AOL 3 GEOMETRIA ANALITICA

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Pergunta 1 
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Define-se interseção entre dois objetos quaisquer quando há um encontro entre 
esses objetos em um espaço pré-definido. Isso significa que, pelo menos, existe um 
ponto em comum entre esses objetos geométricos. Com relação a retas e planos, 
essa mesma ideia se mantém. Considere a equação paramétrica de uma reta (r), e a 
equação geral de um plano (ᴨ) a seguir: 
 
 
GEOME ANALI UNID 3 QUEST 7.PNG 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre interseção entre 
retas e planos, pode-se dizer que é possível encontrar a interseção entre eles 
porque: 
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o produto escalar entre os objetos geométricos é positivo, o que 
possibilita a determinação do ponto de interseção. 
os vetores normais de ambos são paralelos, logo, eles se intersecionam. 
Incorreta: 
é possível encontrar um conjunto de pontos pertencentes a ambos 
objetos geométricos. 
o parâmetro t, presente na equação da reta r, é nulo, o que possibilita o 
cálculo do ponto de interseção. 
é possível encontrar um ponto pertencente a ambos 
objetos geométricos. 
Resposta correta 
Pergunta 2 
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Em Geometria Analítica, conhecendo algumas informações algébricas dos objetos 
matemáticos estudados, é possível calcular posições relativas entres esses objetos. 
Os planos, por exemplo, possuem duas posições relativas, descritas pela 
representação geométrica abaixo: 
 
 
GEOME ANALI UNID 3 QUEST 6.PNG 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre classificação dos 
planos, é correto afirmar que as informações algébricas que distinguem cada uma 
das posições relativas dos planos podem se referir à quantidade de pontos 
pertencentes a eles porque: 
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a primeira representação algébrica tem 0 pontos pertencente a eles, 
enquanto a segunda tem cerca de 3 pontos. 
em ambas representações, a quantidade de pontos pertencentes a 
ambos é nula. 
a primeira representação algébrica refere-se a planos coplanares que 
têm 0 pontos pertencente a ambos, e a segunda a infinitos pontos. 
a primeira representação refere-se ao paralelismo, 
que indica 0 pontos pertencentes a ambos, e a 
segunda representa infinitos pontos. 
Resposta correta 
a primeira representação refere-se ao paralelismo entre eles, enquanto 
a segunda refere-se ao coplanarismo, tendo infinitos pontos 
pertencentes. 
Pergunta 3 
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A distância entre objetos geométricos como pontos se dá de forma sucinta: aplica-se 
a fórmula da distância euclidiana e encontra-se o valor dessa distância. Para calcular 
a distância entre duas retas, porém, deve-se haver uma discussão acerca de suas 
possíveis posições relativas, antes de considerar cálculos algébricos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre retas, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. A distância entre retas concorrentes é nula. 
II. Retas paralelas podem ter sua distância calculada tendo como base um ponto e 
uma reta. 
III. A distância entre duas retas reversas depende do produto misto entre elas. 
IV. A distância entre retas paralelas e retas concorrentes é igual. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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I e II. 
II e IV. 
I, II e III. 
Resposta correta 
I e IV. 
I, II e IV. 
Pergunta 4 
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O conhecimento acerca das posições relativas entre duas retas é fundamental para 
que se determine qual abordagem algébrica utilizar para calcular, por exemplo, a 
distância entre elas. No caso das retas reversas, a manipulação algébrica envolve 
conceitos matemáticos mais avançados. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre retas, 
afirma-se que o cálculo da distância entre retas reversas envolve conceitos mais 
avançados porque: 
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utiliza-se uma conjunção de fórmulas de distâncias entre objetos 
geométricos. 
ele envolve o conceito de norma de um vetor, e de vetor unitário, 
tópicos avançados em Geometria Analítica. 
trabalha-se com o conceito de produto vetorial e com a norma dos 
vetores utilizados. 
calcula-se a norma dos vetores utilizados, o que demanda uma 
manipulação algébrica avançada. 
ele envolve a utilização do produto misto, que é uma 
manipulação algébrica que une o produto vetorial e o 
produto escalar de vetores. 
Resposta correta 
Pergunta 5 
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Para se efetuar o cálculo da distância entre retas é necessário, de antemão, realizar 
a discussão de algumas possibilidades. Distinguir entre retas paralelas, concorrentes 
ou reversas, por exemplo, pode exigir tipos diferentes de abordagens algébricas. Em 
outras palavras, conhecer os tipos de retas delimitam a maneira com que será 
efetuado, ou não, o cálculo da distância entre elas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de distância entre 
retas, pode-se afirmar que a distância entre duas retas r1 e r2 concorrentes é nula 
porque: 
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retas concorrentes têm um ponto em comum, e a 
distância de um ponto para ele mesmo é nula. 
Resposta correta 
os vetores normais das retas são perpendiculares entre si, o que resulta 
na distância nula. 
o produto escalar entre esses objetos resulta em um número positivo, 
correspondente à distância entre eles. 
o produto vetorial entre seus vetores diretores é positivo, o que resulta 
em sua distância ser nula. 
as retas concorrentes são também perpendiculares, o que resulta na 
distância nula entre elas. 
Pergunta 6 
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Com o intuito de se calcular o ângulo formado entre dois planos, é necessário, 
primeiro, encontrar os valores de seus vetores normais. Os vetores normais de cada 
plano podem ser identificados pela equação cartesiana dos planos, que é escrita na 
forma ᴨ: ax+by+cz = d. Considere os dois planos abaixo, definidos pelas seguintes 
equações cartesianas: 
ᴨ1 : x+y+z = 10 
ᴨ2 : x+y+z = 0 
Tendo em vista essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulo entre 
planos, afirma-se que os planos são paralelos porque: 
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os vetores normais dos planos ᴨ1 e ᴨ2 são iguais. 
Resposta correta 
os valores são positivos de cada um dos seus coeficientes. 
as retas perpendiculares a cada um dos planos são concorrentes. 
o coeficiente d, de cada um dos planos é diferente. 
os planos são definidos em um mesmo espaço geométrico. 
Pergunta 7 
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A distância entre uma reta e um plano pode ser entendida e calculada de diversas 
maneiras algébricas. Por exemplo, é possível calcular a distância de uma reta a um 
plano, considerando um ponto do plano e a equação da reta estudada. Além disso, 
há outra maneira de se efetuar esse mesmo cálculo com objetos matemáticos 
diferentes. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre reta e 
plano, pode-se afirmar que se pode calcular a distância entre reta e plano 
considerando um ponto da reta e a equação do plano porque: 
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pode-se calcular o vetor normal da reta calculada no ponto que 
resultará na distância entre eles. 
pode-se calcular a distância entre o ponto da reta e uma reta 
pertencente ao plano estudado. 
utiliza-se a fórmula da distância entre um ponto e um 
plano para efetuar o cálculo da distância. 
Resposta correta 
o ponto e o plano serão concorrentes, sendo a distância entre eles nula. 
pode-se calcular outro ponto no plano e calcular a distância entre eles 
pelo vetor normal a eles. 
Pergunta 8 
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Os pontos são os objetos geométricos utilizados como base para definir toda a 
Geometria Analítica. A partir deles, consegue-se definir, por exemplo, retas (dois 
pontos) e planos (3 pontos não colineares). Portanto, encontrar informações acerca 
desses objetos é fundamental para o desenvolvimento da geometria. Considere dois 
pontos arbitrários A e B, de coordenadas dadas. 
A: (3,2,2) 
B: (0,0,0) 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre 
pontos, pode-se afirmarque a distância entre os pontos é possível de ser calculada 
porque: 
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a distância entre os pontos é uma medida que pode ser definida por 
meio de suas coordenadas cilíndricas. 
a distância entre pontos é definida através do cálculo 
da raiz quadrada da soma das diferenças quadradas 
de suas coordenadas. 
Resposta correta 
os valores presentes nas coordenadas dos pontos são positivos ou 
nulos. 
o produto escalar entre esses objetos resulta em um número positivo, 
correspondente a distância entre eles. 
é possível encontrar um vetor normal para cada um dos pontos, 
possibilitando o cálculo da distância. 
Pergunta 9 
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Planos são objetos geométricos definidos por três pontos não colineares (A, B e C), 
tal como apresenta a representação geométrica abaixo. Sabe-se, também, que os 
planos têm dimensões infinitas, ou seja, são prolongados indefinidamente em todas 
as direções. 
 
 
GEOME ANALI UNID 3 QUEST 5.PNG 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre classificação dos 
planos, tendo como base dois planos, afirma-se que eles assumem dois tipos 
possíveis de posição relativa porque: 
Ocultar opções de resposta 
como o ângulo entre os planos é calculado por meio de seus vetores 
normais, eles são concorrentes ou coplanares. 
Incorreta: 
planos definidos no mesmo espaço vetorial têm a mesma quantidade de 
pontos pertencentes a eles. 
os planos devem ser concorrentes ou coplanares, contendo a mesma 
quantidade de pontos. 
eles devem se intersecionar ou devem ser paralelos, 
uma vez que outra posição relativa é impossível. 
Resposta correta 
os planos que são concorrentes contêm, no mínimo, 5 pontos em 
comum, o que possibilita encontrar suas posições relativas. 
Pergunta 10 
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Os planos são objetos geométricos que podem ser definidos por diversos tipos de 
equações. As equações cartesianas dos planos auxiliam na determinação de outros 
objetos geométricos importantes, por exemplo, para o cálculo do ângulo entre dois 
planos. Reconhecer quais são esses objetos e conseguir calcular o ângulo por meio 
do algoritmo é extremamente importante para o estudo desse tema. 
Tendo em vista a relação supracitada e o conteúdo estudado sobre ângulo entre 
planos, analise e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência em que 
devem ser efetuados os passos para a se obter a o ângulo entre dois planos: 
( ) Encontrar as coordenadas dos vetores normais. 
( ) Calcular a razão entre o módulo do produto escalar e o produto das normas dos 
vetores. 
( ) Calcular o arco cosseno do valor encontrado. 
( ) Calcular o produto das normas de cada um dos vetores normais. 
( ) Calcular o produto escalar dos vetores normais. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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2, 4, 1, 5, 3. 
3, 4, 2, 1, 5. 
2, 1, 3, 4, 5. 
1, 2, 3, 5, 4. 
1, 4, 5, 3, 2.RESPOSTA CORRETA