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ETE Rubens de Farias E Souza 
Mecânica Técnica 
 
 
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Apostila de Mecânica Técnica 
Conteúdo 
1. Trigonometria ................................................................................................. 2 
1.1. Triângulo Retangulo ................................................................................ 2 
1.2. Lados de um triângulo retângulo ............................................................. 3 
2. Funções Trigonométricas Básicas ................................................................. 3 
3. Lei dos Cossenos ........................................................................................... 4 
4. Lei dos Senos ................................................................................................. 5 
5. Notação Cientifica ( Potencia de Dez) ............................................................ 5 
6. Sistema Internacional de Unidades ( 15º CGPM/1975 ) ................................. 7 
6.1. Unidades de Base ................................................................................... 7 
6.2. Unidades Suplementares......................................................................... 7 
6.3. Grafia dos nomes de unidades ................................................................ 7 
6.4. Grafia dos Símbolos de Unidades ........................................................... 8 
6.5. Grafia dos Números ................................................................................. 9 
7. Geometria..................................................................................................... 10 
7.1. Cálculo de Area de Figuras Planas ....................................................... 10 
7.2. Cálculo de Volume de Sólidos ............................................................... 12 
8. Grandezas Escalares e Vetoriais ................................................................. 14 
8.1. O que é Grandeza? ............................................................................... 14 
8.2. O que é Grandeza Escalar? .................................................................. 15 
8.3. O que é Grandeza Vetorial? .................................................................. 15 
9. Vetores ......................................................................................................... 15 
9.1. Vetores Iguais e Vetores Opostos ......................................................... 17 
9.2. Representação de Grandezas Vetoriais ................................................ 18 
10. Força, composição de Forças e Momentos de forças............................... 19 
10.1. Introdução .......................................................................................... 19 
10.2. Conceito dinâmico de força ................................................................ 19 
10.3. Representação Gráfica das forças Vetores ........................................ 20 
10.4. Composição de Forças ....................................................................... 20 
10.5. Casos Particulares de adição de Forças ............................................ 21 
10.6. Composição de Forças por meio de Decomposição Ortogonal.......... 22 
11. Momento de uma força ............................................................................. 25 
12. Condições de Equilíbrio ............................................................................ 26 
12.1. Vigas .................................................................................................. 27 
12.2. Tipos de Carregamento ...................................................................... 28 
13. Tipos de Vinculações (APOIOS) ............................................................... 29 
13.1. Apoios (Vínculos Externos) ................................................................ 29 
13.2. Tipos de Vigas .................................................................................... 30 
 
 
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1. TRIGONOMETRIA 
 
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), 
gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida 
dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as 
medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). 
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias 
inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância 
entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras. 
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu 
uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, 
Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros. 
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a 
antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de 
serem calculadas por métodos comuns. 
Algumas aplicações da trigonometria são: 
-Determinação da altura de um certo prédio: 
 
 
-Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma 
ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. 
-Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma 
montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria 
anos para desenhar um mapa. 
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo 
retângulo. 
 
1.1. TRIÂNGULO RETANGULO 
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos 
mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas 
dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois 
ângulos medirão 90°. 
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Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, est es ângulos são 
denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo 
retângulo possui dois ângulos complementares. 
 
1.2. LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes 
nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado 
oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto 
(adjacentes a ele) são os catetos. 
Termo Origem da palavra 
Cateto Cathetós: (perpendicular) 
Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) 
 
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes 
notações: 
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida 
a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90° 
b Cateto B = Ângulo agudo B<90° 
c Cateto C = Ângulo agudo C<90° 
 
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em 
relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o 
lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao 
ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. 
Ângulo Lado oposto Lado adjacente 
C c cateto oposto b cateto 
adjacente 
B b cateto oposto c cateto 
adjacente 
 
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos 
matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades 
geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria 
é extenso e minucioso. 
 
2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS 
 As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados 
do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes 
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da trigonometria são: seno, cossenoe tangente. O ângulo é indicado pela letra 
x. 
 
 
 
Função Notação Definição 
seno sen(x) 
medida do cateto oposto a x 
 
medida da hipotenusa 
cosseno cos(x) 
medida do cateto adjacente a x 
 
medida da hipotenusa 
tangente tan(x) 
medida do cateto oposto a x 
 
medida do cateto adjacente a x 
 
 Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a 
importante relação: 
cos²(x) + sen²(x) = 1 
 
 
3. LEI DOS COSSENOS 
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c: 
 
Para esses triângulos podemos escrever: 
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Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos 
outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do 
ângulo formado por eles. 
 
4. LEI DOS SENOS 
A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o 
seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, 
podemos escrever. 
 
 
A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o 
seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo. 
 
5. NOTAÇÃO CIENTIFICA ( POTENCIA DE DEZ) 
A potência de dez é utilizada para abreviar múltiplos (ou submúltiplos) de dez. 
Assim: 
100 = 10 x 10; 
1000 = 10 x 10 x 10; 
100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10. 
 
Para escrevermos estes números de uma maneira abreviada, basta indicar o 
número de dezenas envolvidas na multiplicação com um pequeno número 
(expoente) no alto da potencia de 10. 
Logo, se 100 = 10 x 10, podemos dizer que 100 = 102. Da mesma maneira 1000 
= 103, e 100000 = 105. 
 
Nestes exemplos o expoente é igual ao número de zeros. 
Para os submúltiplos de dez, também utilizamos o sistema exponencial. Assim: 
0,01 = 1/10 x 1/10 ; 
0,001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 
0,00001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 
 
Neste caso, para abreviar esses números indicamos o número de casas 
decimais com expoente negativo no alto da potencia de 10. 
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Assim, se 0,01 = 1/10 x 1/10, podemos dizer que 0,01 = 10-2 . Da mesma 
maneira, 0,001 = 10-3 e 0,00001 = 10-5. 
 
Para escrever um número em notação científica devemos obedecer ao seguinte 
formato: A x 10B onde A deve ser um número que esteja entre 1 e 9 , ou seja, 
deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10 e B o número de zeros (ou casas 
decimais se o expoente for negativo) do número. 
Vamos ver alguns exemplos: 
 
40 é igual a 4 vezes 101, então em notação científica representa-se 40 = 4 x 101. 
15000 é igual a 15 vezes 1000, ou 1,5 vezes 10000. Como 10000 que é igual 
104, então em notação científica representa-se 15000 = 1,5 x 104. 
0,2 corresponde a 2 dividido por 10, ou 2 multiplicado por 0,1 que corresponde a 
1/10. Como 1/10 pode ser representado por 10-1, então em notação científica 
representa-se 0,2 = 2 x 10-1. 
Notamos então que fica muito mais fácil de representar números muito grandes 
ou muito pequenos utilizando a notação científica e a potencia de dez. 
Abaixo temos mais alguns números expressos em notação científica: 
 
 
Nome Símbolo Fator de Multiplicação 
exa E 10
18
= 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 10
15
= 1 000 000 000 000 000 
tera T 10
12
= 1 000 000 000 000 
giga G 10
9
= 1 000 000 000 
mega M 10
6
=1 000 000 
quilo K 10
3
=1 000 
hecto h 10
2
= 100 
deca da 10 
deci da 10
-1
=0,1 
centi c 10
-2
=0,01 
mili m 10
-3
=0,001 
micro u 10
-6
=0,000 001 
nano n 10
-9
=0,000 000 001 
pico p 10
-12
=0,000 000 000 001 
femto f 10
-15
=0,000 000 000 000 001 
atto a 10
-18
=0,000 000 000 000 000 001 
 
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6. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES ( 15º 
CGPM/1975 ) 
 
6.1. UNIDADES DE BASE 
 
 Unidade Símbolo Grandeza 
metro m comprimento 
quilograma kg massa 
segundo s tempo 
ampère A corrente elétrica 
Kelvin kg temperatura termodinâmica 
mol mol quantidade de matéria 
candela cd intensidade luminosa 
 
6.2. UNIDADES SUPLEMENTARES 
 Unidade Símbolo Grandeza 
radiano rad ângulo plano 
esterradiano sr ângulo sólido 
 
6.3. GRAFIA DOS NOMES DE UNIDADES 
6.3.1. Quando escritos por extenso, os nomes de unidades devem ser 
iniciados com letra minúscula, mesmo quando representem um nome 
ilustre de ciência . 
Ex.: newton, watt, ampère, joule,...exceto o grau celsius. 
 
6.3.2. Plural dos Nomes de Unidades 
Unidades escritas por extenso, obedecem às seguintes regras bàsicas : 
a) Os prefixos SI são invariáveis 
b) Os nomes de unidades recebem a letra “S” no seu final, exceto nos casos 
da alínea C. 
 
•••• As palavras simples são escritas no plural da seguinte forma: 
Ex.: quilogramas, volts, joules, ampères, newtons, farads. 
•••• Quando as palavras são compostas, e o elemento complementar de um 
nome de unidade não é ligado por hífen. 
Ex.: metros quadrados, decímetros cúbicos, milhas marítimas. 
 
•••• Quando o termo é resultante de um produto de unidades. 
Ex.: newtons-metro, watts-hora, ohms-metro,... 
 
Observação: 
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Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso vulgar, o 
plural não desfigura o nome que a unidade tem no singular. Ex:decibels, henrys, 
mols...Não são aplicadas às unidades algumas regras usuais na formação do 
plural de palavras. 
 
c) Os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem “S” no final. 
 
•••• Quando terminam em S, X ou Z. Por exemplo: siemens, lux, hertz, etc. 
•••• Quando correspondem ao denominador de palavras compostas por 
divisão, por exemplo: quilômetros por hora, metros por segundo, etc. 
 
•••• Quando, em palavras compostas, são elementos complementares de 
nomes de unidades e ligados a estes por hífen ou preposição. Por 
exemplo:anos-luz, quilogramas-força, etc. 
 
6.4. GRAFIA DOS SÍMBOLOS DE UNIDADES 
 A grafia dos símbolos de unidades obedece às seguintes regras básicas : 
a) os símbolos são invariáveis, não sendo permitido colocar ponto significando 
abreviatura, ou acrescentar “S” no plural, por exemplo, joule é J e não J.ou Js ( 
no plural ) . 
b) os prefixos do SI jamais poderão aparecer justapostos num mesmo símbolo, 
ex.: GWh(giga watt-hora) e nunca MkWh ( mega quilowatt-hora). 
c) os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou 
divisão, por exemplo: kN.mm, kW.mA, MW.cm, etc. 
d) o símbolo deverá estar alinhado com o número a que se refere, não como 
expoente ou índice; constituem exceção ângulos e o símbolo do grau Celsius . 
e)o símbolo de uma unidade composta por multiplicaçãopode ser formado pela 
justaposição dos símbolos componentes e que não cause ambiguidade [VA, 
kWh, etc], ou mediante a colocação de um ponto entre os símbolos 
componentes, na base da linha ou a meia altura [kgf.m ou kgf-m]. 
f)o símbolo de uma unidade de uma relação pode ser representado das três 
maneiras exemplificadas a seguir, não devendo ser empregada a última forma 
quando o símbolo, escrito em duas linhas diferentes, causar confusão. 
 
W /[cm2 oC], W . cm-2 .0C-1, 
 
 
Quando um símbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que 
esse expoente afeta o conjunto prefixo-unidade,como se o conjunto estivesse 
entre parênteses. 
Exemplos : 
Ml = 10 -3l 
Mm2 =10-6 m2 
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6.5. GRAFIA DOS NÚMEROS 
As prescrições desta secção são inaplicáveis aos números que não estejam 
representando quantidade . 
Exemplos : telefones, datas, nº de identificação. 
 
Para separar a parte inteira da decimal de um número, é empregada 
sempre uma vírgula; quando o valor absoluto do número for menor que 1, 
coloca-se zero à esquerda da vírgula . 
 Os números que representam quantias em dinheiro, ou quantidade de 
mercadorias, bens ou serviços em documentos fiscais, jurídicos e ou 
comerciais, devem ser escritos com os algarismos separados em grupos de três, 
a contar da vìrgula para a esquerda e para a direita, com pontos separando 
esses grupos entre si . 
Nos demais casos, é recomendado que os algarismos de parte inteira e os de 
parte decimal dos números sejam separados em grupos de três, a contar da 
vírgula para a esquerda e para a direita, com pequenos espaços entre esses 
grupos ( exemplo, em trabalhos técnico-científicos); mas é também admitido que 
os algarismos da parte inteira e os da parte decimal sejam escritos 
seguidamente, isto é , sem separação em grupos. 
Para exprimir números sem escrever ou pronunciar todos os seus 
algarismos: 
a) para os números que representam dinheiro, mercadorias ou bens de serviço, 
são empregadas as palavras; 
mil = 103 = 1000 
milhão = 106 = 1000 000 
bilhão = 109 = 1000 000 000 
trilhão = 1012 = 1000 000 000 000 
b) em trabalhos técnicos ou científicos, recomenda-se a utilização da tabela I. 
 
Espaçamento entre um número e o símbolo da unidade correspondente 
deve atender à conveniência de cada caso . 
Exemplos : 
a) Frases de textos correntes, normalmente utiliza-se meia letra, para que 
não haja possibilidade de fraude . 
b) Em colunas de tabelas, é facultado utilizar espaçamentos diversos entre 
os números e os símbolos das unidades correspondentes. 
Pronúncia dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades. 
 Na forma oral, são pronunciados por extenso. 
Exemplos : 
ml-mililitro 
µm –micrometro ( não confundir com micrômetro instrumento) 
 
 
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7. GEOMETRIA 
7.1. CÁLCULO DE AREA DE FIGURAS PLANAS 
 
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7.2. CÁLCULO DE VOLUME DE SÓLIDOS 
 
O volume de um corpo pode ser calculado pelo produto da área da base pela 
medida da altura. De uma forma geral, podemos aplicar a seguinte fórmula: 
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V = Ab x h 
Ab = área da base 
h = altura 
 
 
 
 
 
 
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8. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS 
 
8.1. O QUE É GRANDEZA? 
 
Grandeza é tudo o que pode ser medido. Comprimento, tempo, força, 
massa, velocidade entre outros são Grandezas porque podem ser medidos. 
Todavia há coisas impossíveis de ser medidas, como a fadiga, o amor, a 
coragem, a dor entre outros. Não é possível atribuir um valor numérico para o 
amor pois cada pessoa o sente de maneira diferenciada. Portanto a fadiga, o 
amor, a coragem e a dor não são grandezas. A Física, só trabalha com 
grandezas, ou seja, com o que pode ser medido, avaliado. 
 
 
 
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8.2. O QUE É GRANDEZA ESCALAR? 
 
Algumas grandezas físicas exigem, para sua perfeita caracterização, 
apenas uma intensidade. 
Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Assim, 
grandezas físicas, como massa, comprimento, tempo, temperatura, densidade e 
muitas outras, são classificadas como grandezas escalares. 
 
“É aquela que basta uma escala e um número para identificá-la.” 
 
Por exemplo, 5 segundos, ficam perfeitamente definidas quando são 
especificados o seu módulo (5) e sua unidade de medida (segundo). 
 
8.3. O QUE É GRANDEZA VETORIAL? 
 
Por outro lado, existem grandezas físicas que, para sua perfeita 
caracterização, exigem, além da intensidade, uma orientação espacial (direção e 
sentido). 
Tais grandezas recebem o nome de grandezas vetoriais. Como exemplo 
de grandezas vetoriais, podemos citar: força, impulso, quantidade de 
movimento, velocidade, aceleração e muitas outras. 
 
“É aquela que além de uma escala e um número, necessitamos das 
noções de módulo, direção e sentido.” 
 
 
9. VETORES 
 
As grandezas vetoriais são representadas por um ente matemático 
denominado vetor. 
Um vetor reúne, em si, o módulo, representando o valor numérico ou 
intensidade da grandeza, e a direção e sentido, representando a orientação da 
grandeza. 
É importante salientarmos as diferenças entre direção e sentido: um 
conjunto de retas paralelas tem a mesma direção. 
 
 
 
e, a cada direção, podemos associar uma orientação. 
 
 
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A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um segmento 
de reta orientado (direção e sentido) com uma determinada medida (módulo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas indicadas 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
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Para indicarmos o módulo de um vetor, podemos usar qualquer uma das 
seguintes notações: 
 
 
 
Assim, indica o vetor e a indica o módulo do vetor . 
 
 
9.1. VETORES IGUAIS E VETORES OPOSTOS 
 
Dois vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma 
direção e o mesmo sentido. 
 
 
 
Dois vetores são opostos quando possuem o mesmo módulo, a mesma 
direção e sentidos contrários. 
 
 
 
 
Exemplo de Vetores: 
 
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A Figura acima representa um cruzamento de ruas, tal que você, situado em O, 
pode realizar os deslocamentos indicados pelos vetores d1, d2, d3, e d4. Diferenciando 
estes vetores segundo suas características, tem-se que: 
Os vetores d1 e d3 têm a mesma direção, mesmo módulo, e sentidos opostos. 
Os vetores d2 e d4 têm a mesma direção, módulos diferentes e sentidos opostos. 
Os vetores d1 e d2 têm o mesmo módulo, direções e sentidos diferentes. 
Os vetores d3 e d4 têm módulos, direções e sentidos diferentes. 
 
9.2. REPRESENTAÇÃO DE GRANDEZAS VETORIAIS 
 
Na prática, a representação de grandezas vetoriais é feita por meio de 
vetores desenhados em escala. Assim, para representarmos vetorialmente a 
velocidade de um partícula que se desloca horizontalmente para a direita a 80 
km/h, utilizamos um segmento de reta, por exemplo, com 4 cm de comprimento, 
onde cada centímetrocorresponde a 20 km/h. 
 
 
escala: 1,0 cm: 20 km/h 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1) O que é Grandeza? 
R:Grandeza é tudo o que pode ser medido. Comprimento, tempo, força, massa, velocidade entre 
outros são Grandezas porque podem ser medidos. Todavia há coisas impossíveis de ser medidas, como a 
fatiga, o amor, a coragem, a dor entre outros. Não é possível atribuir um valor numérico para o amor pois 
cada pessoa o sente de maneira diferenciada. Portanto a fatiga, o amor, a coragem e a dor não são 
grandezas. A Física, só trabalha com grandezas, ou seja, com o que pode ser medido, avaliado. 
 
2) O que é Grandeza Escalar? 
R:É aquela que basta uma escala e um número para identificá-la. Como por exemplo temperatura, 
tempo, massa, etc. 
 
3)O que é Grandeza Vetorial? 
R:É aquela que além de uma escala e um número, necessitamos das noções de módulo, direção e 
sentido. Como por exemplo, Velocidade, Força, Deslocamento, etc. 
 
4) A velocidade de um projétil é 20 m/s, horizontal e para a direita. 
Interprete as informações. 
 Resolução 
As informações caracterizam uma intensidade (20 m/s), uma direção (horizontal) e um sentido 
(para a direita). Portanto, caracterizam a velocidade como grandeza vetorial. 
 
5) Assinale V (verdadeiro), ou F (falso), para as frases abaixo. 
( ) a – Temperatura é grandeza escalar. 
( ) b – Massa é grandeza escalar. 
( ) c – Força é grandeza vetorial. 
( ) d – A aceleração da gravidade é grandeza vetorial. 
( ) e – Volume é grandeza escalar. 
 
 Resolução 
Todas as frases são verdadeiras.Temperatura, massa e volume são grandezas que ficam 
perfeitamente caracterizadas por um número (intensidade) e por um significado (unidade). Força e 
aceleração são grandezas que necessitam, além da intensidade, de uma direção e de um sentido. 
 
10. FORÇA, COMPOSIÇÃO DE FORÇAS E MOMENTOS 
DE FORÇAS 
 
10.1. INTRODUÇÃO 
A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda as causas que produzem e 
modificam os movimentos dos corpos. 
 
10.2. CONCEITO DINÂMICO DE FORÇA 
Do ponto de vista da Dinâmica, força é a causa que produz a aceleração 
de um corpo, isto é, a força produz variação de velocidade num corpo. 
Deste modo a força é a causa que tem como efeito dinâmico a 
aceleração. Do mesmo modo que a aceleração a força é também uma grandeza 
vetorial. 
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Pode-se exercer força sobre um corpo por ação muscular, ação de mola, ação 
de ar comprimido etc. 
 Os corpos que exercem forças podem ou não estar em contato com o 
corpo que sofre a ação da força. 
 No 1º caso, temos as forças de contato; 
 No 2º caso, as de ação à distância. 
 A força de ação a distância mais importante do nosso universo é a força 
peso ou força da gravidade. 
 Assim, peso é a força que a Terra exerce sobre os corpos. As forças 
atuando sobre um corpo exercidas por outros corpos, são chamadas forças 
externas. 
 As forças exercidas em parte de um corpo, por partes do mesmo corpo, 
são chamadas forças internas. 
 
10.3. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS FORÇAS VETORES 
 
 As forças por convenção são representadas graficamente por uma seta. 
 O tamanho da seta é a intensidade da força. 
 A direção da seta é a direção da força. 
 O sentido da seta é o sentido da força. 
 Quando a força é de Tração o pé da seta fica no ponto da aplicação da 
força. 
 Quando a força é de impulsão, o ponto da seta no ponto de aplicação da 
força. 
 
10.4. COMPOSIÇÃO DE FORÇAS 
 Quando várias forças são aplicadas simultaneamente ao mesmo ponto, 
verifica-se que o mesmo efeito pode ser produzido por uma única força de 
intensidade, direção e sentido adequedas que é chamada de resultante de 
várias forças. 
 Esse processo é chamado de composição de Forças. 
 
Adição de dois vetores: 
Método da triangulação: consiste 
em colocar a origem do segundo vetor 
coincidente com a extremidade do primeiro 
vetor, e o vetor soma (ou vetor resultante) 
é o que fecha o triângulo (origem 
coincidente com a origem do primeiro e 
extremidade coincidente com a 
P 
T F 
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Método da triangulação extremidade do segundo) 
 
Adição de dois vetores: 
Método do paralelogramo 
Método do paralelogramo: 
consiste em colocar as origens dos 
dois vetores coincidentes e construir 
um paralelogramo; o vetor soma (ou 
vetor resultante) será dado pela 
diagonal do paralelogramo cuja 
origem coincide com a dos dois 
vetores. A outra diagonal será o 
vetor diferença. 
 
 
10.5. CASOS PARTICULARES DE ADIÇÃO DE FORÇAS 
 
a) Vetores de mesma direção e sentido: 
 
→→→
+= b as
 
→→→
+= b as
 
 
O Vetor soma s apresenta a mesma direção e o mesmo sentido dos vetores 
parcelas e seu módulo é igual à soma dos módulos. 
 
b) Vetores de mesma direção e sentidos opostos. 
→→→
+= b as
 
→→→
−= b as
 
 
O Vetor soma s apresenta a mesma direção dos vetores parcelas e o sentido do 
vetor de maior módulo. O módulo do vetor soma é dado pela diferença dos 
módulos. 
 
c) Vetores de direções ortogonais 
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→→→
+= b as
 
222
b as
→→→
+=
 
 
A direção e o sentido do vetor soma s são dados pela regra do polígono (ou do 
paralelogramo). O módulo é calculado pela aplicação do teorema de Pitágoras 
ao triângulo da figura. 
 
 
10.6. COMPOSIÇÃO DE FORÇAS POR MEIO DE DECOMPOSIÇÃO ORTOGONAL 
 
a) Decompõe-se as forças segundo um par de eixos ortogonais 
convencionais 
 
b) Faz-se a soma algébrica dos componentes em cada eixo 
c) Compõe-se essa soma para obter a resultante 
 
 
X 
Y 
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∑∑ +=
222 FyFxR 
 
 
Exercício: 
1) Achar as componentes horizontal e vertical de uma força de 40kgf que forma 
um ângulo de 30º com a horizontal para a direita e para cima. 
 
2) Determine o Valor da Resultante e o ângulo que a mesma forma com o eixo X 
F1=15 kgf 
F2=20kgf 
 
 
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11. MOMENTO DE UMA FORÇA 
 
Mostra-se experimentalmente que o efeito de uma força para produzir 
rotação em torno de um eixo é dado pelo produto da força pela distância da linha 
da ação da força ao eixo. 
Chama-se à essa distância “braço da força” ou braço de alavanca da 
força. 
 O produto de uma força pelo braço chama-se “Momento da força”. 
 
Determinação do Braço de uma força e de seu momento 
a) linha de ação da força não passa pelo eixo de giro 
 
- pelo eixo de giro O baixa-se uma perpendicular à L.A. da força no plano da 
força; 
- Prolonga-se a L.A. da força em ambos sentidos; 
- A perpendicular comum intercepta a L.A. no ponto S 
- A distância OS é o braço da força; 
- Acha-se o momento da força multiplicando-se a força F pelo seu braço. 
 
b) linha de ação da força passa pelo eixo de giro 
 
Neste caso como a distância entre a Linha de Ação da força e o Ponto de giroé 
0 (zero) então o momento será nulo. 
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c) determinação do momento por meio de decomposição ortogonal 
 
Neste caso fazemos a decomposição da Força F nos eixos ortogonais. Como 
visto anteriormente a Força Fx tem o momento nulo. Já o momento será dado 
pela Força Fy mutiplicado pela distância L. 
 
Exercício: 
 Ao fechar uma porta de 0,80m de largura, uma pessoa aplica 
perpendicularmente uma força de 3,0N. Qual o valor do momento dessa força? 
 
 
12. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 
Ao estudar as Leis de Newton, vimos que, quando uma partícula está em 
repouso ou em movimento retilíneo uniforme, ela está em equilíbrio, estático ou 
dinâmico, respectivamente, sendo nula a resultante das forças que agem sobre 
ela. 
Portanto, a condição necessária e suficiente para um ponto material estar 
em equilíbrio (estático ou dinâmico) é que seja nula a resultante de todas as 
forças que agem sobre ele. 
O ponto P da figura abaixo está sujeito à ação simultânea das forças →F1, 
→
F2 , 
→
F3 , 
→
F4 , 
→
F5 e 
→
F6 . 
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Ele estará em equilíbrio se for satisfeita a equação vetorial: 
→
F1 + 
→
F2 + 
→
F3 + 
→
F4 + 
→
F5 + 
→
F6 = 0 
Na resolução de exercícios de equilíbrio do ponto material, a equação 
vetorial acima deve ser transformada em equações escalares. Para tal, podem 
ser utilizados os processos de soma vetorial ou o método das projeções. 
Se as forças atuantes no ponto material forem coplanares, transforma-se 
a equação vetorial da soma das forças em duas equações escalares, 
projetando-se as forças sobre dois eixos cartesianos ortogonais Ox e Oy. Sendo 
assim, a condição de equilíbrio do ponto material pode ser estabelecida do 
seguinte modo: 
A soma algébrica das projeções de todas as forças na direção do eixo Ox 
é nula: 
xF1
→
 + xF2
→
 + xF3
→
 + xF4
→
+ xF5
→
 + xF6
→
 = 0 
A soma algébrica das projeções de todas as forças na direção do eixo Oy 
é nula: 
yF1
→
 + yF2
→
 + yF3
→
 + yF4
→
+ yF5
→
 + yF6
→
 = 0 
O valor algébrico de uma projeção será positivo se seu sentido coincidir 
com o sentido do eixo; será negativo se seu sentido for oposto ao do eixo. A 
projeção é nula se a força tiver direção perpendicular ao eixo. 
 
12.1. VIGAS 
Quando dispomos de um elemento estrutural projetado para suportar 
diversas cargas em sua extensão, este elemento recebe o nome de viga. Estas 
vigas são normalmente sujeitas a cargas dispostas verticalmente, o que 
resultará em esforços de cisalhamento e flexão. Quando cargas não verticais 
são aplicadas a estrutura, surgirão forças axiais, o que tornará mais complexa a 
análise estrutural. 
Vigas normalmente são barras retas e prismáticas, o que ocasiona maior 
resistência ao cisalhamento e flexão. 
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Quando se efetua o dimensionamento de uma viga, seja ela de qualquer 
material como aço, madeira, concreto, duas fases são definidas distintamente. A 
primeira fase é o cálculo dos esforços da estrutura, ou seja, o cálculo de 
momentos fletores e forças cortantes, ao qual a viga esta submetida aos vários 
tipos de carregamento. A segunda fase é o dimensionamento da peça 
propriamente dito, onde é verificada qual as dimensões necessárias da peça 
estrutural, que irá resistir aos esforços solicitados. 
12.2. TIPOS DE CARREGAMENTO 
Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas distribuídas 
ou combinação de ambas. Quando se trabalha com cargas distruibuídas, pode-
se substituí-la por uma carga concentrada, e assim facilitar bastante os demais 
cálculos. 
- Carga Concentrada 
 
Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga em um único 
ponto sobre a estrutura, sendo geralmente representado em kilograma-força(kgf) 
ou Newton(N). 
- Carga Distribuída 
 
Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga por unidade de 
comprimento, geralmente representado em kilograma força por metro (kgf/m) ou 
Newton por centímetro (N/cm). 
Quando a carga por unidade de comprimento possue valor constante, é 
atribuído o nome de carga uniformemente distribuída. 
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 Exemplo de Carga Uniformemente Distruibuída 
 
 
13. TIPOS DE VINCULAÇÕES (APOIOS) 
Um vínculo é qualquer condição que restringe a possibilidade de 
deslocamento de um ponto do elemento ligado ao vínculo. O deslocamento de 
um ponto do elemento é determinado através das componentes segundo os 
eixos cartesianos ortogonais. As translações podem ser horizontais ou verticais 
e a rotação ocorre em torno do eixo perpendicular ao plano considerado. 
As vinculações podem ser internos, também chamados de ligações internas, 
ou então externos, também chamados de apoios. A seguir será apresentado 
alguns tipos principais de apoios, por ser de fundamental importância para a 
compreensão de esforços em vigas. As demais vinculações serão vistas adiante. 
13.1. APOIOS (VÍNCULOS EXTERNOS) 
Apoio Articulado Móvel (Apoio Simples) 
Este tipo de apoio restringe apenas uma translação, e a reação tem 
direção perpendicular ao plano de rolamento. 
 
Apoio Articulado Fixo (Articulação) 
Este tipo de apoio impede as duas translações no plano, e a direção da 
reação R é indeterminada, sendo comum a utilização de duas componentes, 
horizontal e vertical. 
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Apoio Engastado(Apoio de Engastamento Perfeito) 
Este tipo de apoio impede todos os movimentos no plano, surgindo então três 
reações de apoio: a vertical (V), a horizontal (H) e momento (M). 
 
13.2. TIPOS DE VIGAS 
Viga Bi-apoiada 
Consiste de uma viga apoiada em dois apoios articulados, sendo um fixo 
e o outro móvel. 
 
Viga em balanço 
Consiste de uma viga que possue um apoio engastado, não sendo livre a 
sua rotação 
 
Viga com extremidade em balanço 
Consiste de uma viga com extremidade em balanço, sendo articulada em 
um apoio fixo e um apoio móvel. 
 
 
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Convenção de Sinais 
Para o cálculo de esforços internos a uma determinada estrutura, como 
será visto adiante, é necessário estabelecer uma convenção de sinais para cada 
parte da viga em análise 
 
Negativo Positivo 
Cálculo de Momento Fletor e Força Cortante em uma viga submetida a uma 
carga concentrada 
Como exemplo, usaremos uma viga bi-apoiada de comprimento L, 
submetida a uma carga concentrada P, distante a e b dos apoios. Embora seja 
usada uma viga bi-apoiada, o entendimento pode se extendido para qualquer 
tipo de viga, e qualquer quantidade de forças aplicadas. 
 
Diagrama de Corpo Livre 
 
O primeiro passo é o cálculo das reações de apoio Ra e Rb, que são 
obtidos através do somatório dos momentos iguais a zero(corpo em equilíbrio) 
nos pontos A e B. 
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Ra = P. b / L 
Rb = P. a / L 
Para determinarmos por exemplo as forças internas em um ponto 
genéricoC, uma maneira simples é primeiro desenharmos o diagrama de corpo 
livre da parte a ser estudada. 
Diagrama de Corpo Livre (Esquerda do ponto C) 
 
Diagrama de Corpo Livre (Direita do ponto C) 
 
Cálculo da força cortante em C. 
Com as reações já calculadas e analisando a figura, podemos facilmente 
encontrar o valor da força cortante no ponto C, através do somatório das forças 
verticais. 
Como o ponto C, considerado para o cálculo dos esforços é exatamente o 
ponto de aplicação de uma força concentrada, teremos dois valores diferentes 
de força cortante, um a esquerda carga, ou seja, sem a plicação da carga P, e 
outra a direita, considerando a aplicação da carga P. Isto acontece porque o 
diagrama de forças cortantes ao passar no ponto onde existe uma carga 
concentrada, sofre uma descontinuidade, como será visto adiante, no diagrama. 
Qesq C = Ra 
Qdir
 C = Ra - P 
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Para o cálculo dos demais esforços cortantes ao longo da viga, procede-
se com mesmo raciocínio. 
Cálculo do Momento Fletor em C 
Para o cálculo das forças cortantes em um determinado ponto, efetuou-se 
o somátorio das forças verticais de um corpo. Para o cálculo do momento fletor, 
procede de maneira análogo, porém faz-se o somatório dos momentos no ponto 
considerado, neste caso, o ponto C. 
MC = Ra . a 
Para o cálculo dos demais momentos ao longo da viga, procede-se com 
mesmo raciocínio. 
Diagrama de Momento Fletor e Força Cortante em uma viga submetida a 
uma carga concentrada 
Se fosse calculados esforços de momento e força cortante em infinitas 
seções da viga em análise e após isso fosse traçado diagramas com esses 
valores, teríamos então representados os diagramas de momento fletor e força 
cortante da viga em análise. Na realidade não são efetuados infinitas seções, e 
sim algumas seções em locais apropriados, que permitam representam em sua 
totalidade os diagramas. 
Para o traçado do diagrama, é usual, adotar-se para o diagrama de forças 
cortantes, positivo para cima e negativo para baixo, e o diagrama de momentos, 
positivo para baixo e negativo para cima, de maneira a salientar a tendência de 
flexão da viga. 
 
 
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Tendo como exemplo uma viga bi-apoiada de comprimento L, submetida 
a uma carga concentrada, distanciada de a do apoio da esquerda, temos as 
seguintes equações para o traçado do diagrama: 
Força Cortante 
1) Para x variando entre 0 e a 
Q = Ra 
2) Para x variando entre a e L 
Q = Ra - P = Rb 
Momento Fletor 
1) Para x variando entre 0 e a 
M = Ra . x 
2) Para x variando entre a e L 
M = Ra . x - ( x - a) . P 
Momento Fletor Máximo 
 O momento fletor máximo ocorre no ponto onde temos a carga concentrada, 
então: 
 Mmáx = Ra . a - ( a - a ) . P = Ra . a = (P . b / L) . a = P . a . b / L 
Diagrama 
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Quando uma viga suporta muitas cargas, o método de se fazer várias seções ao 
longo da barra, pode se tornar muito complicado. A construção do diagrama de 
força cortante e principalmente o de momento fletor pode ser bastante 
simplificado se determinadas relações entre os diagramas de força cortante e 
momento fletor forem considerados. 
 
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