eventos A, B e A∪B ocorrerem —, considere o argumento formado pelas 
premissas P1 e P2 e pela conclusão C, em que
38
RACIOCÍNIO LÓGICO
Com base nessas informações, assinale a opção cor-
reta. 
A A premissa P1 é uma proposição verdadeira, e a con-
clusão C é uma proposição falsa.
 B A premissa P2 e a conclusão C são proposições ver-
dadeiras. 
C A conclusão C é falsa, mas o argumento é válido. 
D A premissa P1 é falsa e o argumento não é válido. 
E A premissa P1 e a conclusão C são proposições ver-
dadeiras e o argumento é válido.
06. (PC/MA – Escrivão de Polícia – Nível Superior – 
CESPE/2018) A qualidade da educação dos jovens sobe ou 
a sensação de segurança da sociedade diminui. 
Proposição CG1A5AAA
A qualidade da educação dos jovens sobe ou a sensa-
ção de segurança da sociedade diminui.
A quantidade de linhas da tabela-verdade correspon-
dente à proposição CG1A5AAA é igual a
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 16.
E. 32.
07. (EBSERH – Cargos de nível Superior – CES-
PE/2018) Se P, Q e R forem proposições simples e se ~R 
indicar a negação da proposição R, então, independente-
mente dos valores lógicos V = verdadeiro ou F = falso de P, 
Q e R, a proposição P→Q∨(~R) será sempre V.
( ) Certo ( ) Errado
08. (ABIN – Oficial Técnico de Inteligência – CES-
PE/2018) Julgue o item a seguir, a respeito de lógica pro-
posicional.
A proposição “Os Poderes Executivo, Legislativo e Judi-
ciário devem estar em constante estado de alerta sobre as 
ações das agências de inteligência.” pode ser corretamente 
representada pela expressão lógica PΛQΛR, em que P, Q e R 
são proposições simples adequadamente escolhidas.
( ) Certo ( ) Errado
09. (ABIN – Oficial Técnico de Inteligência – CES-
PE/2018) Julgue o item a seguir, a respeito de lógica pro-
posicional.
A proposição “A vigilância dos cidadãos exercida pelo 
Estado é consequência da radicalização da sociedade civil 
em suas posições políticas.” pode ser corretamente repre-
sentada pela expressão lógica P→Q, em que P e Q são pro-
posições simples escolhidas adequadamente.
( ) Certo ( ) Errado
10. (TRF 1ª REGIÃO – cargos de nível superior – CES-
PE/2017) Em uma reunião de colegiado, após a aprovação 
de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 
contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Bas-
ta um de nós mudar de ideia e a decisão será totalmente 
modificada.” 
Considerando a situação apresentada e a proposição 
correspondente à afirmação feita, julgue o próximo item. 
A tabela-verdade da referida proposição, construída a 
partir dos valores lógicos das proposições simples que a 
compõem, tem mais de 8 linhas.
( ) Certo ( ) Errado
11. (PC/MA – Escrivão de Polícia – CESPE/2018) Pro-
posição CG1A5AAA
A qualidade da educação dos jovens sobe ou a sensação 
de segurança da sociedade diminui. 
Assinale a opção que apresenta uma proposição equiva-
lente à proposição CG1A5AAA.
A. Se a qualidade da educação dos jovens não sobe, en-
tão a sensação de segurança da sociedade diminui.
B.Se qualidade da educação dos jovens sobe, então a 
sensação de segurança da sociedade diminui.
C. Se a qualidade da educação dos jovens não sobe, en-
tão a sensação de segurança da sociedade não diminui.
D. Se a sensação de segurança da sociedade diminui, 
então a qualidade da educação dos jovens sobe.
E. Se a sensação de segurança da sociedade não dimi-
nui, então a qualidade da educação dos jovens não sobe.
12.. (TRF1ª região Analista Judiciário – CESPE/2017) 
Em uma reunião de colegiado, após a aprovação de uma 
matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 contra, 
um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Basta um de 
nós mudar de ideia e a decisão será totalmente modificada.” 
Considerando a situação apresentada e a proposição 
correspondente à afirmação feita, julgue o próximo item. 
A proposição é equivalente, sob o ponto de vista da ló-
gica sentencial, à proposição “Desde que um membro mude 
de ideia, a decisão será totalmente modificada”. 
( ) Certo ( ) Errado
13.. (TRT 7ª Região - Analista Judiciário – CES-
PE/2017) Texto CB1A5AAA – Proposição P
A empresa alegou ter pago suas obrigações previdenciá-
rias, mas não apresentou os comprovantes de pagamento; o juiz 
julgou, pois, procedente a ação movida pelo ex-empregado. 
Assinale a opção que apresenta uma proposição equiva-
lente, sob o ponto de vista da lógica sentencial, à proposição 
P do texto CB1A5AAA. 
A. A empresa alegou ter pago suas obrigações previ-
denciárias, mas não apresentou os comprovantes de pa-
gamento, ou o juiz julgou procedente a ação movida pelo 
ex-empregado.
B.Se o juiz julgou procedente a ação movida pelo ex-
-empregado, então a empresa alegou ter pago suas obriga-
ções previdenciárias, mas não apresentou os comprovantes 
de pagamento.
C. Se a empresa alegou ter pago suas obrigações previ-
denciárias, mas não apresentou os comprovantes de paga-
mento, então o juiz julgou procedente a ação movida pelo 
ex-empregado.
D. A empresa alegou ter pago suas obrigações previ-
denciárias, mas não apresentou os comprovantes de paga-
mento, mas o juiz julgou procedente a ação movida pelo 
ex-empregado.
39
RACIOCÍNIO LÓGICO
14. (CORPO DE BOMBEIROS MILITAR/AL – Solda-
do Combatente – CESPE/2018) A proposição Se deter-
minado candidato foi aprovado nas provas objetivas do 
concurso e no curso de formação de praças, ele se tornou 
soldado combatente do corpo de bombeiros local. é equi-
valente à seguinte proposição: Se determinado candidato 
não se tornou soldado combatente do corpo debombei-
ros local, então ele foi reprovado nas provas objetivas do 
concurso e no curso de formação de praças.
( ) Certo ( ) Errado
15. (CORPO DE BOMBEIROS MILITAR/AL – Oficial 
Combatente – CESPE/2018) A respeito de proposições 
lógicas, julgue os itens a seguir.Considere que P e Q sejam 
as seguintes proposições:
P: Se a humanidade não diminuir a produção de mate-
rial plástico ou não encontrar uma solução para o proble-
ma do lixo desse material, então o acúmulo de plástico no 
meio ambiente irá degradar a vida no planeta.
Q: A humanidade diminui a produção de material plás-
tico e encontra uma solução para o problema do lixo desse 
material ou o acúmulo de plástico no meio ambiente de-
gradará a vida no planeta.
Nesse caso, é correto afirmar que as proposições P e 
Q são equivalentes.
( ) Certo ( ) Errado
16. (EBSERH – Cargos de nível Superior – CES-
PE/2018) A respeito de lógica proposicional, julgue o item 
que se segue.
A negação da proposição “Se o fogo for desencadea-
do por curto-circuito no sistema elétrico, será recomen-
dável iniciar o combate às chamas com extintor à base de 
espuma.” é equivalente à proposição “O fogo foi desen-
cadeado por curto-circuito no sistema elétrico e não será 
recomendável iniciar o combate às chamas com extintor à 
base de espuma.”
( ) Certo ( ) Errado
17. (PC/MA – Escrivão de Polícia – CESPE/2018) 
Proposição CG1A5AAA
A qualidade da educação dos jovens sobe ou a sensa-
ção de segurança da sociedade diminui.
Assinale a opção que apresenta uma proposição que 
constitui uma negação da proposição CG1A5AAA.
A. A qualidade da educação dos jovens não sobe e a 
sensação de segurança da sociedade não diminui.
B. A qualidade da educação dos jovens desce ou a 
sensação de segurança da sociedade aumenta.
C. A qualidade da educação dos jovens não sobe ou a 
sensação de segurança da sociedade não diminui. 
D. A qualidade da educação dos jovens sobe e a sen-
sação de segurança da sociedade diminui.
E. A qualidade da educação dos jovens diminui ou a 
sensação de segurança da sociedade sobe.
18. (SERES/PE – Agente de Segurança Penitenciária 
– CESPE/2017) Assinale a opção que corresponde a uma 
negativa da seguinte proposição: “Se nas cidades medie-
vais não havia lugares próprios para o teatro e as apre-
sentações eram realizadas em igrejas e castelos, então a 
maior parte da população não era excluída dos espetáculos 
teatrais”.
 A. Nas cidades medievais havia lugares próprios para 
o teatro ou as apresentações eram realizadas em igrejas 
e castelos e a maior parte da população era excluída dos 
espetáculos teatrais.
B.Se a maior parte da população das cidades medievais 
era excluída dos espetáculos teatrais, então havia lugares 
próprios para o teatro e as apresentações eram realizadas 
em igrejas e castelos.
 C. Se nas cidades medievais havia lugares próprios 
para o teatro e as apresentações não eram realizadas em 
igrejas e castelos, então a maior parte da população era 
excluída dos espetáculos teatrais.
D. Se nas cidades medievais havia lugares próprios para 
o teatro ou as apresentações eram realizadas em igrejas e 
castelos, então a maior parte da população era excluída 
dos espetáculos teatrais.
E. Nas cidades medievais não havia lugares próprios 
para o teatro, as apresentações eram realizadas em igrejas 
e castelos e a maior parte da população era excluída dos 
espetáculos teatrais.
19. (TRF 1ª REGIÃO – Analista Judiciário – CES-
PE/2017) Em uma reunião de colegiado, após a aprovação 
de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 
contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Bas-
ta um de nós mudar de ideia e a decisão será totalmente 
modificada.” 
Considerando a situação apresentada e a proposição 
correspondente à afirmação feita, julgue o próximo item. 
A negação da proposição pode ser corretamente ex-
pressa por “Basta um de nós não mudar de ideia ou a deci-
são não será totalmente modificada”.
 Certo errado
20. (TRT 7ª REGIÃO – Analista Judiciário – CES-
PE/2017) Texto CB1A5AAA – Proposição P
A empresa alegou ter pago suas obrigações previden-
ciárias, mas não apresentou os comprovantes de paga-
mento; o juiz julgou, pois, procedente a ação movida pelo 
ex-empregado. 
A Proposição Q: A empresa alegou ter pago suas obri-
gações previdenciárias, mas não apresentou os compro-
vantes de pagamento.
A proposição Q, anteriormente apresentada, está pre-
sente na proposição P do texto CB1A5AAA.
A negação da proposição Q pode ser expressa por
A. A empresa não alegou ter pago suas obrigações 
previdenciárias ou apresentou os comprovantes de paga-
mento.
B. A empresa alegou ter pago suas obrigações previ-
denciárias ou não apresentou os comprovantes de paga-
mento.
40
RACIOCÍNIO LÓGICO
C. A empresa alegou ter pago suas obrigações previ-
denciárias e apresentou os comprovantes de pagamento.
D. A empresa não alegou ter pago suas obrigações 
previdenciárias nem apresentou os comprovantes de pa-
gamento.
21. (ABIN - Oficial Técnico de Inteligência – CES-
PE/2018) Como forma de melhorar a convivência, as famí-
lias Turing, Russell e Gödel disputaram, no parque da cida-
de, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. 
O quadro a seguir mostra os quantitativos de membros de 
cada família presentes no parque, distribuídos por gênero.
Família Masculino Feminino
Turing 5 7
Russel 6 5
Gödel 5 9
A partir dessa tabela, julgue o item subsequente.
Considere que, em eventual sorteio de brindes, um 
nome tenha sido retirado, ao acaso, do interior de uma 
urna que continha os nomes de todos os familiares pre-
sentes no evento. Nessa situação, sabendo-se que o sor-
teado não é uma mulher da família Gödel, a probabilidade 
de ser uma mulher da família Russel será superior a 20%.
( ) Certo ( ) Errado
(PM/MA – 1º Tenente PM-Cirurgião Dentista – CES-
PE/2017) Determinado laboratório de análises clínicas 
está sendo investigado por emitir laudos falsos de um exa-
me constituído por 7 indicadores, correspondentes à con-
centração de 4 compostos na corrente sanguínea, obtidos 
da seguinte forma: uma medição da concentração de cada 
um dos compostos A, B, C e D, e 3 medições, por 3 diferen-
tes técnicas, da concentração do composto E. Os laudos 
verdadeiros de 7 pacientes (chamados pacientes-fonte), 
com prenomes distintos, entre eles Amanda, Bárbara, Car-
los e Daniel, eram usados para compor laudos falsos para 
os demais pacientes. Para dificultar a ação da autoridade 
policial, na montagem de um laudo falso, o laboratório to-
mava o cuidado de, no conjunto de 7 medições que cons-
tituíam cada laudo falsificado, usar apenas uma medição 
de cada paciente-fonte, ou seja, de nunca usar 2 ou mais 
medições de um mesmo paciente-fonte. 
Com referência a essa situação hipotética, julgue os 
itens seguintes. 
22. Se fosse adotada a estratégia de falsificar laudos 
seguindo-se a ordem sucessiva de medições referentes 
aos compostos A, B, C e D e, em seguida, as medições 
referentes ao composto E, a quantidade de laudos falsos 
distintos que poderiam ser gerados pelo laboratório seria 
superior a 800. 
( ) Certo ( ) Errado
23 Com relação ao composto E, a quantidade de lau-
dos falsos distintos constituídos com dados dos exames 
de Amanda, Bárbara e Carlos que poderia ser produzida é 
superior a 50
( ) Certo ( ) Errado
24. Caso o laboratório escolhesse aleatoriamente, entre 
os dados dos 7 pacientes-fonte, aqueles que seriam usados 
nas medições referentes ao composto E, a probabilidade 
de serem usados os dados de Amanda, Bárbara e Carlos 
seria inferior a 3%.
( ) Certo ( ) Errado
25. (TRT 7ª REGIÃO – Analista Judiciário – CES-
PE/2017) Se, na presente prova, em que cada questão tem 
quatro opções de resposta, um candidato escolher ao aca-
so uma única resposta para cada uma das quatro primeiras 
questões, então a probabilidade de ele acertar exatamente 
duas questões será igual a
A. 1/2 .
B. 9/16 .
C. 27/128 .
D. 9/256 .
(EBSERH – Áreas Médicas – CESPE/2018) Uma pes-
quisa revelou característicasda população de uma peque-
na comunidade composta apenas por casais e seus filhos. 
Todos os casais dessa comunidade são elementos do con-
junto A∪B∪C, em que
A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 
anos de idade};
B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 
anos de idade};
C = {casais com pelo menos 4 filhos}.
Considerando que n(P) indique a quantidade de ele-
mentos de um conjunto P, suponha que n(A) = 18; n(B) = 
20; n(C) = 25; n(A∩B) = 13; n(A∩C) = 11; n(B∩C) = 12 e 
n(A∩B∩C) = 8. O diagrama a seguir mostra essas quantida-
des de elementos.
26. Com base nas informações e no diagrama prece-
dentes, julgue o item a seguir.
Pelo menos 30 casais dessa comunidade têm 2 ou mais 
filhos. 
( ) Certo ( ) Errado
41
RACIOCÍNIO LÓGICO
27. .Com base nas informações e no diagrama prece-
dentes, julgue o item a seguir.
Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, 
então a probabilidade de ele ter menos de 4 filhos será 
superior a 0,3.
( ) Certo ( ) Errado
28. Com base nas informações e no diagrama prece-
dentes, julgue o item a seguir.
A referida comunidade é formada por menos de 180 
pessoas.
Certo Errado
29. (EBSERH – Técnico Em Radiologia – CESPE/2018) 
Considere as seguintes proposições: P: O paciente receberá 
alta; Q: O paciente receberá medicação; R: O paciente re-
ceberá visitas.
Tendo como referência essas proposições, julgue o 
item a seguir, considerando que a notação ~S significa a 
negação da proposição S.
Se, em uma unidade hospitalar, houver os seguintes 
conjuntos de pacientes: A = {pacientes que receberão alta}; 
B = {pacientes que receberão medicação} e C = {pacientes 
que receberão visitas}; se, para os pacientes dessa unidade 
hospitalar, a proposição ~P→[Q∨R] for verdadeira; e se Ac 
foro conjunto complementar de A, então Ac⊂B∪C.
( ) Certo ( ) Errado
30. (TRF 1ª REGIÃO – Analista Judiciário – CES-
PE/2017) Em uma reunião de colegiado, após a aprovação 
de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 
contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Bas-
ta um de nós mudar de ideia e a decisão será totalmente 
modificada.” 
Considerando a situação apresentada e a proposição 
correspondente à afirmação feita, julgue o próximo item. 
Se A for o conjunto dos presentes que votaram a favor 
e B for o conjunto dos presentes que votaram contra, então 
o conjunto diferença A\B terá exatamente um elemento.
( ) Certo ( ) Errado
Respostas
01 Certo
02 C
03 Errado
04 Errado
05 C
06 B
07 Errado
08 Errado
09 Errado
10 Errado
11 A
12 Errado
13 C
14 Errado
15 Certo
16 Certo
17 A
18 E
19 Errado
20 A
21 Errado
22 Certo
23 Errado
24 Certo
25 C
26 Certo
27 Errado
28 Errado
29 Errado
30 Errado