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AULA 3 - PRINCIPIOS DE MECANICA E RESISTENCIA DOS MATERIAIS

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Princípios de Mecânica 
e Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
Aula 3 
 
 
 
 
PROFESSOR MARCUS DE OLIVEIRA FILHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conversa Inicial 
Olá, aluno! Seja bem-vindo à terceira aula da disciplina “Princípios de Mecânica 
e Resistência dos Materiais! 
Neste encontro, serão apresentadas algumas propriedades geométricas de 
interesse para o estudo da Mecânica, como posição de centroide e momento de 
inércia. Veremos também como reduzir um carregamento distribuído simples. 
Por fim, estudaremos as treliças, que são estruturas comumente utilizadas pela 
construção civil e engenharia de estruturas. Usando o método dos nós e das 
seções, poderemos calcular as forças nestes componentes estruturais. 
Bons estudos! 
 
Antes de começar, confira no vídeo a seguir as considerações iniciais do 
professor Marcus Oliveira Filho. Acesse o material on-line e assista! 
 
 
 
 
 
 
Contextualizando 
Você já reparou como algumas situações do nosso cotidiano parecem desafiar 
o equilíbrio? 
 
Para entender porque isso acontece, precisamos aprender o que é centro de 
gravidade, centro de massa e centroide de um corpo, analisando também como 
aplicar esses conhecimentos técnicos em problemas concretos de Engenharia. 
Você sabe o que são treliças? Tratam-se de estruturas empregadas 
corriqueiramente em prédios, pontes, parques de diversões, telhados, torres etc. 
Importantes cartões postais mundiais são feitos de treliças, como a Golden Gate 
e a Torre Eiffel. 
Vamos aprender um pouco mais sobre esses conceitos e essas estruturas a 
partir de agora.
 
 
 
 
 
 
 
 
Problematização 
Um balde está carregado com 𝟓 𝑳 de água. Para determinar a força necessária 
para elevá-lo, devemos: 
a. Desconsiderar a distribuição da água dentro do balde. 
b. Encontrar um vetor de força equivalente ao peso da água. 
c. Este problema não pode ser resolvido por equilíbrio de forças, já que se 
trata de pressão da água sobre o balde. 
Tente resolver a atividade e, em seguida, veja a resolução. 
 
 
A alternativa correta é a letra “b”. Como veremos durante essa aula, encontrar 
um vetor de força equivalente ao carregamento distribuído da água é o método 
mais simples para resolver o problema. 
A alternativa “a” está errada, porque não é possível desconsiderar a distribuição 
(geometria do balde e quantidade de água). A alternativa “c” também está errada, 
porque o problema pode ser resolvido através de um diagrama de corpo livre e 
equilíbrio de forças. 
 
 
 
 
 
 
Tema 1: Centro de gravidade e de massa 
Um corpo é composto de uma série infinita de partículas com tamanhos 
diferenciados. Dessa forma, se ele estiver localizado dentro de um campo 
gravitacional, então cada uma das partículas terá um peso 𝑑𝑊 (Figura 1). A 
resultante desse sistema é o peso total do corpo, que passa por um único ponto, 
chamado centro de gravidade, 𝐺 (Figura 2). 
 Figura 1 Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento da resultante 𝑊 em relação ao eixo x é igual à soma dos momentos, 
em relação ao mesmo eixo, das forças gravitacionais 𝑑𝑊 atuando em todas as 
partículas do corpo, tratadas como elementos infinitesimais. Se 𝑑𝑊 estiver 
localizado no ponto (�̃�, �̃�, �̃�), então: 
𝑀𝑥 = 𝑑𝑊. 𝑦 ∑𝑀𝑥 = ∫ �̃� 𝑑𝑊 𝑊�̅� = ∫ �̃� 𝑑𝑊 
Como 𝑊 = ∫ 𝑑𝑊, temos: 
�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
 
 
De forma análoga para os outros eixos, tem-se: 
�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
 𝑧̅ =
∫ �̃� 𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
 (1) 
 
Na equação 1: 
�̅�, �̅�, 𝑧̅ são as coordenadas do centro de gravidade 𝐺. 
�̃�, �̃�, �̃� são as coordenadas de cada partícula no corpo. 
 
 
 
 
Centro de massa de um corpo 
Para estudar a resposta dinâmica ou o movimento acelerado de um corpo, é 
importante localizar seu centro de massa 𝐶𝑚. Para isso, deve-se substituir 𝑑𝑊 =
𝑔 𝑑𝑚 nas equações (1). Como 𝑔 é constante, ele é cancelado. Tem-se, então: 
Equação 1: 
 
Substituindo 𝑑𝑊 por e considerando que a gravidade 𝑔 é cancelada, temos: 
 
Equação 2: 
�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 𝑧̅ =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 (2) 
 
Centroide de volume 
Se um corpo é feito de um material homogêneo, então sua densidade 𝜌 será 
constante. Portanto, um elemento diferencial de volume 𝑑𝑉 tem uma massa 
𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉. Substituindo essa massa nas equações (2) e cancelando 𝜌, obtemos 
as fórmulas que localizam o centroide 𝐶 ou centro geométrico do corpo: 
Equação 2: �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 𝑧̅ =
∫ 𝑧 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo dm por dV e cancelando a densidade p, temos: 
Equação 3: �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝑑𝑉𝑉
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝑑𝑉𝑉
 𝑧̅ =
∫ 𝑧 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝑑𝑉𝑉
 (3) 
Centroide de uma área 
Considere uma área que se encontra no plano 𝑥-𝑦 e está contornada pela curva 
𝑦 = 𝑓(𝑥): 
 
 
O centroide desta área estará nesse plano e pode ser determinado a partir de 
integrais semelhantes às equações (3): 
 
 
 
 
 
 
 
Centroide de uma linha 
Considere um segmento de linha (ou barra) que está dentro do plano 𝑥-𝑦 e pode 
ser descrito por uma curva fina 𝑦 = 𝑓(𝑥): 
 
O centroide desta linha é determinado por: 
�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝐿
𝐿
∫ 𝑑𝐿
𝐿
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝐿
𝐿
∫ 𝑑𝐿
𝐿
 (5) 
Sobre o que vimos nesse primeiro tema, é importante destacar alguns pontos: 
 O centroide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto 
coincide com o centro de massa somente se o material que compõe o corpo for 
uniforme e homogêneo. 
 As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centroide 
simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de todas 
as partes do sistema e o momento da “resultante” para o sistema. 
 Em alguns casos, o centroide está localizado em um ponto fora do objetivo 
analisado (como no caso de um anel). 
 O centroide estará sobre qualquer eixo de simetria, se houver simetria no 
corpo. 
 
 
 
 
 
Leitura obrigatória: 
Para aprender mais sobre o cálculo das integrais necessárias para encontrar o 
valor dos centroides de volume, de área e de linha, clique no botão a seguir e 
procure o livro “Estática – Mecânica para Engenharia”, de R. C. Hibbeler (12ª 
edição). Nas páginas 339 a 340 você encontra informações importantes sobre 
os conteúdos desse tema! 
Vá até o material on-line e faça a leitura sugerida! 
 
Assista ao vídeo do professor Marcus Oliveira Filho. Ele vai resolver dois 
exemplos do livro base dessa disciplina! Confira no material on-line! 
 
Corpos compostos 
Um corpo composto consiste de uma série de corpos, de formas mais simples, 
conectados. Ele normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes 
e componentes e, desde que o peso e a localização do centro de gravidade de 
cada uma dessas partes sejam conhecidos, elimina-se a necessidade de 
integração para determinar o centro de gravidade para o corpo inteiro. 
Pode-se encontrar as coordenadas de �̅�, �̅� e 𝑧̅ do centro de massa do corpo 
composto por meio das seguintes fórmulas: 
�̅� =
∑𝑚𝑖𝑥𝑖
∑𝑚𝑖
 �̅� =
∑𝑚𝑖𝑦𝑖
∑𝑚𝑖
 𝑧̅ =
∑𝑚𝑖𝑧𝑖
∑𝑚𝑖
 
A fórmula para cálculo do centroide de área de um corpo composto é a seguinte: 
�̅� =
∑𝐴𝑖𝑥𝑖
∑𝐴𝑖
 �̅� =
∑𝐴𝑖𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
 
Para entender como aplicá-la, clique no botão e acesse novamente o livro 
“Estática”, de Hibbeler. O exemplo 9.10 das páginas 357 e 358 apresenta os 
passos para solução de forma detalhada. 
 
Tema 2: Momento de inércia 
Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua 
intensidade varia linearmente, o cálculo do momento da distribuição de carga em 
relação a um eixo