Atividade 3 - 2º Bi - Matemática - 1º EJA

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E. E. E. F. M. EZERIEL MÔNICO DE MATOS 
 CADERNO Nº 03 TURNO: VESPERTINO 
 ALUNO(A): _________________________________________________________________ 
 PROFESSOR(A): SARA CASTRO 
 DISCIPLINA: MATEMÁTICA TURMA: M1MJ01 NOTA: ______ 
 
Atividade 3 – Matemática 
Produtos Notáveis 
Quadrado da soma de dois termos 
Vamos considerar a expressão (x + y)², que 
representa o quadrado da soma de dois termos, 
e desenvolvê-la algebricamente. 
Aplicando a definição de potência, temos: 
 
(𝒙 + 𝒚)𝟐 = (𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦) 
= 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 
= 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
Então, 
 
(𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
 
 
Observe os seguintes exemplos: 
 
(𝟑𝒙 + 𝟐𝒚)𝟐 = (3𝑥)2 + 2.3𝑥. 2𝑦 + (2𝑦)2= 
= 9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦² 
 
(𝒂 + 𝟓𝒃)𝟐 = 𝑎2 + 2. 𝑎. 5𝑏 + (5𝑏)2= 
= 𝑎2 + 10𝑎𝑏 + 25𝑏² 
 
(𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 = (2𝑥)2 + 2.2𝑥. 6 + 6²= 
= 4𝑥2 + 24𝑥 + 36 
 
(𝒂𝟐 + 𝒃²)𝟐 = (𝑎²)2 + 2. 𝑎. 𝑏 + (𝑏2)² 
 =𝑎4 + 2. 𝑎². 𝑏² + 𝑏4 
 
 
Quadrado da diferença de dois termos 
 
(𝒙 − 𝒚)𝟐 = (𝑥 − 𝑦). (𝑥 − 𝑦) 
= 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 
= 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
Então: 
 
(𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
(𝟐𝒙 − 𝟒)𝟐 = (2𝑥)2 − 2.2𝑥. 4 + 42 = 
= 4𝑥2 − 16𝑥 + 16 
 
(𝟔𝒂 − 𝟕𝒃)𝟐 = (6𝑎)2 − 2.6𝑎. 7𝑏 + (7𝑏)2 
= 36𝑎2 − 84𝑎𝑏 + 49𝑏2 
 
(𝟏𝟎𝒙 − 𝟖)𝟐 = (10𝑥)2 − 2.10𝑥. 8 + 8²= 
= 100𝑥2 − 160𝑥 + 64 
 
(𝟐𝒂𝟐 − 𝟑𝒃²)𝟐 = (2𝑎²)2 + 2.2𝑎². 3𝑏² + (3𝑏2)² 
= 2𝑎4 +12𝑎2𝑏2 + 9 𝑏4 
 
Produto da soma pela diferença de dois termos 
 
Considere a expressão (𝑥 + 𝑦). (𝑥 − 𝑦) que 
representa o produto da soma pela diferença de 
dois termos, e vamos desenvolvê-la 
algebricamente: 
 
(𝒙 + 𝒚). (𝒙 − 𝒚) 
= 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 
= 𝑥2 − 𝑦2 
 
Daí, temos a seguinte igualdade: 
 
(𝑥 + 𝑦). (𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 
 
 
 
Exemplos 
 
(𝑥 + 3𝑦). (𝑥 − 3𝑦) = 𝑥2 − (3𝑦)2= 
= 𝑥2 − 9𝑦2 
 
(𝑎 + 4𝑏). (𝑎 − 4𝑏) = 𝑎2 − (4𝑏)2= 
= 𝑎2 − 16𝑏2 
 
(𝑥2 + 4𝑦3). (𝑥² − 4𝑦³) = (𝑥2)2 − (4𝑦³)2= 
= 𝑥4 − 16𝑥6 
 
(𝑥3 + 2𝑦4). (𝑥3 + 2𝑦4) = (𝑥3)2 − (2𝑦4)2= 
 
= 𝑥6 − 4𝑥8 
 
 
Fatorando Polinômios 
 
Fatorar um número significa escrevê-lo como uma 
multiplicação de dois ou mais fatores. 
 
 
 
 
Fator Comum 
 
1) Vamos calcular o perímetro da figura do 
retângulo, cujas dimensões medem x e y. 
 
O perímetro desse retângulo pode ser indicado de 
duas maneiras: 2𝑥 + 2𝑦 ou 2. (𝑥 + 𝑦) 
 
Então, podemos escrever: 
 
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐. (𝒙 + 𝒚) 
Polinômio Forma fatorada do polinômio 
 
A figura nos mostra um quadrado ABCD, um 
retângulo CEFD e um retângulo ABEF. Vamos 
calcular a área total da figura, ou seja, a área do 
retângulo ABEF. De acordo com a figura, podemos 
escrever: 
 
área do quadrado ABCD= 𝒙² 
área do retângulo CEFD = 𝒙𝒚 
área do retângulo ABEF= 𝒙. (𝒙 + 𝒚) 
𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 = 𝒙. (𝒙 + 𝒚) 
 
Exemplos: 
 
Fatore os polinômios: 
 
𝟔𝒂𝒙 + 𝟖𝒂𝒚 = 2𝑎. (3𝑥 + 4𝑦) 
𝒂𝟒 − 𝒂𝟑 + 𝒂𝟐 = 𝑎². (𝑎2 − 𝑎 + 1) 
𝒂. (𝒂 − 𝒃) + 𝒙. (𝒂 − 𝒃) = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑥) 
𝒙. (𝒃 + 𝒄) − 𝒚. (𝒃 + 𝒄) = (𝑏 + 𝑐). (𝑥 − 𝑦) 
𝟒𝒙 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝟔𝒙𝒛 = 2𝑥. (2 + 𝑦 − 3𝑧) 
 
Fatoração da diferença de dois quadrados 
 
A área colorida da figura pode ser indicada pelo 
polinômio x² - y², que expressa uma diferença de 
dois quadrados. 
 
 
Exemplos: 
 
Fatore os polinômios: 
 
𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = (𝑥 + 6). (𝑥 − 6) 
√𝑥² = 𝑥 √36 = 6 
 
𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝟒 =(2𝑥 + 8). (2𝑥 − 8) 
√4𝑥² = 2𝑥 √64 = 8 
 
𝟏𝟔𝒚𝟐 − 𝟗𝒙² = (4𝑦 + 3𝑥). (4𝑦 − 3𝑥) 
√16𝑦² = 4𝑦 √9𝑥² = 3𝑥 
 
𝟏
𝟗
 -𝒙𝟐𝒚𝟐 = (
1
3
+ 𝑥𝑦). (
1
3
− 𝑥𝑦) 
√
1
9
=
1
3
 √𝑥²𝑦² = 𝑥𝑦 
 
𝒂𝟐 − (𝒃 + 𝒄)² = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐). (𝑎 − 𝑏 − 𝑐) 
√𝑎² = 𝑎 √(𝑏 + 𝑐)² = 𝑏 + 𝑐 
 
Fatoração do trinômio quadrado perfeito 
 
A figura I representa um quadrado cujo lado mede 
(x + y) unidades de comprimento e cuja área pode 
ser escrita de duas maneiras: 
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦² ou (𝑥 + 𝑦)² 
 
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦² = (𝑥 + 𝑦). (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)² 
 Polinômio Forma fatorada do polinômio 
 
Na figura II , a região não hachurada representa 
um quadrado cujo lado mede (𝑥 − 𝑦)unidades de 
comprimento e cuja área pode ser representada de 
duas maneiras: 
 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚² ou (𝒙 − 𝒚)² 
 
𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦² = (𝑥 − 𝑦). (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)² 
Polinômio Forma fatorada do polinômio 
 
Exemplos: 
 
Fatores os polinômios: 
 
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙𝒚 + 𝟏𝟔𝒚² = (𝑥 + 4𝑦)² 
√𝑥² = 𝑥 √16𝑦² = 4𝑦 
 
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 = (𝑥 − 3)² 
√𝑥² = 𝑥 √9 = 3 
 
𝒂² − 𝟏𝟎𝒂𝒃 + 𝟐𝟓𝒃² = (𝑎 − 5𝑏)² 
√𝑎² = 𝑎 √25𝑏² = 5𝑏 
 
𝟏𝟔𝒚𝟐 + 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟗𝒙² = (4𝑦 − 9𝑥)² 
 
√16𝑦² = 4𝑦 √9𝑥² = 9𝑥 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Utilizando o que aprendeu sobre produtos 
notáveis, escreva o polinômio correspondente a: 
 
a) (8𝑥 + 1). (8𝑥 − 1) = 
b) (10 + 3𝑥)2 = 
c) (7𝑎 − 𝑏)2 = 
d) (𝑎3 + 𝑏³)2 = 
e) (𝑎2 − 4𝑦)2 = 
f) (2𝑥² + 1). (2𝑥² − 1) = 
2) (Saresp-SP) O polinômio 9𝑥2 − 25 é equivalente 
a: 
. 
a) (3𝑥 + 5). (3𝑥 − 5) 
b) (3𝑥 + 5). (3𝑥 + 5) 
c) (3𝑥 − 5). (3𝑥 − 5) 
d) 3𝑥. (3𝑥 − 25) 
 
3) (Saresp-SP) A expressão 𝑥2 − 𝑎² é 
equivalente a: 
 
a) −2𝑎𝑥 
b) (𝑥 − 𝑎)² 
c) (𝑥 + 𝑎)² 
d) (𝑥 − 𝑎). (𝑥 + 𝑎) 
 
 
4) (OBM) Se 𝑥 + 𝑦 = 8 e 𝑥𝑦 = 15, qual é o valor 
de 𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦2? 
 
a) 64 
b) 109 
c) 120 
d) 124 
e) 154 
 
5) Colocando o fator comum em evidência, 
fatore os seguintes polinômios: 
 
a) 6𝑎 + 3𝑏 = 
 
b) 5𝑥 + 10𝑦 = 
 
c) 3𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 = 
 
d) 𝑎𝑏 + 𝑎²𝑏² = 
 
6) Cada um dos polinômios seguintes representa 
uma diferença de dois quadrados. Fatore esses 
polinômios. 
 
a) 𝑎2 − 64 = 
 
b) 100 − 𝑏² = 
 
c) 𝑥4 − 81 = 
 
d) 𝑥6 − 169 = 
 
7) Sabendo que os trinômios a seguir são 
quadrados perfeitos, escreva a forma fatorada de 
cada um deles. 
 
a) 81𝑥2 − 18𝑥 + 1 = 
 
 
b) 4𝑏2 + 16𝑏𝑥 + 16𝑥² = 
 
 
c) 16𝑎4 + 8𝑎²𝑏 + 𝑏² = 
 
 
d) 100𝑝2 − 20𝑝𝑥 + 𝑥² =