[Cálculo Numérico] Resolução de Sistemas Lineares - Métodos Iterativos (Resumo)

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Separação da 
diagonal principal. 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
 
 
Métodos Interativos 
 
 Teste de parada 
 
𝑚á𝑥|𝑥𝑖
(𝑘+1) − 𝑥𝑖
(𝑘)|
𝑚á𝑥|𝑥𝑖
(𝑘+1)|
< 𝜖
 
 
 Método de Gauss-Jacobi 
 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + …+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
⇒
{
 
 
 
 
 
 𝑥1
(𝑘+1) =
1
𝑎11
∙ (𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(𝑘) − 𝑎13𝑥3
(𝑘) − …− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(𝑘))
𝑥2
(𝑘+1) =
1
𝑎22
∙ (𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(𝑘) − 𝑎23𝑥3
(𝑘) − …− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(𝑘))
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑥𝑛
(𝑘+1) =
1
𝑎𝑛𝑛
∙ (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(𝑘) − 𝑎𝑛2𝑥2
(𝑘) − …− 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥𝑛−1
(𝑘))
 
 
Onde [𝑥0]𝑡 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛) é uma aproximação inicial. 
 
Teorema: A sequência de iterações {𝑥(𝑘)} é convergente quando ∑
|𝑎𝑘𝑗|
|𝑎𝑘𝑘|
𝑛
𝑗=1 < 1 ou 𝑎𝑘𝑘 > ∑ 𝑎𝑘𝑗
𝑛
𝑗=1 . 
 
 Método de Gauss-Jacobi 
 
Seja 𝑥(0) uma aproximação inicial, calcula-se 𝑥(1), 𝑥(2), …, 𝑥(𝑘) por: 
 
{
 
 
 
 
 
 𝑥1
(𝑘+1) =
1
𝑎11
∙ (𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(𝑘) − 𝑎13𝑥3
(𝑘) − …− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(𝑘)) 
𝑥2
(𝑘+1) =
1
𝑎22
∙ (𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(𝑘+1) − 𝑎23𝑥3
(𝑘+1) − …− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(𝑘+1)) 
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑥𝑛
(𝑘+1) =
1
𝑎𝑛𝑛
∙ (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(𝑘+1) − 𝑎𝑛2𝑥2
(𝑘+) − …− 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥𝑛−1
(𝑘+1))
 
 
Obs.: Esse método utiliza todos os valores 𝑥(𝑘+1) já calculados e os valores 𝑥(𝑘).