[RESOLUÇÃO] Problema 1.14 - Mecânica Quântica - D.Griffiths

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[ESTRUTURA DA MATÉRIA] LISTA 1
Vinicius Carvalho.
JULHO DE 2021
Questão 2
Problema 1.14
Seja Pab(t) a probabilidade de encontrar
uma particula no intervalo (a < x < b) no
instante t
(a) Mostre que
dPab
dt
= J(a, t)− J(b, t)
Onde
J(x, t) ≡ i~
2m
(
Ψ
∂Ψ∗
∂x
−Ψ∗∂Ψ
∂x
)
(1)
Quais são as unidades de J(x, t)?
Observação: J é chamada de corrente de
probabilidade, pois estabelece a taxa com que
a probabilidade flui através do ponto x, Se
Pab(t) aumenta, então mais probabilidade
está fluindo para dentro da região em uma
extremidade do que etá fluindo para fora na
outra.
(b) Encontre a corrente de probabilidade
para a função de onda no Problema 1.9
(Nãoacho que esse exemplo seja muito
bom;encontraremos outros mais instrutivos
oportunamente)
Resolução
item (a):
Pab =
∫ b
a
|Ψ|2dx
Pab =
∫ b
a
Ψ∗.Ψdx
dPab
dt
=
∫ b
a
Ψ
∂Ψ∗
∂t
+ Ψ∗
∂Ψ
∂t
dx (2)
Sendo:
∂Ψ∗
∂t
= − i~
2m
∂2Ψ∗
∂x2
+
i
~
V Ψ∗ (3)
∂Ψ
∂t
=
i~
2m
∂2Ψ
∂x2
− i
~
V Ψ (4)
Substituindo (3) e (4) em (2):
dPab
dt
=
∫ b
a
Ψ
(
− i~
2m
∂2Ψ∗
∂x2
+
i
~
V Ψ∗
)
+
Ψ∗
(
i~
2m
∂2Ψ
∂x2
− i
~
V Ψ
)
dx
dPab
dt
= − i~
2m
∫ b
a
∂2Ψ∗
∂x2
Ψ− ∂
2Ψ
∂x2
Ψ∗dx
dPab
dt
= − i~
2m
∫ b
a
∂
∂x
(
∂Ψ∗
∂x
Ψ− ∂Ψ
∂x
Ψ∗
)
dx
Sendo que:
i~
2m
(
∂Ψ∗
∂x
Ψ− ∂Ψ
∂x
Ψ∗
)
= J(x, t)
Logo:
dPab
dt
= −[J(x, t)]b
a
1
dPab
dt
= [J(x, t)]
a
b
dPab
dt
= J(a, t)− J(b, t)
A dimensão:
{J} = s−1
Item (b):
Problema 1.9 Uma particula de massa m
está no estado
Ψ(x, t) = Ae−a[(mx
2/~)+it]
Onde A e a sao constantes reais positivas.
Resolução:
Para calcular J precisamos de
∂Ψ
∂x
e
∂Ψ∗
∂x
,
onde:
Ψ(x, t) = Ae−a[(mx
2/~)+it]
Ψ∗(x, t) = Ae−a[(mx
2/~)−it]
Derivando parcialmente ambos, temos:
∂Ψ
∂x
= A
(
− 2amx
~
)
e−a[(mx
2/~)+it] (5)
∂Ψ∗
∂x
= A
(
− 2amx
~
)
e−a[(mx
2/~)−it] (6)
De (5) e (6) em (1);
J(x, t) =
i~
2m
[
A
(
− 2amx
~
)
e−a[
mx2
~ −it]
]
Ae−a[
mx2
~ +it]
− i~
2m
[
A
(
−2amx
~
)
e−a[
mx2
~ +it]
]
Ae−a[
mx2
~ −it]
J(x, t) =
i~
2m
[
A2
(
− 2amx
~
)
e−2amx
2/~
−A2
(
− 2amx
~
)
e−2amx
2/~
]
J(x, t) = 0
2