Aula 6 - Equação da continuidade

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Analise quantitativa do comportamento do fluido em escoamentos 
Leis básicas para o estudo do comportamento do fluido
Basicamente a descrição do movimento dos fluidos é ancorada em 3 leis fundamentais 
· Conservação da massa
· Conservação da energia (mecânica)
· Conservação do momento (quantidade de movimento) 
Conservação da massa 
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Matematicamente para um sistema a conservação da massa é expressa por 
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Acompanhando minhas partículas ao longo do espaço
Precisamos de uma nova equação para descrever o fluido escoando em um espaço preestabelecido. Abordagem integral ou abordagem diferencial euleriana 
Conservação do momento (quantidade de movimento)
O momento ou quantidade de movimento descreve como a “energia de movimento” é transferida para corpos interagindo entre si 
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A transferência de quantidade de movimento (momento linear) é descrita pela segunda lei de Newton
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Obs: a segunda lei de newton também pode ser descrita em termo da variável momento linear ou quantidade de movimento (P) 
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Conservação de energia (1° lei da termodinâmica) 
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Sistemas fechados
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A principal perda de um fluido quando ele está em escoamento, é a perda por atrito
Sistemas abertos
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Não descreve perdas de energia por atrito
Como é descrito a perda ou ganho de energia pelo fluido ao longo do escoamento?
Reformulação da equação da 1° lei para um fluido em escoamento – lei da conservação da energia mecânica 
Equação geral para o comportamento do fluido pela formação integral 
Teorema de transporte de Reynolds 
Seja B, uma propriedade qualquer do fluido (energia, quantidade de movimento, etc) e beta sua grandeza intensiva correspondente 
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A variação instantânea global de B no sistema é a soma de sua variação no interior do VC, mais o seu fluxo que sai, menos o seu fluxo que entra: 
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Propriedade extensiva – tamanho, ex: massa (B)
Propriedade intensiva – temperatura, ex: temperatura da água (Beta)
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Conservação da massa e equação da continuidade
A equação integral da conservação da massa 
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Lei de conservação da massa estabelece
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Sendo p e V a massa especifica do fluido e o volume considerado, respectivamente
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Obs: para um determinado número de entradas e saídas, considerando velocidade média, de um volume de controle, pode-se escrever: 
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Sendo: m a vazão mássica de fluido (kg/s no S.I)
Casos especiais 
Escoamento permanente em estado estacionário – neste caso, o termo de acumulo é nulo, ou seja, não há variação de massa total no interior do volume de controle. Logo: 
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Entendendo o termo de acumulo 
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Escoamento incompressível e estacionário – apresenta variações desprezíveis de massa especifica e nada mais varia com o tempo. Neste caso, as massas especificas das correntes de entrada são iguais as das saídas. Logo, 
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Sendo: q a vazão volumétrica de fluido (m³/s no S.I)
A equação diferencial da conservação da massa 
Comentário: a equação da conservação de massa ou equação da continuidade pode ser obtida através de um balanço de massa num volume de controle diferencial ou infinitesimal. (abordagem euleriana)
Analise de termos de entrada e saída em um elemento infinitesimal – considere as taxas de massa que transpassam as faces de um volume de controle infinitesimal. O volume do elemento abaixo é dado por dxdydz
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*Taxa mássica acumulada = taxa mássica que entra – taxa mássica que sai*
Analise do termo de acumulo – a taxa de variação da massa no interior do volume infinitesimal (acúmulo de massa) pode ser definida como 
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Variação da taxa mássica 
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Posto que o operador vetorial, nabla, em coordenadas retangulares, é dado por:
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Desta forma a equação da continuidade pode, também, ser escrita em uma forma compacta 
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Casos especiais da equação da continuidade 
Escoamento incompressível – as variações de massa especifica são desprezíveis (Ma<0,3)
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