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Iniciação à Aritmética
Abramo Hefez
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Sobre o Autor
Abramo Hefez nasceu no Egito, mas é brasileiro por opção e ca-
rioca de coração. Cursou o ginasial e científico no Rio de Janeiro,
graduou-se na PUC-Rio em Matemática e prosseguiu seus estudos
na Universidade de Pisa, Itália e nos Estados Unidos, doutorando-se,
em Geometria Algébrica no Massachusetts Institute of Technology. É
Professor Titular no Instituto de Matemática da Universidade Federal
Fluminense, onde exerce docência na graduação e na pós-graduação
e desenvolve atividade de pesquisa.
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da análise de um número finito de casos). Essas deduções podem se
transformar em verdadeiras demonstrações utilizando-se o Princípio
de Indução Matemática, que é assunto de um outro texto do autor,
publicado nesta coleção e destinado aos alunos do nível III.
Este texto não existiria não fosse o desafio lançado por Suely
Druck, Diretora Acadêmica da OBMEP, a quem agradeço calorosa-
mente pela preciosa oportunidade de me dirigir aqui a vocês.
Agradeço também ao colega Dinamérico Pombo por sua leitura cuida-
dosa do manuscrito original.
Finalmente, espero que você aprecie o material aqui apresentado
e que faça de seu estudo uma atividade prazerosa. Bom divertimento!
Niterói, março de 2009.
O Autor
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Sumário
1 Os Números Naturais 1
1.1 Os Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Múltiplos Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Representação dos Naturais 23
2.1 O Sistema Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Critérios de Multiplicidade de 2, 5 e 10 . . . . . . . . . 26
2.3 Critérios de Multiplicidade de 9 e de 3 . . . . . . . . . 29
2.4 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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2.5 O Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . 38
3 Os Inteiros e suas Propriedades 42
3.1 Os Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Múltiplos Inteiros de um Número . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Algoritmo da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Par ou Ímpar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Zero, Um ou Dois? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.8 Algoritmo do mdc de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9 Aplicações da Relação de Bézout . . . . . . . . . . . . 70
3.10 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . . . . . 75
4 A Aritmética dos Restos 81
4.1 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Critérios de Multiplicidade e Restos . . . . . . . . . . 84
4.3 Congruências e Somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Congruências e Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Algumas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6 Aritmética Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Problemas Suplementares 99
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Capítulo 1
Os Números Naturais
1.1 Os Naturais
Os números naturais formam um conjunto cujos elementos são
descritos de modo ordenado como segue:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .
ou ainda, de modo mais sugestivo:
n1 - n2 - n3 - n4 - n5 - n6 - n7 - n8 - n9 - n10 - . . .
Essa descrição não é completa, pois só explicitamos alguns poucos
de seus elementos, guardando o restante na nossa imaginação.
No entanto, todos nós sabemos perfeitamente do que estamos fa-
lando. Tudo começa com o número um, simbolizado por 1, que repre-
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2 � CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
senta a unidade, e com uma lei, simbolizada pelas flechas, que a cada
número, começando pelo 1, fornece o seu sucessor, isto é, o número
que lhe segue.
Sabemos também que esta sequência nunca termina; ou seja, os
números naturais são em quantidade infinita.
Cada elemento desse conjunto tem de ser obviamente represen-
tado por um símbolo distinto. Como fazer isto de modo a poder
memorizar todos esses símbolos? A resposta, muito engenhosa, é
dada pela adoção de um sistema de numeração, que no nosso caso
é o sistema decimal posicional, que será descrito no próximo capítulo.
Assim, por exemplo, sabemos que nesse sistema sucedendo o 10 vem
o 11 e sucedendo o 999 vem o 1 000 etc.
Os números naturais permitem contar objetos, inclusive subcon-
juntos do próprio conjunto dos naturais. Por exemplo, de 1 a n,
inclusive, existem exatamente n números naturais.
1.2 Ordem
Quando um número a aparece na sequência, acima mencionada,
antes do número b, ou seja, à esquerda de b, escrevemos a < b e
dizemos que a é menor do que b, ou ainda, escrevemos b > a e dizemos
que b é maior do que a.
. . . - na - . . . - nb - . . .
Por exemplo, 1 < 2, 5 < 7, 9 > 6 etc.
Essa relação que ordena os números naturais tem claramente a
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N SEC. 1.2: ORDEM 3
seguinte propriedade transitiva:
Se a aparece antes de b e b aparece antes de c, então a aparece
antes de c.
. . . - na - . . . - nb - . . . - nc - . . .
Em símbolos:
Se a < b e b < c, então a < c.
Escreveremos também a ≤ b para representar a situação:
a < b ou a = b.
Por exemplo, temos que 2 ≤ 3 e também que 2 ≤ 2.
A ordem nos naturais é total, o que significa que dados dois
números naturais a e b temos verificada uma e apenas uma das três
seguintes possibilidades (tricotomia):
a < b, a = b, ou a > b.
Sejam dados dois números naturais a e b com a < b. Definimos os
seguintes conjuntos:
[a, b] o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x ≤ b,
(a, b) o conjunto dos números naturais x tais que a < x < b,
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4 � CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
(a, b] o conjunto dos números naturais x tais que a < x ≤ b,
[a, b) o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x < b.
O primeiro e o segundo conjunto são chamados, respectivamente,
de intervalo fechado e intervalo aberto. Os dois outros conjuntos
são chamados indiferentemente de intervalos semiabertos, ou semife-
chados.
Exemplos:
O intervalo (2, 5) = {3, 4}:
n1 - n2 - nml3 - nml4 - n5 - n6 - n7 - n8 - n9 - n10 -
O intervalo (2, 5] = {3, 4, 5}:
n1 - n2 - nml3 - nml4 - nml5 - n6 - n7 - n8 - n9 - n10 -
O intervalo [2, 5) = {2, 3, 4}:
n1 - nml2 - nml3 - nml4 - n5 - n6 - n7 - n8 - n9 - n10 -
O intervalo [2, 5] = {2, 3, 4, 5}:
n1 - nml2 - nml3 - nml4 - nml5 - n6 - n7 - n8 - n9 - n10 -
Problema 1.1. Determine os elementos dos seguintes intervalos:
(2, 3), (2, 3], [2, 3), [2, 3], (3, 7), (3, 7], [3, 7) e [3, 7].
Uma propriedade característica