Fisica_Geral_III-VICTOR_FRANCA

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Professor: Leocádio Física Geral 3 lista 2 
Nome: Victor Castro De Franca 
 
1) Na Figura, as fontes ideais têm forças eletromotrizes ∈1 = 12 V e ∈ 2 = 6,0 V e os resistores 
têm resistências R1 = 4,0 𝛀 e R2 = 8𝛀. Determine (a) a corrente no circuito; (b) a potência 
dissipada no resistor l; (c) a potência dissipada no resistor 2; (d) a potência fornecida pela fonte 
l; (e) a potência fornecida pela fonte 2. (f) A fonte l está fornecendo ou recebendo energia? (g) 
A fonte 2 está fornecendo ou recebendo energia? 
 
Resposta: 
(a) Seja i a corrente no circuito e vamos tomar como positivo o sentido para a esquerda em 
R1. De acordo com a regra das malhas, ∈1 – iR2 – iR1 – ∈2 = 0. Explicitando i, temos: 
𝑖 =
∈ 1−∈ 2
R2 + R1 
= 
12𝑣 − 6𝑣
4Ω + 8Ω
= 0,5𝐴 
Como o valor calculado é positivo, o sentido da corrente é o sentido anti-horário. Se i é a 
corrente em um resistor R, a potência dissipada pelo resistor 
é dada por P = i2R. 
 
b) PR1 = i2R = (0,50 𝐴)
2(4,0 Ω) = 1,0 W. 
 
c) PR2 = i2R = (0,50 𝐴)
2(8,0 Ω) = 2,0 W. 
 
De acordo com a Equação P= iV, se i é a corrente em uma fonte de fem ԑ, P = i ԑ é a 
potência fornecida pela fonte se a corrente e a fem têm o mesmo sentido, e é a potência 
absorvida pela fonte, se a corrente e a fem têm sentidos opostos. 
 
d) Pϵ1 = i∈1 = (0,50 A)(12 V) = 6,0 W. 
 
e) Pϵ1 = i∈1 = (0,50 A)(6,0 V) = 3,0 W. 
 
f) Como, no caso da fonte 1, a corrente tem o mesmo sentido que a fem, a fonte 1 está 
fornecendo energia ao circuito. 
 
g) Como, no caso da fonte 2, a corrente e a fem têm sentidos opostos, a fonte 2 está 
recebendo 
energia do circuito. 
 
2) Na Figura abaixo, as fontes ideais têm forças eletromotrizes ∈ 1 = 150 V e ∈ 2 = 50 V e os 
resistores têm resistências R 1 = 3,0 𝛀 e R2 = 2,0 𝛀. Se o potencial no ponto Pé tomado como 
100 V, qual é o potencial no ponto Q? 
 
Resposta: 
A corrente no circuito é: 
 i=(150V-50V)/(3,0Ω+2,0Ω)=20A. 
Como VQ + 150V – (2,0Ω) i=VP, VQ= 100 V + (2,0 Ω)(20 A) –150 V = –10 V. 
 
3) Uma bateria de automóvel com uma força eletromotriz de 12 V e uma resistência interna de 
0,040 𝛀 está sendo carregada com uma corrente de 50 A. Determine a) a diferença de potencial 
V entre os terminais da bateria; b) a potência 𝑃𝑟. dissipada no interior da bateria; c) a potência 
𝑃𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 fornecida pela bateria. Se a bateria depois de carregada é usada para fornecer 50A ao motor 
de arranque, determine d) V; e) 𝑃𝑟. 
Resposta: 
a) A diferença de potencial é V = ∈ + ir = 12 V + (50 A)(0,040 Ω) = 14 V. 
 
b) P = 𝑖2r = (50 𝐴)2(0,040 Ω) = 1,0×102 W. 
 
c) P’ = iV = (50 A)(12 V) = 6,0×102 W. 
 
d) V = ∈ – ir = 12 V – (50 A)(0,040 Ω) = 10 V. 
 
e) 𝑃𝑟= 𝑖
2r = (50 𝐴)2(0,040 Ω) = 1,0×102 W. 
 
4) A Figura mostra um conjunto de quatro resistores que faz parte de um circuito maior. O gráfico 
abaixo do circuito mostra o potencial elétrico V(x) em função da posição x ao longo do ramo 
inferior do conjunto, do qual faz parte o resistor 4; o potencial, 𝑉𝑎 é 12,0 V. O gráfico do circuito 
mostra o potencial elétrico V(x) em função da posição x ao longo do ramo superior do conjunto, 
do qual fazem parte os resistores 1, 2 e 3; as diferenças de potencial são ∆𝑉𝑏 = 2,00 V e ∆𝑉𝑐 = 
5,00 V. O resistor 3 tem uma resistência de 200 𝛀. Determine a resistência (a) do resistor l; (b) 
do resistor 2. 
 
Resposta: 
a) Como, de acordo com a regra das malhas, a queda de tensão no ramo superior deve ser 
12V, a queda de tensão no resistor 3 é 5,0 V. Isso significa que a corrente no ramo superior 
é: i = (5,0 V)/(200 Ω) = 25 mA 
Nesse caso, a resistência do resistor 1 é: (2V) /i = 80 Ω. 
 
b) A resistência do resistor 2 é: (5,00 V)/(25 mA) = 200 Ω. 
 
5) Uma corrente de 5,0 A é estabelecida de um circuito durante 6,0 min por uma bateria 
recarregável com uma força eletromotriz de 6,0 V. Qual é a redução da energia química da 
bateria? 
Resposta: 
A energia química da bateria é reduzida de ∆E = q∈, na qual q é a carga que passa pela bateria 
em um intervalo de tempo ∆t = 6,0 min e â é a fem da bateria. Se i é a corrente, q = i∆t, e 
∆E = i∈∆t = (5 A)(6 V) (6,0 min) (60 s/min) = 1,1 × 104 J = 11 kJ. 
Obs: foi necessário converter o tempo de minutos para segundos. 
 
6) Uma pilha comum de lanterna pode fornecer uma energia de ordem de 2,0 W · h antes de se 
esgotar. a) se uma pilha custa US$0,80, quanto custa manter acesa uma lâmpada de 100 W durante 
8,0 b usando pilhas? b) Quanto custa manter acesa a mesma lâmpada usando a eletricidade da 
tomada se o preço da energia elétrica é US$ 0.06 por quilowatt-hora? 
Resposta: 
a) O custo é (100 W x 8,0 h/2,0 W x h) ($0,80) = $3,2 × 102. 
b) O custo é (100 W x 8,0 h/10 3W x h) ($0,06) = $0,048. 
 
7) Um fio com uma resistência de 5,0 n é ligado a uma bateria cuja força eletromotriz ξ é 2,0 V e 
cuja resistência interna é 1,0 Ω. Em 2,0 min. qual é a) a energia química consumida pela bateria; 
b) a energia dissipada pelo fio; c) a energia dissipada pela bateria? 
Respostas: 
a) A energia química consumida pela bateria é: 
 U= Pt = 
ԑ2𝑡
𝑟+𝑅
 = 
(2𝑣)2(2,0 min )(60𝑠 min⁄ )
1 Ω +5Ω
 = 80j. 
b) A energia dissipada pelo fio é: 
U’= 𝑖2Rt = (
ԑ
𝑟 +𝑅
)2 Rt = (
2𝑣
1 Ω +5Ω
)2 (5𝛺)(2 𝑚𝑖𝑛)(60 𝑠 ∕ 𝑚𝑖𝑛) = 67j 
 
c) A energia dissipada pela bateria é U - U′ = 80 J - 67 J = 13 J. 
 
8) Uma bateria de automóvel com uma força eletromotriz de 12,0V tem uma carga inicial de 120 
A· h. Supondo que a diferença de potencial entre os terminais permanece constante até a bateria 
se descarregar totalmente, durante quantas horas a bateria é capaz de fornecer uma potência de 
100 W? 
Resposta: 
Se P é a potência fornecida pela bateria e ∆t é um intervalo de tempo, a energia fornecida no 
intervalo de tempo ∆t é ∆E = P∆t. Se q é a carga que passa pela bateria no intervalo de tempo 
∆t e â é a fem da bateria, ∆E = qԑ. Igualando as duas expressões de ∆E, explicitando ∆t, obtemos; 
∆t= 
𝑞ԑ
𝑃
=
(120 𝐴.𝐻)(12𝑣)
100𝑊
 = 14,4 h. 
 
9) (a) Qual é o trabalho, em elétrons-volts, realizado por uma fonte ideal de 12 V sobre um elétron 
que passa do terminal positivo da fonte para o terminal negativo? (b) Se 3,40 X 1018elétrons 
passam pela fonte por segundo, qual é a potência da fonte em watts? 
Reposta: 
a) O trabalho W realizado pela fonte é igual à variação de energia potencial: 
W = q∆V = eV = e(12,0 V) = 12,0 eV. 
b) P = iV = neV = (3,40 × 1018/s)(1,60 × 10−19 C)(12,0 V) = 6,53 W 
 
10) a) Na Figura, qual deve ser o valor de R para que a corrente no circuito seja 1,0 mA? Sabe-se 
que ∈ 1= 2,0 V, ∈ 2 = 3,0 V, r1 = r2 = 3,0 𝛀. (b) Qual é a potência dissipada em R? 
 
Resposta: 
a) De acordo com a regra das malhas, i = (∈2 – ∈1)/(r1 + r2 + R). Explicitando R, obtemos: 
R= 
∈2−∈1
𝑖
 - 𝑟1-𝑟2= 
3𝑉−2𝑉
1,0𝑥10−3
 - 3𝛀- 3𝛀 = 9,9x102𝛀. 
b) P = 𝑖2R = (1,0 × 10−3 A)2(9,9 × 102 Ω) = 9,9 × 10−4 W. 
 
11) Na Figura, o trecho AB do circuito dissipa uma potência de 50 W quando a corrente i = 1,0A 
tem o sentido indicado. O valor da resistência R é 2,0 𝛀. (a) Qual é a diferença de potencial entre 
A e B? O dispositivo X não possui resistência interna. (b) Qual é a força eletromotriz do 
dispositivo X? (c) O ponto B está ligado ao terminal positivo ou ao terminal negativo do 
dispositivo X? 
 
Resposta: 
a) Se i é a corrente e ∆V é a diferença de potencial, a potência absorvida é dada por P = i∆V. 
Assim; 
∆V= 
𝑃
𝑖
 = 
50𝑤
1𝐴
 = 50V 
Como existe uma dissipação de energia entre o ponto A e o ponto B, o ponto A está a um 
potencial mais elevado que o ponto B, ou seja, VA – VB = 50 V. 
b) A diferença de potencial entre os pontos A e B é VA – VB = +iR + ∈, na qual ∈ é a fem 
do dispositivo X. Assim; 
∈= VA – VB – iR = 50 V – (1,0 A)(2,0 Ω) = 48 V. 
c) Como o valor de ∈ é positivo, o terminal positivo está do lado esquerdo e, portanto, o 
ponto B está ligado ao terminal negativo. 
 
12) A Figura mostra um resistor de resistência R = 6,00 𝛀 ligadoa uma fonte ideal de força 
eletromotriz ξ= 12,0 V através de dois fios de cobre. Cada fio tem 20,0 cm de comprimento e 1,00 
mm de raio. Neste capítulo, desprezamos a resistência dos fios de ligação. Ve1ifique se a 
aproximação é válida para o circuito da Figura, determinando a) a diferença de potencial entre as 
extremidades do resistor; b) a diferença de potencial entre as extremidades de um dos fios; c) a 
potência dissipada no resistor; d) a potência dissipada em um dos fios. 
 
Resposta: 
a) Para cada fio, Rfio = rL/A, na qual A = π𝑟2. Assim, temos: 
 
Rfio = (1,69 × 10−8 Ω . m)(0,200 m)/p(0,00100 m)2 = 0,0011 Ω. 
 
A carga resistiva total da fonte é, portanto; 
 
Rtot = 2Rfio + R = 2(0,0011 Ω) + 6,00 Ω = 6,0022 Ω 
 
A corrente do circuito é, portanto; 
 
𝑖 =
∈
Rtot
 = 
12𝑉
6,0022𝛺
 = 1,9993A 
 
e a diferença de potencial entre as extremidades do resistor é; 
 
V = iR = (1,9993 A)(6,00 Ω) = 11,996 V ≈ 12,0 V. 
b) A diferença de potencial entre as extremidades de um dos fios é; 
Vfio = iRfio = (1,9993 A)(0,0011 Ω) = 2,15 mV. 
 
c) 𝑃𝑅= 𝑖
2R = (1,9993 A)2(6,00 Ω) = 23,98 W ≈ 24,0 W. 
 
d) Pfio = 𝑖2Rfio = (1,9993 A)2(0,0011 Ω) = 4,396 mW ≈ 4,40 mW. 
13) Um cabo subterrâneo de 10 km de comprimento está orientado na direção leste-oeste e é 
formado por dois fios paralelos, ambos com uma resistência de 13 𝛀/km. Um defeito no cabo faz 
com que surge a uma resistência efetiva R entre os fios a uma distância x da extremidade oeste. 
Com isso, a resistência total do fios passa a ser 100 𝛀 quando a medida é realizada na extremidade 
leste e 200 𝛀 quando a medida é realizada na extremidade oeste. Determine (a) o valor de x; (b) 
o valor de R. 
 
Resposta: 
a) Se L é o comprimento do cabo e a é a resistência do cabo por unidade de comprimento, 
a resistência medida na extremidade leste é; 
𝑅1 = 100 Ω = 2α(L – x) + R 
e a resistência medida na extremidade oeste é; 
𝑅2 = 2 α x + R. 
Assim; 
x= 
𝑅2− 𝑅1 
4α
+
𝐿
2
 = 
200𝛺− 100𝛺 
4(13Ω km⁄ )
+
10𝑘𝑚
2
 = 6,9 km. 
b) Temos também: 
R = 
𝑅2− 𝑅1 
2
− αL = 
100𝛺− 200𝛺 
2
− (13Ω km⁄ )(10km) = 20𝜴. 
 
 
 
14) Na Figura a, as duas fontes têm uma força eletromotriz ξ = 1,20 V e a resistência externa R é 
um resistor variável. A Figura b, mostra as diferenças de potencial V entre os terminais da duas 
fontes em função de R: a curva 1 corresponde à fonte l e a curva 2 corresponde à fonte 2. A escala 
horizontal é definida por R, = 0,20 𝛀. Determine (a) a resistência interna da fonte l; (b) a 
resistência interna da fonte 2. 
 
Resposta: 
a) Vamos chamar de V1 e V2 as fem das fontes. De acordo com a regra das malhas, 
𝑉2 - i𝑟2 + 𝑉1 - i𝑟1 - iR = 0 → 𝑖 =
𝑉2+ 𝑉1
𝑟1+ 𝑟2+𝑅
 
A diferença de potencial entre os terminais da fonte 1 é 𝑉1𝑡 = 𝑉1 − 𝑖𝑟1 e a diferença de 
potencial entre os terminais da fonte 2 é 𝑉2𝑡 = 𝑉2 − i𝑟2, na qual r1 e r2 são as resistências 
internas das fontes 1 e 2, respectivamente. Assim; 
𝑉1𝑡= 𝑉1 − 
𝑟1( 𝑉2+𝑉1)
𝑟1+ 𝑟2+𝑅
 , 𝑉2𝑡 = 𝑉2 − 
𝑟1( 𝑉2+𝑉1)
𝑟1+ 𝑟2+𝑅
 . 
De acordo com o enunciado, 𝑉1= 𝑉2= 1,20 V. De acordo com o gráfico da Figura b, 𝑉2𝑡= 
0 e 𝑉1𝑡= 0,40 V para R = 0,10 Ω. Substituindo esses valores nas equações anteriores, 
obtemos um sistema de duas equações com duas incógnitas, r1 e r2. Resolvendo esse 
sistema, obtemos r1 = 0,20 Ω. 
b) A solução do sistema de equações também nos dá r2 = 0,30 Ω 
 
15) A corrente em um circuito com uma única malha e uma resistência R é 5,0 A. Quando uma 
resistência de 2,0 n é ligada em série com R, a corrente diminui para 4,0 A. Qual é o valor de R? 
Resposta: 
Vamos chamar de V a fem da fonte. Nesse caso, V = iR = i’(R + R’), na qual i = 5,0 A, i’ = 
4,0 A e R’ = 2,0 Ω. Explicitando R, obtemos: 
R = 
𝑖′𝑅′
𝑖−𝑖′
 = 
(4𝐴)(2𝛺)
(5𝐴)−(4𝐴)
 = 8𝛀. 
 
16) Uma célula solar produz uma diferença de potencial de 0,10 V quando um resistor de 500 𝛀 
é ligado a seus terminais e uma diferença de potencial de 0.15 V quando o valor do resistor é 1000 
𝛀. Determine a) a resistência interna e b) a força eletromotriz da célula solar. c) A área da célula 
é 5,0 𝑐𝑚2e a potência luminosa recebida é 2,0 mW/c𝑚2. Qual é a eficiência da célula ao converter 
energia luminosa em energia térmica fornecida ao resistor de 1000 𝛀? 
Resposta: 
a) Seja ∈ a fem da célula solar e seja V a diferença de potencial entre os terminais da célula. 
Nesse caso; 
V= ∈ - ir = ∈ - (
𝑉
𝑅
) r. 
Substituindo por valores numéricos, temos: 
0,10V= ∈ - (
0,10𝑉
500𝛺
)r 
0,15V= ∈ - (
0,15𝑉
1000𝛺
)r 
Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos: 
 r = 1,0 × 103 Ω = 1,0 kΩ 
 
b) ∈ = 0,30 V. 
c) A eficiência ɳ é; 
 ɳ = 
𝑉2∕𝑅
𝑃𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎
 = 
0,15𝑉
(1000𝛺)(5𝑐𝑚2)(2 𝑥 10−3𝑤∕𝑐𝑚2)
 = 2,3 x 10−3=0,23%. 
 
 
17) Na Fig. 27-33, a fonte 1 tem uma força eletromotriz 𝜉1= 12,0 V e uma resistência interna 𝑟1= 
0,016 𝛀 e a fonte 2 tem uma força eletromotriz 𝜉2= 12,0 V e uma resistência interna 𝑟1= 0,012 𝛀. 
As fontes são ligadas em série com uma resistência externa R. (a) Qual é o valor de R para o qual 
a diferença de potencial entre os terminais de uma das fontes é zero? (b) Com qual das duas fontes 
isso acontece? 
 
Resposta: 
Para obter a solução mais geral possível, vamos chamar de ∈1 e ∈2 as fem das fontes, embora 
tenham o mesmo valor. Como as fontes estão em série com a mesma polaridade, as fem se somam 
e a fem total é ∈1 + ∈2. A resistência total do circuito é Rtotal = R + r1 + r2. 
a) A corrente no circuito é; 
𝑖 =
∈2+ ∈1
𝑟1 + 𝑟2 + 𝑅
 
Como a fonte 1 possui uma resistência interna maior, ela é a que pode apresentar uma 
diferença de potencial zero entre os terminais. Fazendo ∈1 = ir1, obtemos: 
𝑖 =
∈2𝑟1+ ∈1𝑟2
∈1
 = 
(12𝑉)(0,016𝛺)−(12𝑉)(0,012𝛺)
12𝑉
 = 0,004𝛀. 
Note que, como ∈1 = ∈2, R = r1 – r2. 
b) Como foi visto na questão a), isso acontece com a fonte 1. 
 
18) Na Fig. 27-9, determine a diferença de potencial 𝑉𝑑 – 𝑉𝑐 entre os pontos d e c se 𝜉1 = 4V, 
𝜉2 = 1V, 𝑅1 = 𝑅2 = 10𝛀, 𝑅3 = 5𝛀 e a fonte é ideal. 
Resposta: 
𝑖1= 
∈1(𝑟2+𝑟3)− ∈2𝑟3
𝑟1𝑟2+ 𝑟2𝑟3 + 𝑟1𝑟3
 = 
(4𝑉)(10𝛺+5𝛺)−(1𝑉)(5𝛺)
(10𝛺)(10𝛺)+(10𝛺)(5𝛺)+(10𝛺)(5𝛺)
 = 0,275A, 
𝑖2= 
 ∈1𝑟3−∈2(𝑟1+𝑟2)
𝑟1𝑟2+ 𝑟2𝑟3 + 𝑟1𝑟3
 = 
(4𝑉)(5𝛺)−(1𝑉)(10𝛺+5𝛺)
(10𝛺)(10𝛺)+(10𝛺)(5𝛺)+(10𝛺)(5𝛺)
 = 0,025A, 
𝑖3= 𝑖2 - 𝑖1= 0,025A – 0,275A = -0,250A. 
A diferença de potencial Vd – Vc pode ser calculada de várias formas. Vamos dar dois exemplos: 
a partir de Vd – 𝑖2𝑅2= Vc, obtemos; 
Vd – Vc = 𝑖2𝑅2= (0,0250 A)(10 Ω) = +0,25 V; 
a partir de Vd + 𝑖3𝑅3 + ∈2 = Vc, obtemos; 
Vd – Vc = 𝑖3𝑅3 – ∈2 = – (– 0,250 A)(5,0 Ω) – 1,0 V = +0,25 V. 
 
19) Pretende-se obter uma resistência total de 3,00 𝛀 ligando uma resistência de valor 
desconhecido a uma resistência de 12,0 𝛀. a) Qual deve ser o valor da resistência desconhecida? 
b) As duas resistências devem ser ligadas em série ou em paralelo? 
Resposta: 
a) Como Req < R, os dois resistores (R = 12,0 Ω e Rx) devem ser ligados em paralelo: 
Req= 3𝛀 = 
𝑅𝑥𝑅
𝑅+𝑅𝑥
 = 
𝑅𝑥(12𝛺)
12𝛺+ 𝑅𝑥
. 
Explicitando Rx, obtemos: 
Rx= 
𝑅𝑒𝑞𝑅
𝑅−𝑅𝑒𝑞
 = 
(3𝛺)(12𝛺)
(12𝛺−3𝛺)
 - 3𝛀= 1𝛀 
b) Como foi visto no item (a), as duas resistências devem ser ligadas em paralelo. 
 
20) Quando duas resistências 1 e 2 são ligadas em série, a resistência equivalente é 16,0𝛀. Quando 
são ligadas em paralelo, a resistência equivalente é 3,0 𝛀. Determine (a) a menor; (b) a maior das 
duas resistências. 
Resposta: 
Sejam as resistências dos dois resistores R1 e R2, com R1 < R2. De acordo com o enunciado, 
𝑅1𝑅2 
𝑅1+𝑅2
= 3𝜴, 𝑅1 + 𝑅2 = 16 Ω 
Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos R1 = 4,0 Ω e R2 = 12 Ω. 
a) A menor resistência é R1 = 4,0 Ω. 
b) A maior resistência é R2 = 12 Ω. 
 
21) Quatro resistores de 18,0𝛀 são ligados em paralelo a uma fonte ideal de 25,0 V. Qual é a 
corrente na fonte? 
Resposta: 
A diferençade potencial entre os terminais dos resistores é V = 25,0 V. Como os resistores são 
iguais, a corrente em cada um é i = V/R = (25,0 V)/(18,0 Ω) = 1,39 A e a corrente na fonte é 
𝑖total = 4(1,39 A) = 5,56 A 
Também podemos resolver o problema usando o conceito de resistência equivalente. A resistência 
equivalente de quatro resistores iguais em paralelo é; 
1
𝑅𝑒𝑞
= ∑
1
𝑅
= 
4
𝑅
 
Quando uma diferença de potencial de 25,0 V é aplicada ao resistor equivalente, a corrente é 
igual à corrente total nos quatro resistores em paralelo. Assim; 
𝑖total = 
𝑉
𝑅𝑒𝑞
 = 
4𝑉
𝑅
 =
4(25𝑉)
18𝛺
 = 5,56A 
22) A Figura mostra cinco resistores de 5,00 𝛀. Determine a resistência equivalente (a) entre os 
pontos F e H; (b) entre os pontos F e G. (Sugestão: para cada par de pontos, imagine que existe 
uma fonte ligada entre os dois pontos.) 
 
Resposta: 
a) Req (FH) = (10,0 Ω)(10,0 Ω)(5,00 Ω)/[(10,0 Ω)(10,0 Ω) + 2(10,0 Ω)(5,00 Ω)] =2,50 Ω 
b) Req (FG) = (5,00 Ω) R/(R + 5,00 Ω), na qual, 
R = 5,00 Ω + (5,00 Ω)(10,0 Ω)/(5,00 Ω + 10,0 Ω) = 8,33 Ω. 
Assim, Req (FG) = (5,00 Ω)(8,33 Ω)/(5,00 Ω + 8,33 Ω) = 3,13 Ω. 
 
23) Na Figura, R1 = 100 𝛀, R2 = 50 𝛀 e as fontes ideais têm forças eletromotrizes 𝜉1 = 6,0 V, 
𝜉2 = 5,0 V e 𝜉3 = 4,0 V. Determine (a) a corrente no resistor 1; (b) a corrente no resistor 2; (c) a 
diferença de potencial entre os pontos a e b. 
 
Resposta: 
Vamos chamar de i1 a corrente em R1 e tomar o sentido para a direita como positivo. Vamos 
chamar de i2 a corrente em R2 e tomar o sentido para cima como positivo. 
a) Aplicando a regra das malhas à malha inferior, obtemos; 
∈2 − 𝑖1 𝑅1 = 0 
e, portanto; 
𝑖1 =
∈
𝑅1
 = 
5𝑉
100𝛺
 = 0,005 A = 50 mA. 
 
b) Aplicando a regra das malhas à malha superior, obtemos; 
∈1−∈2−∈3− 𝑖2 𝑅2 = 0 
e, portanto; 
𝑖2 =
∈1−∈2−∈3
𝑅2
 = 
6𝑉−5𝑉−4𝑉
50𝛺
 = -0,06A, 
o que nos dá |𝑖2 |= 0,060 A =60 mA. O sinal negativo indica que o sentido da corrente em 
𝑅2 é para baixo. 
 
c) Se Vb é o potencial no ponto b, o potencial no ponto a é Va = Vb + ∈3 + ∈2 e, portanto, 
Va – Vb = ∈3 + ∈2 = 4,0 V + 5,0 V = 9,0 V 
 
24) Na Fig. 27-36, R, = R2 = 4,00 fl e R3 = 2,50 fl. Determine a resistência equivalente entre os 
pontos D e E. (Sugestão: imagine que existe uma fonte ligada entre os dois pontos.) 
 
Resposta: 
Os dois resistores em paralelo, R1 e R2, são equivalentes a 
1
𝑅12
= 
1
𝑅1
+ 
1
𝑅2
 → 𝑅12 =
𝑅1𝑅2 
𝑅1+𝑅2
. 
Como o resistor equivalente aos resistores R1 e R2 está em série com o resistor R3, a resistência 
dos três resistores é; 
Req= 𝑅3 +𝑅12= 2,5𝛀 +
(4𝛺)(4𝛺)
4𝛺+4𝛺
 = 4,5𝛀. 
25) Nove fios de cobre de comprimento λ e diâmetro d são ligados em paralelo para formar um 
cabo de resistência R. Qual deve ser o diâmetro D de um fio de cobre de comprimento λ para que 
a resistência do fio seja a mesma do cabo. 
Resposta: 
Seja r a resistência de um dos fios. Como os fios são todos iguais e estão em paralelo, temos: 
1
𝑅
= 
9
𝑟
 , 
o que nos dá R = r/9. Temos ainda r = 4ρl/π𝑑2, na qual r é a resistividade do cobre, e 
R = 4ρl/π𝑑2. Assim, 
4ρl
π𝐷2
 = 
4ρl
9π𝑑2
 → D= 3d. 
 
26) A Fig. 27-37 mostra uma fonte ligada a um resistor uniforme, 𝑅0. Um contato deslizante pode 
se deslocar ao longo do resistor do ponto x = 0, à esquerda, até o ponto x = 10 cm, à direita. O 
valor da resistência à esquerda e à direita do contato depende da posição do contato. Determine a 
potência dissipada no resistor R em função de x. Plote a função para ξ= 50 V, R = 2000 𝛀 e 𝑅0= 
100 𝛀. 
 
Resposta: 
A parte de R0 ligada em paralelo com R é dada por R1 = R0x/L, na qual L = 10 cm. A diferença 
de potencial entre os terminais de R é VR = ∈R'/Req, na qual R’ = RR1/(R + R1) e; 
Req = 𝑅0(1 – x/L) + R’. 
Assim, 
𝑃𝑅= 
𝑉𝑅
2
𝑅
 = 
1
𝑅
 [
∈𝑅𝑅1∕(𝑅+𝑅1 )
𝑅0(1−𝑥 𝑙⁄ )+𝑅𝑅1∕(𝑅+𝑅1 ) 
]2 = 
100𝑅(∈𝑥 𝑅0⁄ )2
(100𝑅 𝑅0⁄ +10𝑥−𝑥2)2
 , na qual x está em cm. 
O gráfico da potência dissipada no resistor R em função de x para ∈= 50 V, R = 2000 Ω e R0 = 
100 Ω aparece na figura a seguir. 
 
 
27) Descarga lateral. A Fig. 27-38 ilustra uma das razões pelas quais é perigoso se abrigar debaixo 
de uma árvore durante uma tempestade elétrica. Se um relâmpago atinge a árvore, parte da 
descarga pode passar para a pessoa, especialmente se a corrente que atravessa a árvore atingir 
uma região seca da casca e por isso tiver que atravessar o ar para chegar ao solo. Na figura, parte 
do relâmpago atravessa uma distância d no ar e chega ao solo através da pessoa (que possui uma 
resistência desprezível em comparação com a do ar). O resto da corrente viaja pelo ar 
paralelamente ao tronco da árvore, percorrendo uma distância h. Se d/h = 0,400 e a corrente total 
é I = 5000 A, qual é o valor da corrente que atravessa a pessoa? 
 
Resposta: 
Como as diferenças de potencial são as mesmas para as duas trajetórias, V1 = V2, na qual 
V1 é a diferença de potencial associada à corrente que chega ao solo passando pelo corpo da 
pessoa e V2 é a diferença de potencial associada à corrente que chega ao solo sem passar pelo 
corpo da pessoa, e, portanto, i1R1 = i2R2. Como, de acordo com a Equação, R = rL/A, na qual 
r é a resistividade do ar, temos: 
𝑖1𝑑 = 𝑖2ℎ → 𝑖2 = 𝑖1(𝑑 ℎ⁄ ) 
Para d/h = 0,400 e I = i1 + i2 = 5000 A, obtemos i1 = 3571 A e i2 = 1429 A. Assim, a corrente 
que atravessa a pessoa é i1 = 3571 A ≈ 3,6 × 103 A. 
 
28) A fonte ideal da Fig. 27-39a tem uma força eletromotriz ξ= 6,0 V. A curva I da Fig. 27-39b 
mostra a diferença de potencial V entre os terminais do resistor 1 em função da corrente i no 
resistor. A escala do eixo vertical é definida por 𝑉5= 18,0 V e a escala do eixo horizontal é definida 
por 𝑖5= 3,00 mA. As curvas 2 e 3 são gráficos semelhantes para os resistores 2 e 3. Qual é a 
corrente no resistor 2? 
 
Resposta: 
A reta 1 tem uma inclinação R1 = 6,0 kΩ, a reta 2 tem uma inclinação R2 = 4,0 kΩ e a reta 3 
tem uma inclinação R3 = 2,0 kΩ. A resistência equivalente de R1 e R2 em paralelo é R12 = 
R1R2/(R1 + R2) = 2,4 kΩ. Como essa resistência está em série com R3, a resistência equivalente 
do 
conjunto é; 
𝑅123 = 𝑅12 + 𝑅3 = 2,4kΩ + 2,0kΩ = 4,4kΩ 
A corrente que atravessa a bateria é, portanto, i = ԑ/R123 = (6 V)(4,4 kΩ) e a queda de tensão em 
R3 é (6 V)(2 kΩ)/(4,4 kΩ) = 2,73 V. Subtraindo este valor da tensão da bateria (por causa da 
regra das malhas), obtemos a tensão entre os terminais de R2. A lei de Ohm nos dá a corrente 
em R2: (6V – 2,73V)/(4 kΩ) = 0,82 mA. 
29) a Fig. 27-40, R1 = 6,00 𝛀, R2 = 18,0 𝛀 e a força eletromotriz da fonte ideal é ξ= 12,0 V. 
Determine a) o valor absoluto e b) o sentido (para a esquerda ou para a direita) da corrente 𝑖1. c) 
Qual é a energia total dissipada nos quatro resistores em 1,00 min? 
 
Resposta: 
a) A resistência equivalente dos três resistores iguais R2 = 18 Ω é R = (18 Ω)/3 = 6,0 Ω, 
que, em série com o resistor R1 = 6,0 Ω, nos dá uma resistência equivalente em série com 
a bateria R’= R1 + R = 12 Ω. Assim, a corrente em R’ é (12 V)/R’ = 1,0 A, que também 
é a corrente que atravessa R. Como essa corrente se divide igualmente pelos três resistores 
de 18 Ω, i1 = 0,333 A. 
b) O sentido da corrente i1 é para a direita. 
c) P = 𝑖2R’ = (1,0 A)2(12 Ω) = 12 W. Assim, em 60s, a energia dissipada é (12 J/s)(60 s)= 
720 J 
 
30) Na Fig. 27-41, as fontes ideais têm forças eletromotrizes 𝜉1= 10,0 V e 𝜉2 = 0,500𝜉1, e todas 
as resistências são de 4,00 𝛀. Determine a corrente (a) na resistência 2; (b) na resistência 3. 
 
Resposta: 
Usando a regra das junções (i3 = i1 + i2), obtemos duas equações de malha: 
10,0V - i1R1 - (i1 + i2) R3 = 0 
5,00V - i2R2 - (i1 + i2) R3 = 0. 
a) Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos i1 = 1,25 A e i2 = 0. 
b) b) i3 = i1 + i2 = 1,25 A. 
 
31) Na Fig. 27-42, as forças eletromotrizes das fontes ideais são 𝜉1= 5,0 V e 𝜉2= 12 V, as 
resistências são de 2,0 𝛀 e o potencial é tomado comozero no ponto do circuito ligado à terra. 
Determine os potenciais (a) V1 e (b) V2 nos pontos indicados. 
 
Resposta: 
a) Chamando de R a resistência dos resistores, a resistência equivalente dos dois resistores 
da direita é R’ = R/2 = 1,0 Ω e a resistência equivalente dos dois resistores do canto 
superior esquerdo é R” = 2R = 4,0 Ω. Com isso, a resistência equivalente do conjunto de 
cinco resistores é; 
R+ R’ + R′′ = 7,0𝛀 
De acordo com a regra das malhas, a queda de tensão no conjunto é 12 V − 5,0 V = 7,0 
V, e, portanto, a corrente é (7,0 V)/(7,0 Ω) = 1,0 A, no sentido horário. Assim, a queda 
de tensão em R’ é (1,0 A)(1,0 Ω) = 1,0 V, o que significa que a diferença de potencial 
entre a terra e 𝑉1 é 12V – 1V = 11 V. Levando em conta a polaridade da fonte ∈2, 
concluímos que 𝑉1 = −11 V. 
b) A queda de tensão em R” é (1,0 A)(4,0 Ω) = 4,0 V, o que significa que a diferença de 
potencial entre a terra e V2 é 5,0 + 4,0 = 9,0 V. Levando em conta a polaridade da fonte 
∈1, concluímos que V2 = –9,0 V. Podemos verificar que o resultado está correto notando 
que a queda de tensão em R, (1,0 A)(2,0 Ω) = 2,0 V, é igual a V2 - V1. 
 
32) As duas fontes da Fig. 27-43a são ideais. A força eletromotriz 𝜉1da fonte 1 tem um valor fixo, 
mas a força eletromotriz 𝜉2 da fonte 2 pode assumir qualquer valor entre 1,0 V e 1,0 V. Os gráficos 
da Fig. 27-43b mostram as correntes nas duas fontes em função de 𝜉2. A escala vertical é definida 
por 𝑖5= 0,20 A. Não se sabe de antemão que curva con-esponde à fonte 1 e que curva corresponde 
à fonte 2, mas, para as duas curvas, a corrente é considerada negativa quando o sentido da corrente 
é do terminal positivo para o terminal negativo da bateria. Determine (a) o valor de 𝜉1; (b) o valor 
de 𝑅1; (c) o valor de 𝑅2. 
 
Resposta: 
a) Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos ∈2 + i1 R1 2 ∈1 = 0. Como 
a fem ∈ i1 variam, vemos que esta expressão, para 
grandes valores de ∈2, nos dá valores negativos para i1. Isso significa que a reta tracejada 
da Figura b corresponde a i1, ou seja, a corrente na fonte 1. Como, de acordo com essa 
reta, i1 é zero para ∈2 = 6 V, a regra das malhas nos dá, para este valor de i1, ∈1 = ∈2 = 
6,0 V. 
 
b) De acordo com a reta tracejada da Figura b, i1 = 0,20 A para ∈2 = 2,0 V. Aplicando a 
regra das malhas à malha da esquerda e usando o valor de ∈1 obtido no item (a), obtemos 
R1 = 20 Ω. 
 
c) Aplicando a regra das malhas à malha da direita, obtemos; 
 
∈1 - i1 R1 = i1R2. 
No ponto em que a reta que corresponde a i2 cruza o eixo horizontal (ou seja, no ponto 
∈2= 4V, i2 = 0), i1 = 0,1 A. Isso nos dá; 
R2 = 
(6𝑉)−(0,1𝐴)(20𝛺)
0,1𝐴
 = 40𝛀. 
 
33) Na Fig. 27-44, a corrente na resistência 6 é 𝑖6= 1,40 A e as resistências são 𝑅1=𝑅2=𝑅3= 2,00𝛀, 
𝑅4= 16,0 𝛀, 𝑅5= 8,00𝛀 e 𝑅6= 4,00 𝛀. Qual é a força eletromotriz da fonte ideal? 
 
Resposta: 
Note que V4, a queda de tensão em R4, é a soma das quedas de tensão em R5 e R6: 
V4 = 𝑖6(R5+ R6) = (1,40 A)(8,00 Ω + 4,00 Ω) = 16,8 V 
Isso significa que a corrente em R4 é dada por i4 = V4/R4 = 16,8 V/(16,0 Ω) = 1,05 A. 
De acordo com a regra dos nós, a corrente em R2 é; 
𝑖6 = 𝑖4+ 𝑖6 = 1,05 A + 1,40 A = 2,45 A 
E, portanto, a queda de tensão em R2 é; 
V2 = (2,00 Ω)(2,45 A) = 4,90 V 
De acordo com a regra das malhas, a queda de tensão em R3 é V3 = V2 + V4 = 21,7 V e, portanto, 
a corrente em R3 é i3 = V3/(2,00 Ω) = 10,85 A. 
Assim, de acordo com a regra dos nós, a corrente em R1 é; 
𝑖1 = 𝑖2+ 𝑖3= 2,45 A + 10,85 A = 13,3 A 
O que significa que a queda de tensão em R1 é V1 = (13,3 A)(2,00 Ω) = 26,6 V e, portanto, de 
acordo com a regra das malhas; 
∈ = V1 + V3 = 26,6 V + 21,7 V = 48,3 V. 
34) As resistências das Figs. 27-45a e 27-45b são todas de 6,0 𝛀 e as fontes ideais são baterias de 
12 V. (a) Quando a chave S da Fig. 27-45a é fechada, qual é a variação da diferença de potencial, 
𝑉1 entre os terminais do resistor 1? (b) Quando a chave S da Fig. 27-4Sb é fechada, qual é a 
variação da diferença de potencial 𝑉1 entre os terminais do resistor 1? 
 
Resposta: 
a) De acordo com a regra das malhas, a diferença de potencial V1 não varia quando a chave 
é fechada. O objetivo deste item é verificar se o aluno apreendeu corretamente o conceito 
de 
tensão. Alguns estudantes confundem os conceitos de tensão e corrente e pensam que a 
tensão é 
dividida entre dois resistores em paralelo, o que seria difícil de conciliar com a resposta 
correta. 
b) b) A regra das malhas continua válida, é claro, mas, neste caso, de acordo com a regra 
dos nós e a lei de Ohm, as quedas de tensão em R1 e R3, que eram iguais antes do 
fechamento da chave, passam a ser diferentes. Como uma corrente maior atravessa a 
bateria, a queda de tensão em R3 aumenta. Como, de acordo com a regra das malhas, a 
soma das quedas de tensão em R3 e em R1 é igual à tensão da bateria, isso significa que 
a queda de tensão em R1 diminui. Como R1 e R3 têm o mesmo valor, quando a chave 
estava aberta, a queda de tensão em R1 era (12 V)/2 = 6,0 V. A chave fechada, a 
resistência equivalente de R1 e R2 é 3,0 Ω, o que significa que a resistência total entre os 
terminais da bateria é 6,0 Ω + 3,0 Ω = 9,0 Ω. A corrente é, portanto, (12,0V)/(9,0 Ω) = 
1,33 A, o que significa que a queda de tensão em R3 é (1,33 A)(6,0 Ω) = 8,0 V. Nesse 
caso, de acordo com a regra das malhas, a queda de tensão em R1 é 12 V 2 8,0 V = 4,0 
V. Assim, a variação da diferença de potencial V1 quando a chave é fechada é 4,0V - 
6,0V = -2,0 V. 
 
35) Na Fig. 27-46, ξ= 12,0 V, 𝑅1 = 2000 𝛀, 𝑅2 = 3000 𝛀 e 𝑅3 = 4000 𝛀. Determine as diferenças 
de potencial a) 𝑉 𝑎 - 𝑉 𝑏; b) 𝑉 𝑏 - 𝑉 𝑐 ;c) 𝑉 𝑐- 𝑉 𝑑 ; d) 𝑉 𝑎 - 𝑉 𝑐. 
 
Resposta: 
a) A simetria do problema permite usar i2 como a corrente nos dois resistores R2 e i1 como 
a 
corrente nos dois resistores R1. Aplicando a regra das malhas às malhas ACD e ABCD, 
obtemos o seguinte sistema de equações: 
∈ - 𝑖2𝑅2 − 𝑖1𝑅1 = 0. 
∈ - 2𝑖1𝑅1 − (𝑖1−𝑖2)𝑅3 = 0. 
Resolvendo o sistema de equações, obtemos i1 = 0,002625 A e i2 = 0,00225 A. Assim, 
VA 2 VB =i1R1 = 5,25 V. 
 
b) De acordo com a regra dos nós, i3 = i1 2 i2 = 0,000375 A. Assim, VB 2 VC = i3R3 = 1,50 
V. 
c) 𝑉𝑐 - 𝑉𝑑 = 𝑖1𝑅1 = 5,25 V 
d) 𝑉𝑎 - 𝑉𝑐 = 𝑖2𝑅2= 6,75 V 
 
36) Na Fig. 27-47, 𝜉1= 6,00 V, 𝜉2= 12,0 V, 𝑅1= 100 𝛀. 𝑅2 = 200 𝛀 e 𝑅3= 300 𝛀. Um ponto do 
circuito está ligado à terra (V= 0). Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentido (para cima ou 
para baixo) da corrente na resistência l; (c) o valor absoluto e (d) o sentido (para a esquerda ou 
para a direita) da corrente na resistência 2; (e) o valor absoluto e (f) o sentido (para a esquerda ou 
para a direita) da corrente na resistência 3. (g) Determine o potencial elétrico no ponto A. 
 
Resposta: 
a) Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda e à malha da direita, obtemos o 
seguinte sistema de equações: 
∈1 - 𝑖2𝑅2 − (𝑖2−𝑖3)𝑅1 = 0 
∈2 - 𝑖3𝑅3 − (𝑖2−𝑖3)𝑅1 = 0. 
No qual tomamos o sentido horário da corrente i2 como positivo e o sentido anti-horário 
da corrente i3 como positivo. Resolvendo o sistema de equações, obtemos i2 = 0,0109 A 
e i3 = 0,0273A. De acordo com a regra dos nós, i1 = i2 + i3 = 0,0382 A. 
b) De acordo com o item (a), o sentido da corrente i1 é para baixo. 
c) De acordo com o item (a), i2 = 0,0109 A. 
d) De acordo com o item (a), o sentido da corrente i2 é para a direita. 
e) De acordo com o item (a), i3 = 0,0273 A. 
f) De acordo com o item (a), o sentido da corrente i3 é para a esquerda. 
g) O potencial elétrico no ponto A é igual à queda de tensão no resistor R1: VA = (0,0382 
A)(100 Ω) = +3,82 V. 
 
37) Na Fig. 27-48, 𝑅1= 2,00 𝛀, 𝑅2= 5,00 𝛀 e a fonte é ideal. Qual é o valor de 𝑅3 que maximiza 
a potência dissipada na resistência 3? 
 
Resposta: 
A queda de tensão em R3 é V3 = ∈R’/(R’ + R1), na qual R’ = (R2R3)/(R2 + R3). Assim, 
𝑃𝑅= 
𝑉𝑅
2
𝑅3
 = 
1
𝑅
 [
∈𝑅(𝑅′+𝑅1 ) 
]2 = [
∈
(1+𝑅1 )∕𝑅′ 
]2 = 
∈2
𝑅3
[1 +
(2𝛺)(5𝛺+𝑅3)
(5𝛺)𝑅3
]2 = 
∈2
𝑓(𝑅3)
 
Para maximizar P3, precisamos minimizar f(R3). Derivando f(R3) e igualando o resultado a zero, 
obtemos; 
𝑑𝑓(𝑅3)
𝑑𝑅3
 = -
4𝛺2
𝑅3
2 + 
49
25
= 0, 
O que nos dá; 
𝑅3 = √
(4𝛺2)(25)
49
= 1,43𝜴. 
 
38) A Fig. 27-49 mostra uma parte de um circuito. As resistências são 𝑅1= 2,0 𝛀, 𝑅2= 4,0 𝛀 e 
𝑅3= 6,0 𝛀 e a corrente indicada é i = 6,0 A. A diferença de potencial entre os pontos A e B que 
ligam o conjunto ao resto do circuito é 𝑉𝑎 - 𝑉𝑏 = 78 V. (a) O elemento representado como "?" 
está absorvendo energia do circuito ou cedendo energia ao circuito? (b) Qual é a potência 
absorvida ou fornecida pelo elemento desconhecido? 
 
Resposta: 
a) Como a queda de tensão em R3 é V3 = iR3= (6,0 A)(6,0 Ω) = 36 V, a queda de tensão 
em R1 é; 
(VA – VB) – V3 = 78 - 36 = 42 V, 
O que significa que a corrente em R1 é i1 = (42 V)/(2,0 Ω) = 21 A. Nesse caso, de acordo 
com a regra dos nós, a corrente em R2 é; 
𝑖2 = 𝑖1− i = 21A − 6,0A = 15 A. 
A potência total dissipada pelos resistores é; 
𝑖1
2(2,0 Ω) + 𝑖2
2 (4,0 Ω) + 𝑖2 (6,0 Ω) = 1998 W ≈ 2,0 kW. 
Por outro lado, a potência fornecida a esta parte do circuito é PA = iA (VA - VB) = i1(VA- 
VB) = (21A)(78V) = 1638 W. Assim, o elemento representado como “?” está fornecendo 
energia. 
b) A potência fornecida pelo elemento desconhecido é; 
(1998 - 1638)W = 3,6×102 W. 
 
39) Na Fig. 27-50, duas fontes de força eletromotriz ξ = 12,0 V e resistência interna r = 0,300 𝛀 
são ligadas em paralelo com uma resistência R. (a) Para que valor de R a potência dissipada no 
resistor é máxima? (b) Qual é o valor da potência máxima? 
 
Resposta: 
a) Como as fontes são iguais e estão ligadas em paralelo, a diferença de potencial é a 
mesma entre os terminais das duas fontes. Isso significa que a corrente é igual nas duas 
fontes. Vamos chamar de i essa corrente e considerar o sentido da direita para a esquerda 
como positivo. De acordo com a regra dos nós, a corrente no resistor R é 2i e o sentido 
da corrente é da esquerda para a direita. Aplicando a regra das malhas à malha formada 
por uma das fontes e o resistor R, temos: 
∈ - ir - 2ir =0 → i=
∈
𝑟+2𝑅
. 
A potência dissipada no resistor R é; 
P= (2i)2R = 
4∈2𝑅
(𝑟+2𝑅)2
. 
Para determinar o valor de R para o qual a potência é máxima, derivamos a equação 
anterior em relação a R e igualamos o resultado a zero: 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
=
4 ∈2 𝑅
(𝑟 + 2𝑅)2
− 
16 ∈2 𝑅
(𝑟 + 2𝑅)3
= 
4 ∈2 (𝑟 − 2𝑅)
(𝑟 + 2𝑅)3
= 0 
O que nos dá R = r/2. Para r = 0,300 Ω, obtemos R = 0,150 Ω. 
b) Fazendo R = r/2 na equação P = 4∈2R/(r + 2R)2, obtemos; 
𝑃𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 =
4 ∈2 (𝑟 ∕ 2)
[𝑟 + 2(𝑟 ∕ 2)]2
= 
∈2
2𝑟
 = 
(12𝑉)2
2(0,300𝛺)
= 240𝑊. 
 
40) Duas fontes iguais de força eletromotriz ξ = 12,0 V e resistência interna r = 0,200 𝛀 podem 
ser ligadas a uma resistência R em paralelo (Fig. 27-50) ou em série (Fig. 27-51). Se R = 2,00r, 
qual é a corrente i na resistência R (a) no caso da ligação em paralelo: (b) no caso da ligação em 
série? (c) Em que tipo de ligação a corrente i é maior? Se R = r/2,00, qual é a corrente na 
resistência R (d) no caso da ligação em paralelo; (e) no caso da ligação em série? (e)Em que tipo 
de ligação a corrente i é maior? 
 
Resposta: 
a) Como as fontes são iguais e estão ligadas em paralelo, a diferença de potencial é a 
mesma entre os terminais das duas fontes. Isso significa que a corrente é igual nas duas 
fontes. Vamos chamar de i essa corrente e considerar o sentido da direita para a esquerda 
como positivo. De acordo com a regra dos nós, a corrente no resistor R é iR = 2i e o 
sentido da corrente é da esquerda para a direita. Aplicando a regra das malhas à malha 
formada por uma das fontes e o resistor R, temos: 
∈ - ir - 2ir =0 → 𝑖𝑅= 2i = 
2∈
𝑟+2𝑅
 = 
2(12𝑉)
0,2𝛺+2(0,4𝛺)
= 24A 
b) De acordo com a regra das malhas, quando as fontes estão ligadas em série; 
2∈ − iRr – iRr – iRR = 0, 
O que nos dá; 
 iR =
2∈
𝑟+2𝑅
 = 
2(12𝑉)
2(0,2𝛺)+0,4𝛺
=30A 
c) No caso da ligação em série, como mostram os resultados dos itens (a) e (b). 
d) Se R = r/2,00 e as fontes estão ligadas em paralelo; 
iR =
2∈
𝑟+2𝑅
 = 
2(12𝑉)
0,2𝛺+2(0,1𝛺)
= 60𝐴 
e) Se R = r/2,00 e as fontes estão ligadas em série; 
 iR =
2∈
𝑟+2𝑅
= 
2(12𝑉)
2(0,2𝛺)+0,1𝛺
 = 48A 
f) No caso de ligação em paralelo, como mostram os resultados dos itens (d) e (e). 
 
41) Na Fig. 27-41, 𝜉1= 3,00 V, 𝜉2= 1,00V, 𝑅1= 4,00𝛀, 𝑅2 = 2,00 𝛀, 𝑅3= 5,00 𝛀 e as duas fontes 
são ideai . Determine a potência dissipada (a) em 𝑅1; (b) em 𝑅2; (c) em 𝑅3. Determine a potência 
(d) da fonte 1; (e) da fonte 2. 
 
Resposta: 
Vamos calcular primeiro as correntes. Seja i1 a corrente em R1, tomando como positivo o 
sentido da esquerda para a direita; seja i2 a corrente em R2, tomando como positivo o sentido da 
direita para a esquerda; seja i3 a corrente em R3, tomando como positivo o sentido de baixo para 
cima. De acordo com a regra dos nós, temos: 
i1 + i2 + i3= 0 
Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos; 
∈1 - 𝑖1𝑅1 - 𝑖3𝑅3= 0 
E aplicando a regra das malhas à malha da direita, obtemos; 
∈2 - 𝑖2𝑅2 - 𝑖3𝑅3= 0 
A primeira equação nos dá i3 = 2i2 2 i1. Substituindo nas outras duas equações, obtemos; 
∈1 - 𝑖1𝑅1 - 𝑖2𝑅3 − 𝑖1𝑅3= 0, e, ∈2- 𝑖2𝑅2 - 𝑖2𝑅3 − 𝑖1𝑅3= 0. 
Resolvendo esse sistema de equações, obtemos; 
i1 =
∈1(𝑅2+𝑅3)−∈2𝑅3
𝑅1𝑅2+𝑅1𝑅3+𝑅2𝑅3
 = 
(3𝑉)(2𝛺+5𝛺)−(1𝑉)(5𝛺)
(4𝛺)(2𝛺)+(4𝛺)(5𝛺)+(2𝛺)(5𝛺)
 = 0,421A. 
i2 =
∈2(𝑅1+𝑅3)−∈1𝑅3
𝑅1𝑅2+𝑅1𝑅3+𝑅2𝑅3
 = 
(1𝑉)(4𝛺+5𝛺)−(3𝑉)(5𝛺)
(4𝛺)(2𝛺)+(4𝛺)(5𝛺)+(2𝛺)(5𝛺)
 = -0,158A. 
i3 =
∈2𝑅1+∈1𝑅2
𝑅1𝑅2+𝑅1𝑅3+𝑅2𝑅3
 = 
(1𝑉)(4𝛺)+(3𝑉)(2𝛺)
(4𝛺)(2𝛺)+(4𝛺)(5𝛺)+(2𝛺)(5𝛺)
 = -0,263A. 
O sinal positivo de i1 indica que o sentido da corrente em R1 é da esquerda para a direita. O 
sinal negativo de i2 indica que o sentido da corrente em R2 é da esquerda para a direita. O sinal 
negativo de i3 indica que o sentido da corrente em R3 é de cima para baixo. 
a) A potência dissipada em R1 é; 
𝑃2=𝑖 1
2𝑅1 = (0,421A )
2(4𝛀)= 0,709W. 
b) A potência dissipada em R2 é; 
 𝑃2=𝑖 2
2𝑅2 = (-0,158A )
2(2𝛀)= 0,0499W ≈ 0,050 W 
c) A potência dissipada em R3 é; 
 𝑃3=𝑖 3
2𝑅3 = (-0,263A )
2(5𝛀)= 0,346W 
d) A potência fornecida pela fonte 1 é i3∈1 = (0,421 A)(3,00 V) = 1,26 W; 
e) A potência “fornecida” pela fonte 2 é i2∈2 = (–0,158 A)(1,00 V) = –0,158 W. O sinal 
negativo indica que a fonte 2 absorve energia do circuito. 
 
 
 
 
 
42) Na Figura, um conjunto de n resistores em paralelo é ligado em série a um resistor e a uma 
fonte ideal. Todos os resistores têm a mesma resistência. Se um outro resistor de mesmo valor 
fosse ligado em paralelo com o conjunto, a corrente na fonte sofreria uma variação de 1,25%. 
Qual é o valor de n? 
 
Resposta: 
A resistência equivalente do circuito da Figura é; 
𝑅𝑒𝑞= 𝑅 +
𝑅
𝑛
 = (
𝑛+1
𝑛
)R. 
A corrente da fonte é; 
𝑖𝑛 =
𝑉𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
𝑅𝑒𝑞
 = 
𝑛
𝑛+1
 
𝑉𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
𝑅𝑒𝑞
 
Se houvesse n +1 resistores em paralelo; 
𝑖𝑛+1 =
𝑉𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
𝑅𝑒𝑞
 = 
𝑛+1
𝑛+2
 
𝑉𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
𝑅𝑒𝑞
 
Para um aumento relativo de 1,25% = 0,0125 = 1/80, devemos ter; 
𝑖𝑛+1− 𝑖𝑛
𝑖𝑛
 = 
𝑖𝑛+1
𝑖𝑛
 -1= 
(𝑛+1) (𝑛+2)⁄
𝑛 (𝑛+1)⁄
− 1 =
1
80
 
O que nos dá a equação do segundo grau; 
𝑛2 + 2n - 80 = (n + 10)(n - 8) = 0. 
A única solução que tem significado físico é a solução positiva, n = 8. Isso significa que existem 
oito resistores em paralelo. 
 
 
43) O leitor dispõe de um suprimento de resistores de 10 𝛀, capazes de dissipar apenas 1,0 W 
sem serem inutilizados. Qual é o número mínimo desses resistores que é preciso combinar em 
série ou em paralelo para obter uma resistência de 10 𝛀 capaz de dissipar 5,0 W? 
Resposta: 
Suponha que os resistores sejam divididos em grupos de n resistores, com os resistores de 
cada grupoligados em série, e que m desses grupos sejam ligados em paralelo. Se R é a resistência 
de cada resistor, a resistência equivalente de um dos grupos é nR e a resistência equivalente 
Req do conjunto de m grupos satisfaz a equação; 
1
𝑅𝑒𝑞
= ∑
1
𝑛𝑅
𝑚
1 = 
𝑚
𝑛𝑅
. 
Como, de acordo com o enunciado, Req = 10 Ω = R, devemos ter n = m. Por simetria, a corrente 
é a mesma em todos os resistores e existem (n)(m) = 𝑛2 resistores, a potência máxima que pode 
ser dissipada pelo conjunto é Ptotal = 𝑛2P, na qual P = 1,0 W é a potência máxima que pode ser 
dissipada por um dos resistores. Como devemos ter Ptotal ≥ 5,0 W = 5,0P, n2 deve ser maior ou 
igual a 5,0. Como n é um número inteiro, o menor valor possível de n é 3. Isso significa que o 
número mínimo de resistores é 𝑛2 = 9. 
 
44) Na Figura, 𝑅1= 100 𝛀, 𝑅2= 𝑅3= 50,0 𝛀, R4= 75,0 𝛀 e a força eletromotriz da fonte ideal é 
ξ= 6,00 V. (a) Determine a resistência equivalente. Determine a corrente (b) na resistência 1; (c) 
na resistência 2; (d) na resistência 3; (e) na resistência 4. 
 
Resposta: 
a) Como os resistores R2, R3 e R4 estão em paralelo, nos dá uma resistência 
equivalente; 
R=
𝑅2𝑅3𝑅4
𝑅2𝑅3 + 𝑅2𝑅4+𝑅3𝑅4
 =
(50𝛺)(50𝛺)(75𝛺)
(50𝛺)(50𝛺) +(50𝛺)(75𝛺)+(50𝛺)(75𝛺)
 =18,8𝛀 
Assim, considerando a contribuição do resistor R1, a resistência equivalente do circuito 
é Req =R1 + R = 100 Ω + 18,8 Ω = 118,8 Ω ≈ 119 Ω. 
b) i1 = ∈/Req = 6,0 V/(118,8 Ω) = 5,05 × 10−2A = 50,5 mA 
c) i2 = (∈ – 𝑉1)/ 𝑅2 = (∈ – 𝑖1𝑅1)/𝑅2 = [6,0 V – (5,05 × 10
−2 A)(100 Ω)]/50 Ω 
= 1,90 × 10−2A = 19,0 mA. 
d) i3 =(∈ – 𝑉1)/ 𝑅3 = 𝑖2𝑅2/ 𝑅3= (1,90 × 10
−2A)(50,0 Ω/50,0 Ω) = 1,90 × 10 −2A = 19,0 
mA. 
e) i4= i1 – i2 – i3 = 5,05 × 10−2A – 2(1,90 × 10−2A) = 1,25 × 10−2A = 12,5 mA. 
45) Na Figura, as resistências são 𝑅1= 1,0 𝛀 e 𝑅2= 2,0 𝛀 e as forças eletromotrizes das fontes 
ideais são 𝜉1= 2,0 V, 𝜉2 = 4,0 V e 𝜉3= 4,0 V. Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentido (para 
cima ou para baixo) da corrente na fonte 1; (c) o valor absoluto e (d) o sentido da corrente na 
fonte 2; (e) o valor absoluto e (f) o sentido da corrente na fonte 3; (g) a diferença de potencial 𝑉𝑎 
- 𝑉𝑏. 
 
Resposta: 
a) Note que existem dois resistores R1 em série em cada ramo do circuito, que contribuem 
com uma resistência total 2R1 para o ramo correspondente. Como ∈2 = ∈3 e R2 = 2R1, 
as correntes em ∈2 e ∈3 são iguais: i2 = i3 = i. Assim, a corrente em ∈1 é i1 = 2i. Nesse 
caso, Vb – Va = ∈2 – iR2 = ∈1 + (2R1)(2i) e, portanto; 
i =
∈2−∈1
4𝑅1+𝑅2
 = 
4𝑉−2𝑉
4(1𝛺)+2𝛺
 = 0,33ª 
Assim, a corrente em ∈1 é i1 = 2i = 0,67 A. 
b) O sentido de i1 é para baixo. 
c) A corrente em ∈2 é i2 = 0,33 A. 
d) O sentido de i2 é para cima. 
e) A corrente em ∈3 é i3 = i2 = 0,33 A. 
f) O sentido de i3 é para cima. 
g) Va – Vb = –iR2 + ∈2 = –(0,333 A)(2,0 Ω) + 4,0 V = 3,3 V. 
 
 
46) Na Figura a, o resistor 3 é um resistor variável e a força eletromotriz da fonte ideal é ξ = 12 
V. A Figura b mostra a corrente i na fonte em função de 𝑅3. A escala horizontal é definida por 
𝑅3𝑠= 20 𝛀. A curva tem uma assíntota de 2,0 mA para 𝑅3 →∞. Determine (a) a resistência 𝑅1; 
(b) a resistência 𝑅2. 
 
Resposta: 
a) Quando R3 = 0, toda a corrente passa por R1 e R3. Como o valor dessa corrente, de acordo 
com o gráfico da Figura b, é 6 mA, a lei de Ohm nos dá; 
R1 = (12 V)/(0,006 A) = 2,0 × 103 Ω = 2,0 kΩ. 
b) Quando R3 = ∞, toda a corrente passa por R1 e R2. Como o valor dessa corrente, de 
acordo 
com o enunciado, é 2,0 mA, a lei de Ohm nos dá; 
R2= (12 V)/(0,002 A) - R1 = 4,0 × 103 Ω = 4,0 kΩ. 
 
47) Um fio de cobre de raio a = 0,250 mm tem uma capa de alumínio de raio externo b = 0,380mm. 
A corrente no fio composto é i = 2,00 A. Usando a Tabela 26-1, calcule a corrente (a) no cobre e 
(b) no alumínio. (c) Se uma diferença de potencial V= 12,0 V entre as extremidades mantém a 
corrente, qual é o comprimento do fio composto? 
Resposta: 
Como o fio de cobre e a capa de alumínio estão ligados em paralelo, estão submetidos à 
mesma diferença de potencial. Como a diferença de potencial é igual ao produto da corrente 
pela resistência, iCRC = iARA, na qual iC é a corrente no cobre, iA é a corrente no alumínio, RC 
é a 
resistência do cobre e RA é a resistência do alumínio. A resistência dos componentes é dada por 
R = ρL/A, na qual ρ é a resistividade, L é o comprimento e A é a área da seção reta. A resistência 
do fio de cobre é RC = ρCL/π𝑎2 e a resistência da capa de alumínio é RA = ρAL/π(𝑏2 – 𝑎2). 
Substituindo essas expressões na relação iCRC = iARA e cancelando os fatores comuns, obtemos; 
𝑖𝐶𝜌𝐶
𝑎2
 = 
𝑖𝐴𝜌𝐴
𝑏2 – 𝑎2
. 
Fazendo iA = i - iC, na qual i é a corrente total, obtemos: 
𝑖𝐶 =
𝑎2𝜌𝐴𝑖
(𝑏2 – 𝑎2)𝜌𝐶+𝑎2𝜌𝐴
. 
Fazendo iC = i - iA, obtemos: 
𝑖𝐴 = 
(𝑏2 – 𝑎2)𝜌𝑐𝑖
(𝑏2 – 𝑎2)𝜌𝐶+𝑎2𝜌𝐴
. 
O denominador é o mesmo nos dois casos: 
(𝑏2 – 𝑎2) 𝜌𝐶 + 𝑎2 𝜌𝐴 = [(0,380𝑥 10−3𝑚)2 − (0,250𝑥 10−3𝑚)2](1,69𝑥 10−8𝛺. 𝑚) +
(0,250𝑥 10−3𝑚)2(2,75𝑥 10−8𝛺. 𝑚)=3,10𝑥 10−15𝛺. 𝑚3 
Assim; 
a) 𝑖𝐶 =
(0,250𝑥 10−3𝑚)2(2,75𝑥 10−8𝛺.𝑚)(2𝐴)
3,10𝑥 10−15𝛺.𝑚3
 = 1,11A 
b) 𝑖𝐴 =
[(0,380𝑥 10−3𝑚)2−(0,250𝑥 10−3𝑚)2](1,69𝑥 10−8𝛺.𝑚)(2𝐴)
3,10𝑥 10−15𝛺.𝑚3
= 0,893A 
c) Considere o fio de cobre. Se V é a diferença de potencial, V = iCRC = iCrCL/pa2, o que 
nos dá; 
L=
𝜋𝑎2𝑉
𝑖𝐶𝜌𝐶
 =
𝜋(0,250𝑥 10−3𝑚)
2
(12𝑉)
(1,11A)(1,69𝑥 10−8𝛺.𝑚)
 = 126m 
48) Na Figura, 𝑅1 = 7,00 𝛀, 𝑅2 = 12,0 𝛀, 𝑅3 = 4,00 𝛀 e a força eletromotriz da fonte ideal é ξ 
= 24,0 V. Determine para que valor de 𝑅4 a potência fornecida pela fonte aos resistores é igual 
a) a 60,0 W; b) ao maior valor possível Pmáx; (c) ao menor valor possível Pmin· Determine (d) 
Pmáx; (e) P min; 
Resposta: 
a) De acordo com a Eq. 26-28, P = ∈2/Req, na qual; 
 𝑅𝑒𝑞= 7𝛺 +
(12𝛺)(4𝛺)𝑅
(12𝛺)(4𝛺)−(12𝛺)𝑅+(4𝛺)𝑅
 . 
Fazendo P = 60,0 W e ∈= 24,0 V, obtemos R = 19,5 Ω. 
b) Como P ∝ 1/Req, o valor de R que maximiza P é o valor que minimiza Req, ou seja, R = 
0. 
c) Como P ∝ 1/Req, o valor de R que minimiza P é o valor que maximiza Req, ou seja, R 
=∞. 
d) Como Req, min = 7,00 Ω, Pmax = ∈2/Req, min = (24,0 V)2/7,00 Ω = 82,3 W. 
e) Como Req, max = 7,00 Ω + (12,0 Ω)(4,00 Ω)/(12,0 Ω + 4,00 Ω) = 10,0 Ω 
Pmin = ∈2/ Req, max = (24,0V)2/10,0 Ω = 57,6 W. 
 
49) a) Na Figura, determine a leitura do amperímetro para ξ = 5,0 V (fonte ideal), 𝑅1= 2,0 𝛀, 
𝑅2= 4,0 𝛀 e 𝑅3= 6,0 𝛀. b) Mostre que se a fonte for colocada na posição do amperímetro e vice-
versa, a leitura do amperímetro será a mesma. 
 
Resposta: 
a) A corrente em R1 é dada por; 
𝑖1 =
∈
𝑅1+𝑅2𝑅3∕(𝑅2+𝑅3)
 = 
5𝑉
(2𝛺)+(4𝛺)(6𝛺)∕(4𝛺+6𝛺)
 = 1,14A 
Assim; 
𝑖3 =
∈−𝑉1
𝑅3
 = 
∈−𝑖1𝑅1
𝑅3
 = 
(5𝑉)−(1,14𝐴)(2𝛺)
6𝛺
 = 0,45A. 
 
b) Para descrever a nova situação, basta permutar os índices 1 e 3 na equação anterior, o que 
nos dá; 
𝑖3 =
∈
𝑅3+𝑅2𝑅1∕(𝑅2+𝑅1)
 = 
5𝑉
(6𝛺)+(2𝛺)(4𝛺)∕(2𝛺+4𝛺)
 = 0,6818A. 
Assim; 
𝑖1 =
5𝑉−(0,6818A)(6𝛺)
2𝛺
 = 0,45A 
O mesmo valor da questão a). 
 
50) Na Figura, 𝑅1= 2,00R, a resistência do amperímetro é desprezível e a fonte é ideal. A corrente 
no amperímetro corresponde a que múltiplo de ξ/R? 
 
Resposta: 
De acordo com o enunciado, a resistência do amperímetro é desprezível, a queda de tensão no 
amperímetro é nula e, portanto, as correntes nos dois resistores de baixo têm o mesmo valor, que 
vamos chamar de i. Nesse caso, a corrente da fonte é 2i. Como a resistência equivalente do circuito 
é 
Req = [(2R)(R)/2R+R] + (R)(R)/R+R = 7R/6 
Temos: 
2i= ∈/Req 
i = ∈/2Req = ∈/2(7R/6) = 3∈/7R 
Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos: 
 ∈-i2R(2R)- iR= 0 
i2R=∈-iR/2R 
Fazendo i= 3∈/7R, obtemos i2R=2∈/7R. Como a corrente no amperímetro é a diferença entre i2R 
e i, temos: 
Iamp=i- i2R= 3∈/7R - (2∈/7R) = ∈/7R 
Iamp /(∈/R)= 1/7= 0,143. 
51) Na Figura, um voltímetro de resistência Rv = 300Ω e um amperímetro deresistência RA = 
3,00Ω estão sendo usados para medir uma resistência R em um circuito que também contém uma 
resistência R0 = 100 Ω e uma fonte ideal de força eletromotriz cg = 12,0 V. A resistência R é dada 
por R = V/ i, onde V é a diferença de potencial entre os terminais de R e i é a leitura do 
amperímetro. A leitura do voltímetro é V', que é a soma de V com a diferença de potencial entre 
os terminais do amperímetro. Assim, a razão entre as leituras dos dois medidores não é R e sim a 
resistência aparente R' = V'/i. Se R = 85,0 Ω, determine (a) a leitura do amperímetro; (b) a leitura 
do voltímetro; (c) o valor de R'. (d) Se RA diminui, a diferença entre R' e R aumenta, diminui ou 
permanece a mesma? 
 
Resposta: 
Como a corrente no amperímetro é i, a leitura do voltímetro é V'= V+iRA=i(R+RA) 
O que nos dá R=V'/i-RA =R'-RA, na qual R'=V'/i é a resistência aparente. A corrente da fonte é 
dada por iF= e/(Req +R0), na qual 
1/Req= 1/RV + [1/(RA+R)] = 
Req =Rv(R+RA)/(Rv+R+RA)= (300Ω)(85,0Ω + 3,00Ω)/ (300Ω + 85,0Ω+ 3,00Ω)= 68,0Ω 
A leitura do voltimetro é; 
V'= iFReq=∈Req/(Req+R0)= (12,0 V)(68,0Ω)/(68,0Ω+100Ω) = 4,86V. 
a) A leitura do amperímetro é ; 
i= V'/ R+ RA = 4,86V/(85,0Ω+3,00Ω)= 0,0552A= 55,2 mA. 
b) Como foi visto no item anterior, a leitura do voltímetro é V′ = 4,86 V. 
c) R′ = V′/i = 4,86 V/(0,0552 A) = 88,0 Ω. 
d) Como R = R′ − RA, se RA diminui, a diferença entre R′ e R diminui. 
 
52) Um ohmímetro simples é construído ligando uma pilha de lanterna de 1,50 V em série com 
uma resistência R e um amperímetro capaz de medir correntes entre O e 1,00 mA, como mostra 
a Fig. 27-59. A resistência R é ajustada de tal forma que quando o fios de prova são encostados 
um no outro, o ponteiro mostra o valor de 1,00 mA, que corresponde à deflexão máxima. 
Determine o valor da resistência externa que, quando colocada em contato com os fios de prova, 
provoca uma deflexão do ponteiro do amperímetro de (a) 10,0%; (b) 50,0%; (c) 90,0% da 
deflexão máxima. (d) Se o amperímetro tem uma resistência de 20,0 O e a resistência interna da 
fonte é desprezível, qual é o valor de R? 
 
Resposta; 
a) Como i = ∈/(r + Rext) e imax = ∈/r, Rext = r(imax/i – 1), na qual, r = 1,50 V/1,00 mA = 
1,50 × 103Ω. Assim, 
Rext= × (1,5x103Ω)(1/0,100-1) = 1,35x104Ω= 13,5KΩ. 
b) Rext=(1,5x103Ω)(1/0,500-1) = 1,5x103Ω= 1,5kΩ. 
c) Rext= (1,5 x103Ω)(1/0,900-1)= 167Ω. 
d) como r= 20,0Ω + R, R=1,50x103Ω - 20Ω= 1,48x103Ω= 1,48kΩ 
 
 
53) Na Fig. 27-14, suponha que i = 3,0 V, r = 100Ω, R1= 250Ω e R2 = 300Ω. Se a resistência do 
voltímetro RV é 5,0 kΩ, que erro percentual o voltímetro introduz na medida da diferença de 
potencial entre os terminais de R1? Ignore a presença do amperímetro. 
 
Resposta: 
A corrente em R2 é i. Vamos chamar de i1 a corrente em R1 e tomar o sentido para baixo como 
positivo. De acordo com a regra dos nós, a corrente no voltímetro é i- i1. Aplicando a regra das 
malhas à malha da esquerda, temos: 
∈-iR2 - i1R1-ir=0 
Aplicando a regra das malhas à malha da direita, temos: 
iR1−(i - i1)RV= 0. 
A segunda equação nos dá; 
i=(R1+RV)i1/RV 
Substituindo na primeira equação, obtemos; 
∈-[(R2+r)(R1+RV)] i1/RV + R1i1=0 
O que nos dá; 
i1= ∈RV/[(R2+r)(R1+RV)+R1RV] 
 
A leitura do voltímetro é; 
i1R1= ∈RVR1/[(R2+r)(R1+RV)+R1RV] 
=[(3,0V)(5,0x103Ω)(250Ω)] /[(300Ω+100Ω)(250Ω+5,0x103Ω)+(250Ω)(5,0x103Ω) 
=1,12V. 
A corrente na ausência do voltímetro pode ser obtida tomando o limite da expressão anterior 
quando RV→ ∞, o que nos dá; 
i1R1= ∈R1/(R1+R2+r) = (3,0V)(250Ω)/ (250Ω+300Ω+100Ω) =1,15V. 
O erro percentual é, portanto, (1,12 – 1,15)/(1,15) = –0,030 = –3,0%. 
 
54) Quando os faróis de um automóvel são acesos, um amperímetro em série com os faróis indica 
10,0 A e um voltímetro em paralelo com os faróis indica 12,0 V. Quando o motor de arranque é 
acionado, a leitura do amperímetro cai para 8,00 A e a luz dos faróis fica mais fraca. Se a 
resistência interna da bateria é 0,0500Ω e a do amperímetro é desprezível, determine (a) a força 
eletromotriz da bateria; (b) a corrente no motor de arranque quando os faróis estão acesos. 
 
Resposta: 
 
a) ∈= V + ir = 12 V + (10,0 A) (0,0500 Ω) = 12,5 V. 
b) ∈ = V' + (imotor+ 8,00 A)r, na qual, 
V'= i' ARfaróis= (8,00 A) (12,0 V/10 A) = 9,60 V. 
Assim; 
imotor=∈-V'/r - 8,00A= (12,5 -9,60V)/0,0500Ω- 8,00A = 50,0A. 
 
55) Na Fig. 27-61, o valor de R, pode ser ajustado através de um contato deslizante até que os 
potenciais dos pontos a e b sejam iguais. (Um teste para verificar se essa condição foi satisfeita é 
ligar temporariamente um amperímetro sensível entre os pontos a e b; se os potenciais dos dois 
pontos forem iguais, a indicação do amperímetro será zero.) Mostre que quando esta condição é 
satisfeita, Rx = RxR2/R1• Uma resistência desconhecida (Rx ) pode ser medida em termos de uma 
resistência de referência (Rx) usando este circuito conhecido como ponte de Wheatstone. 
 
 
Resposta: 
Seja i1 a corrente em R1 e R2, considerada positiva se o sentido é para a direita em R1. Seja i2 a 
corrente em Rs e Rx, considerada positiva se o sentido é para a direita em Rs. A regra das malhas 
nos dá (R1 + R2)i1 -(Rx + Rs)i2= 0. Como o potencial é o mesmo nos pontos a e b, i1R1 = i2Rs, o 
que nos dá i2 = i1R1/Rs. Substituindo na primeira equação, obtemos 
(R1+R2)i1= (Rx+Rs)R1i1/Rs 
Rx=R2Rs/R1. 
 
56) Na Fig. 27-62, um voltímetro de resistência Rv = 300 O e um amperímetro de resistência RA 
= 3,00 O estão sendo usados para medir uma resistência R em um circuito que também contém 
urna resistência R0 = 100 O e uma fonte ideal de força eletromotriz t; = 12,0 V. A resistência Ré 
dada por R = Vii, onde V é a leitura do voltímetro e i é a corrente na resistência R. Entretanto, a 
leitura do amperímetro não é i e sim i', que é a soma de i com a corrente no voltímetro. Assim, a 
razão entre as leituras dos dois medidores não é R e sim a resistência aparente R' = Vii'. Se R = 
85,0 O, determine (a) a leitura do amperímetro; (b) a leitura do voltímetro; (c) o valor de R'. (d) 
Se Rv aumenta, a diferença entre R' e R aumenta, diminui ou permanece a mesma
 
Resposta: 
As correntes em R e Rv são i e i'-i, respectivamente. Como V = iR = (i'-i)Rv, temos, dividindo 
ambos os membros por V, 1 = (i'/V - i/V)Rv = (1/R' -1/R)Rv. Assim, 
1/R = 1/R' -1/Rv 
R'=RRv/(R+Rv) 
A resistência equivalente do circuito é; 
Req= RA+ R0+R' = RA +R0 + RRv/(R+Rv) 
a) A leitura do amperímetro é 
i'= e/Req = e/[RA+R0+RvR/(R+Rv)] 
 =12,0V/[3,00Ω+100Ω+(300Ω)(85,0Ω)/(300Ω+85,0Ω)] 
=7,09x10-2A 
b) A leitura do voltímetro é 
V =e – i' (RA + R0) = 12,0 V – (0,0709 A) (103,00 Ω) = 4,70 V. 
c) A resistência aparente é R' = V/i' = 4,70 V/(7,09 × 10-2 A) = 66,3 Ω. 
d) Se Rv aumenta, a diferença entre R e R′ diminui. 
 
57) A chave S da Fig. 27-63 é fechada no instante t = 0, fazendo com que um capacitor 
inicialmente descarregado de capacitância C = 15,0 µF comece a se carregar através de um resistor 
de resistência R = 20,0 𝛀. Em que instante a diferença de potencial entre os terminais do capacitor 
é igual à diferença de potencial entre os terminais do resistor? 
 
Resposta: 
Vamos chamar de V a fem da fonte. Nesse caso, a condição de que a diferença de potencial entre 
os terminais do resistor seja igual à diferença de potencial entre os terminais do capacitor pode 
ser escrita na forma iR = Vcap, o que, nos dá; 
V∈-t/RC= V(1 − ∈-t/RC) ⇒ t = RC ln 2 = 0,208 ms. 
 
 
58) Em um circuito RC série, ∈= 12,0V, R = l,40M0e C = 1,80 µF. (a) Calcule a constante de 
tempo. (b) Determine a carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado. (c) Qual é 
o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor de 16,0 µC? 
Resposta: 
a) t = RC = (1,40 × 106 Ω)(1,80 × 10-6F) = 2,52 s. 
b) q0 = ∈C = (12,0 V)(1,80 μF) = 21,6 μC. 
c) q = q0(1 – e-t/RC), o que nos dá; 
t=RC ln[q0/(q0-q)] = (2,52s)ln[21,6μaC/(21,6μC -16,0μC)] =3,40s 
 
59) Que múltiplo da constantede tempo T é o tempo necessário para que um capacitor 
inicialmente descarregado seja carregado com 99,0% da carga final em um circuito RC série? 
Resposta: 
Enquanto o capacitor está sendo carregado, a carga da placa positiva é dada por q=C∈(1-∈-t/T), na 
qual C é a capacitância, e é a fem aplicada e T = RC é a constante de tempo. A carga final é qf = 
C∈. No instante em que q =0,99qf= 0,99C∈; 
0,99=1-∈-t/T 
∈-t/T= 0,01. 
Tomando o logaritmo natural de ambos os membros, obtemos; 
t/T= – ln 0,01 = 4,61 
 
60) Um capacitor com uma carga inicial q0 é descarregado através de um resistor. Que múltiplo 
da constante de tempo T é o tempo necessário para que o capacitor descarregue (a) um terço da 
carga inicial; (b) dois terços da carga inicial? 
Resposta: 
a) De acordo com a Eq. 27-39, q= q0e-t/T, o que nos dá t = t ln (q0/q), na qual t = RC é a Constante 
de tempo. Assim; 
t1/3 = T ln[q0/(2q0/3)] = Tln(3/2) = 0,41T 
t1/3/T = 0,41. 
 
b) t2/3=T ln[q0/(q0/3)]= Tln(3) = 1,1T t2/3/T=1,1. 
 
61) Um resistor de 15,0 k𝛀 e um capacitor são ligados em série e uma diferença de potencial de 
12,0 V é aplicada bruscamente ao conjunto. A diferença de potencial entre os terminais do 
capacitor aumenta para 5,00 V em 1,30 µ s. (a) Calcule a constante de tempo do circuito. (c) 
Determine a capacitância C do capacitor. 
Resposta: 
A diferença de potencial entre os terminais do capacitor é V(t) = e(1 − e-t/RC). Como, para t = 1,30 
μs, V(t) = 5,00 V, 5,00 V = (12,0 V)(1 – e-1,30μs/RC), o que nos dá; 
T= (1,30μs)/ln(12/7) = 2,41 μs. 
b) A capacitância é C = T/R = (2,41 μs)/(15,0 kΩ) = 161 pF. 
 
 
62) A Figura mostra o circuito de uma lâmpada piscante como as que são usadas nas obras de 
estrada. Uma lâmpada fluorescente L (de capacitância desprezível) é ligada em paralelo com o 
capacitor C de um circuito RC. Existe uma corrente na lâmpada apenas quando a diferença de 
potencial aplicada à lâmpada atinge a tensão de ruptura VL; nesse instante, o capacitor se 
descarrega totalmente através da lâmpada e a lâmpada fica acesa por alguns momentos. Para uma 
lâmpada com uma tensão de ruptura VL = 72,0 V, ligada a uma bateria ideal de 95,0 V e a um 
capacitor de 0,150 µF, qual deve ser o valor da resistência R para que a lâmpada pisque duas 
vezes por segundo? 
 
Resposta: 
O tempo necessário para que a diferença de potencial entre os terminais do capacitor atinja o valor 
VL é dado por VL = e(1- e-t/RC). Para que a lâmpada pisque duas vezes por segundo, esse tempo 
deve ser igual a 0,500 s. Assim; 
R= t/{C ln[e/(e-VL)= 0,500s/{(0,150x10-6F) ln[95,0V/(95,0V-72,0V)]} 
=2,35x106Ω 
 
63) No circuito da Figura, ∈ = 1,2 kV, C = 6,5 µF e R 1 =R 2 = R3 = 0,73 M𝛀. Com o capacitor 
C totalmente descarregado, a chave S é fechada bruscamente no instante t = 0. Determine, para o 
instante t = 0, (a) a corrente i 1 no resistor 1; (b) a corrente i2 no resistor 2; (c) a corrente i3 no 
resistor 3. Determine, para t - ∞ (ou seja, após várias constantes de tempo), (d) i 1, (e) i2, (f) i3. 
Determine a diferença de potencial V2 no resistor 2 (g) em t = 0 e (h) para t - ∞. (i) Faça um 
esboço do gráfico de V2 em função de t no intervalo entre esses dois instantes extremos. 
 
Resposta: 
No instante t = 0, o capacitor está totalmente descarregado e se comporta como um curto-circuito. 
Seja i1 a corrente em R2, considerada positiva se o sentido for para a direita. Seja i2 a corrente em 
R2, considerada positiva se o sentido for para baixo. Seja i3 a corrente em R3, considerada positiva 
se o sentido for para baixo. De acordo com a regra dos nós, i1 = i2 + i3. Aplicando a regra das 
malhas à malha da esquerda, obtemos; 
 e-i1R1-i2R2= 0, 
e aplicando a regra das malhas à malha da direita, obtemos; 
i2R2- i3R3 =0. 
Como as resistências são todas iguais, podemos substituir R1, R2 e R3 por R, o que nos dá o 
seguinte sistema de equações: 
i1= i2+ i3 
 e-i1R-i2R=0 
i1-i2=0 
Resolvendo o sistema de equações, obtemos: 
a) i1= 2e/3R=2(1,2x103V)/3(0,73x106Ω) = 1,1x10-3A= 1,1mA. 
b) i2= e/3R=(1,2x103V)/3(0,73x106Ω) = 5,5x10-4A= 0,55mA. 
c) i3=i2=5,5x10-4 A=0,55mA 
d) Para t → ∞, o capacitor está totalmente carregado e se comporta como um circuito 
aberto. 
Assim, i1= i2, e a regra das malhas nos dá 
e-i1R1- i2R2=0 
i1=e/2R =(1,2x103V)/2(0,73x106Ω)= 8,2x10-4 A= 0,82mA. 
e) i2=i1 =8,2x10-4A =0,82 mA. 
f) Como foi visto no item anterior, i3=0. 
Em um instante genérico, as equações obtidas, aplicando ao circuito a regra dos nós e a regra das 
malhas, são: 
i1= i2+ i3 
 e-i1R-i2R=0 
-q/C -i3R+i2R=0 
Substituindo i1 por i2+ i3 na segunda equação, obtemos e – 2i2R – i3R = 0, o que nos dá i2 =(e – 
i3R)/2R. Substituindo na terceira equação, obtemos 
–(q/C) – (i3R) + (â/2) – (i3R/2) = 0. 
Substituindo i3 por dq/dt, temos: 
(3r/2)(dq/dt) +q/C=e/2 
Como a equação anterior é a equação de um circuito RC série com uma constante de tempo T = 
3RC/2 e uma fem aplicada e/2, a solução é 
q=Ce(1-e-2t/3RC)/2 
A corrente no ramo do capacitor é 
i3(t)=dq/dt=ee-2t/3RC/3R 
A corrente no ramo central é 
i2(t)= e/2R - i2/2= e/2R - ee
-2t/3RC/6R= 
 e(3-e-2t/3RC)/6R. 
e a queda de tensão em R2 é 
V2(t)=i2R=e(3-e
-2t/3RC)/6. 
g) Para t=0, e e-2t/3RC = 1 e V2= e/3 =(1,2x103V)/3 =4,0 ×102V. 
h) Para t → ∞, e -2t/3RC→ 0 e V2 =e/2 =(1,2x 203V)= 6,0 ×102V. 
i) A figura a seguir mostra um gráfico de V2 em função do tempo. 
 
64) Um capacitor com uma diferença de potencial inicial de 100V começa a ser descarregado 
através de um resistor quando uma chave é fechada no instante t = O. No instante t = 10,0 s, a 
diferença de potencial no capacitor é 1,00 V. (a) Qual é a constante de tempo do circuito? (b) 
Qual é a diferença de potencial no capacitor no instante t = 17,0 s? 
Resposta: 
a) A diferença de potencial V entre as placas de um capacitor está relacionada à carga q da 
placa positiva através da equação V = q/C, na qual C é a capacitância. Como a carga de 
um capacitor que está se descarregando é dada por q = q0e-t/T, isto significa que V=V0 e-
t/T = 0, na qual V0 é a diferença de potencial inicial. Dividindo ambos os membros por V0 
e tomando o logaritmo natural, obtemos: 
T= -t/ln(V/V0) = - 10,0ms/ln[(1,00V)(100V)]= 2,17s. 
 
b) No instante t = 17,0 s, t/T= (17,0 s)/(2,17 s) = 7,83 e, portanto; 
V=V0e-t/T=(100V)e-7,83=3,96x10-2V= 39,6mV 
65) Na Figura, R1 = 10,0 k𝛀, R2 = 15,0 k𝛀, C = 0,400 µF e a bateria ideal tem uma força 
eletromotriz ∈ = 20,0 V. Primeiro. A chave é mantida por um longo tempo na posição fechada. 
até que seja atingido o regime estacionário. Em seguida, a chave é aberta no instante t = 0. Qual 
é a corrente no resistor 2 no instante t = 4,00 ms'? 
 
Resposta: 
No regime estacionário, a tensão entre os terminais do capacitor é igual à queda de tensão em R2: 
V0=R2e/R1+R2=(15,0kΩ)[20,0V/(10,0kΩ+15,0kΩ)]= 12,0V. 
Multiplicando a Eq. 27-39 pela capacitância, obtemos V = V0e-
t/RC como a equação que descreve 
a tensão entre os terminais do capacitor (e entre os terminais de R2) depois que a chave é aberta. 
Assim, para t = 0,00400 s, temos: 
V=12,0e-0,004/(15.000)(0,4x10^-6)= 6,16V. 
Assim, de acordo com a lei de Ohm, a corrente em R2 é 6,16/15.000 = 411μA. 
 
66) A Fig. 27-67 mostra dois circuitos com um capacitar ca1Tegado que pode ser descarregado 
através de um resistor quando uma chave é fechada. Na Fig. 27-67a, RI = 20,0 O e cl = 5,00 µ,F. 
Na Fig. 27-67b, R2 = 10,0 D e C2 = 8,00 µ,F. A razão entre as cargas iniciais dos dois capacitares 
é q0/ q01 = 1,50. No instante t = O, as duas chaves são fechadas. Em que instante tos dois 
capacitores possuem a mesma carga? 
 
Resposta: 
Para resolver o problema, aplicamos a equação da descarga do capacitor aos dois capacitores, 
levamos em conta o fato de que a razão entre as cargas é 1,5 e explicitamos o tempo t. Como as 
constantes de tempo dos dois circuitos são; 
T1=R1C1=(20,0Ω)(5,00x10-6F)= 1,0x10-4s. 
T2=R2C2=(10,0Ω)(8,00x10-6F)= 8,0x10-5s 
Temos: 
T=ln(3/2)/(T2-1+T1-1)=ln(3/2)/(1,25x104s-1- 1,00x10-4s)=162μs 
 
67) A diferença de potencial entre as placas de um capacitor de 2,0 µ,F com fuga (o que significa 
que há uma passagem de carga de uma placa para a outra) diminui para um quarto do valor inicial 
em 2,0 s. Qual é a resistência equivalente entre as placas do capacitor? 
Resposta: 
A diferença de potencial entre as placas do capacitor varia com o tempo de acordo com a equação 
V(t)= Vpe-t/RC .Para V = V0/4 e t = 2,0 s, obtemos; 
R=t/C ln(V0/V)= 2,0s/(2,0x106F)ln4 = 7,2x105Ω= 0,72MΩ 
 
68) Um capacitor de 1,0 µ,F com uma energia inicial armazenada de 0,50 J é descarregado através 
de um resistor de 1,0 MO. (a) Qual é a carga inicial do capacitor? (b) Qual é a corrente no resistor 
quando a descarga começa? Escreva expressões que permitam calcular, em função do tempo t, 
(c) a diferença de potencial Vc no capacitor, (d) a diferença de potencial VR no resistor e (e) a 
potência PR dissipada pelo resistor. 
Resposta: 
a) Como a energia inicial armazenada no capacitor é U C = 𝑞0
2
 / 2C, na qual C é a capacitância 
e q0 é a carga inicial de uma das placas, temos: 
 𝑞0= √2𝐶𝑈𝑐 = √2(1𝑥10
−6𝐹)(0,5𝐽) = 1x10−3𝐶 
b) A variação da carga com o tempo é dada por q= 𝑞0𝑒
−𝑡∕𝑇, na qual T é a constante de 
tempo. Derivando essa expressão em relação ao tempo, obtemos; 
i= -
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 = 
𝑞0
𝑇
 𝑒−𝑡∕𝑇 
o que mostra que a corrente inicial é i0 = q0/T. Como a constante de tempo é; 
T = RC = (1x10−6𝐹)( 1x106𝛀) = 1s. 
Obtemos: 
𝑖0 =
1x10−3𝐶
1 𝑠
= 1x10−3𝐴 
c) Fazendo q= 𝑞0𝑒
−𝑡∕𝑇na relação VC = q/C, obtemos 
𝑉 𝑐 = 
𝑞0
𝐶
 𝑒−𝑡∕𝑇 = (
1x10−3𝐶
1x10−6𝐹
) 𝑒−𝑡∕1𝑠= (1x103𝑉) 𝑒−𝑡. 
d) Fazendo i=(𝑞0 ∕ 𝑇)𝑒
−𝑡∕𝑇 na relação VR = iR, obtemos; 
VR= (𝑞0𝑅) ∕ 𝑒
−𝑡∕𝑇 = 
(1x10−3𝐶)(1x106Ω)
1𝑠
 𝑒−𝑡∕1𝑠= (1x103𝑉) 𝑒−𝑡. 
e) Fazendo i=(𝑞0 ∕ 𝑇)𝐶 na relação P = 𝑖
2R, obtemos 
P= 
𝑞0
2𝑅
𝑇2
 𝑒−2𝑡∕𝑇= 
(1x10−3𝐶)2(1x106Ω)
(1𝑠)2
 𝑒−2𝑡∕1𝑠= 𝑒−2𝑡∕W. 
 
69) Um resistor de 3,00 MD e um capacitor de 1,00 µ,F são ligados em série com uma fonte ideal 
de força eletromotriz ∈= 4,00 V. Depois de transcorrido 1,00 s, determine (a) a taxa de aumento 
da carga do capacitor; (b) a taxa de armazenamento de energia no capacitor; (c) a taxa de 
dissipação de energia no resistor; (d) a taxa de fornecimento de energia pela fonte. 
Resposta: 
a) A carga da placa positiva do capacitor é dada por q=Ce(1-e-t/T) na qual C é a capacitância, 
e é a fem da fonte e t é a constante de tempo. O valor de T é; 
T = RC = (3,00 × 106 Ω)(1,00 × 10-6F) = 3,00s. 
 
Para t = 1,00 s, t/T= (1,00s)/(3,00s) = 0,333 e a taxa de aumento de carga do capacitor é; 
 
dq/dt=Cee-t/T/T=(1,00x10-6F)(4,00V)e-0,333/3,00s=9,55×10-7C/s=0,955μC/s. 
 
b) A energia armazenada no capacitor é dada por UC = q2/2C e a taxa de variação da energia 
dUC/dt=(q/C)(dq/dt) 
 Como; 
q=Ce(1-e-t/T)=(1,00x10-6F)(4,00V)(e-0,333)=1,13x10-6C. 
Temos: 
dUC/dt=(q/C)(dq/dt)=(1,13x10-6C/1,00 × 10-6F)(9,55×10-7C/s)=1,08x10-6W=1,08μW. 
 
c) A taxa com a qual a energia é dissipada no resistor é dada por P = i2R. Como a corrente 
é 9,55 ×10-7 A; 
P =(9,55x10-7A)2(3,00x106Ω)=2,74x10-6W=2,74μW. 
 
 
d) A taxa com a qual a energia é fornecida pela fonte é; 
 
ie=(9,55x10-7A)(4,00V)=3,82x10-6W=3,82μW. 
 
Como a energia fornecida pela fonte é armazenada no capacitor ou dissipada no resistor, o valor 
obtido no item (d) é igual à soma dos valores obtidos nos itens (b) e (c): 3,82 μW = 1,08 μW 
+2,74 μW. 
 
 
70) Cada uma das seis fontes reais da Fig. 27-68 possui uma força eletromotriz de 20 V e uma 
resistência de 4,0 D. (a) Qual é a corrente na resistência (externa) R = 4,0 ü? (b) Qual é diferença 
de potencial entre os terminais de uma das fontes? (c) Qual é a potência fornecida por uma das 
fontes? (d) Qual é a potência dissipada na resistência interna de uma das fontes? 
 
Resposta: 
a) Por simetria, sabemos que as correntes no ramo superior e no ramo central do circuito 
têm o mesmo valor, que vamos chamar de i. Isto significa que a corrente no resistor R do 
ramo inferior é iR = 2i. Assim, chamando de r a resistência interna das fontes e de ∈ a fem 
das fontes e aplicando a regra das malhas à malha externa do circuito, obtemos; 
3 (∈- ir )-( 2i) R = 0; 
O que nos dá i = 3,0 e iR = 2i = 6,0 A. 
b) A diferença de potencial entre os terminais de uma das fontes é ∈ – ir = 8,0 V. 
c) Pf = i∈ = (3)(20) = 60 W 
d) Pf = i2r = 36 W. 
 
71) Na Fig. 27-69, R 1 = 20,0 O, R2 = 10,0 O e a força eletromotriz da fonte ideal é ∈= 120 V. 
Determine a corrente no ponto a (a) com apenas a chave S1 fechada; (b) com apenas as chaves 
S1 e S2 fechadas; (c) com as três chaves fechadas. 
 
Resposta: 
a) Com a chave S1 fechada e as chaves S2 e S3 abertas; 
ia = ∈/2R1 = 120 V/40,0 Ω = 3,00 A. 
b) Com as chaves S1 e S2 fechadas e a chave S3 aberta, temos: 
Req = R1 + R1(R1 + R2) /(2R1 + R2) = 20,0 Ω + (20,0 Ω) × (30,0 Ω)/(50,0 Ω) = 32,0 Ω 
o que nos dá; 
ia = ∈/Req = 120 V/32,0 Ω = 3,75 A. 
c) Com as três chaves fechadas, Req = R1 + R1 R9/(R1 + R9), na qual; 
R’ = R2 + R1 (R1 + R2)/(2R1 + R2) = 22,0 Ω, 
o que nos dá; 
Req = 20,0 Ω + (20,0 Ω) (22,0 Ω)/(20,0 Ω + 22,0 Ω) = 30,5 Ω 
e, portanto; 
ia = ∈/Req = 120 V/30,5 Ω = 3,94 A. 
 
72) Na Fig. 27-70, a força eletromotriz da fonte ideal é ∈ = 30,0 V e as resistências são RI = R2 
= 14 n, R3 = R4 = Rs = 6,0 n, R 6 = 2,0 Ü e R7 = 1,5 O. Determine (a) i2; (b) i4; (c) i1; (d) i3; 
(e)i5 
 
Resposta: 
a) A resistência equivalente dos resistores R1, R2, R3 e R4 é dada por; 
Req = R12 + R34 = 
𝑅1𝑅2
𝑅1+𝑅2
+ 
𝑅3𝑅4
𝑅3+𝑅4
= 7𝛺 + 3𝛺 = 10𝛀 
Como a fem da fonte está aplicada aos terminais de Req, temos; 
i2 = ∈/Req = (30,0 V)/(10 Ω) = 3,0 A. 
b) A resistência equivalente dos resistores R5, R6 e R7 é; 
R’eq = R56 + R7 = 
𝑅5𝑅6
𝑅5+𝑅6
+ 𝑅7 =
(6𝛀)(2𝛀)
6𝛀+𝟐𝛀
+ 1,5𝛀 = 3𝛀Como a fem da fonte está 
aplicada aos terminais de R’eq, temos: 
i4 = ∈/R’eq = (30,0 V)/(3,0 Ω) = 10 A. 
c) De acordo com a regra dos nós, i1 = i2 + i4 = 13 A. 
d) Por simetria, i3 = i2/2 = 1,5 A. 
e) Aplicando a regra das malhas à malha que contém a fonte e os resistores R6 e R7, temos: 
30V 2 i4(1,5 Ω) 2 i5(2,0 Ω) = 0 
O que nos dá i5 = 7,5 A. 
 
73) Os fios A e B, ambos com 40,0 m de comprimento e 2,60 mm de diâmetro, são ligados em 
série. Uma diferença de potencial de 60,0 V é aplicada às extremidades do fio composto. As 
resistências são RA = 0,127 O e RB = 0,729 n. Para o fio A, determine (a) o módulo J da densidade 
de corrente e (b) a diferença de potencial V. (c) De que material é feito o fio? Para o fio B, 
determine (d) J e (e) V. (f) De que material é feito o fio B? 
Resposta: 
a) O módulo da densidade de corrente no fio A (e também no fio B) é; 
𝐽 𝑎= 
𝑖
𝐴
= 
𝑉
(𝑅1+𝑅2)𝐴
 = 
4𝑉
(𝑅1+𝑅2)𝜋𝐷2
= 
4(60𝑉)
(0,127𝛺+0,729𝛺)𝜋(2,6𝑥10−3𝑚)2
 = 1,32𝑥107𝐴 ∕ 𝑚2 
b) 𝑉𝐴 =
𝑉𝑅1
𝑅1+𝑅2
 = 
(60𝑉)(0,127𝛺)
0,127𝛺+0,729𝛺
 = 8,90V 
c) 𝑃𝐴 = 
𝑅𝐴
𝐿𝐴
 = 
𝜋𝑅𝐴𝐷
2
4𝐿𝐴
 = 
𝜋(0,127𝛺)(2,60𝑥10−3𝑚)
2
4(40𝑚)
 = 1,69𝑥10−8Ωm 
d) Ja =J B = 1,3 𝑥 102 𝐴 ∕ 𝑚2 
e) VB = V - VA = 60,0 V - 8,9 V = 51,1 V. 
74) Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentido (para cima ou para baixo) da corrente i na 
figura, onde todas as resistências são de 4,0 D e todas as fontes são ideais e têm uma força 
eletromotriz de 10 V. (Sugestão: este problema pode ser resolvido de cabeça.) 
 
Resposta: 
O resistor do lado esquerdo da letra i está acima de três outros resistores; juntos, esses resistores 
são equivalentes a um resistor de resistência R = 10 Ω, que conduz uma corrente i. Como 
se estivéssemos procurando a saída de um labirinto, podemos encontrar um percurso entre as 
extremidades de R que passa apenas por fontes (10, no total). Como 7 dessas fontes têm uma 
polaridade e as outras 3 têm a polaridade oposta, a fem aplicada a R é ∈ = 40 V. 
a) A corrente é i = ∈/R = 4,0 A 
b) O sentido da corrente é de baixo para cima. 
 
75) Suponha que, enquanto você estásentado em uma cadeira, a separação de cargas entre sua 
roupa e a cadeira faça com que seu corpo fique a um potencial de 200 V, com uma capacitância 
de 150 pF entre você e a cadeira. Quando você se levanta, o aumento da distância entre seu corpo 
e a cadeira faz a capacitância diminuir para 10 pF. (a) Qual é o novo valor do potencial do seu 
corpo? Esse potencial diminui com o tempo, pois a carga tende a se escoar através dos sapatos 
(você é um capacitor que está se descarregando através de uma resistência). Suponha que a 
resistência efetiva para a descarga é 300 G𝛀. Se você toca num componente eletrônico enquanto 
o seu potencial é maior que 100 V, o componente pode ficar inutilizado. (b) Quanto tempo você 
deve esperar para que o potencial do seu corpo chegue ao nível seguro de 100 V? 
Se você usar uma pulseira condutora em contato com a terra, seu potencial não aumentará tanto 
quando você se levantar; além disso, a descarga será mais rápida, pois a resistência da ligação à 
terra será menor que a dos sapatos. (c) Suponha que, no momento em que você e levanta, o 
potencial do seu corpo é 1400 V e a capacitância entre o seu corpo e a cadeira é 10 pF. Qual deve 
ser a resistência entre a pulseira e a terra para que o seu corpo chegue ao potencial de 100 V em 
0,30 s, ou seja, em um tempo menor que o que você levaria para tocar, por exemplo, em um 
computador? 
Resposta: 
a) No processo descrito no enunciado, a carga é constante. Assim; 
q = C1V1 = C2V2 → V2 = V1
𝐶1
𝐶2
= (200) (
150
10
) = 3,0 𝑥 103𝑉 = 3𝑘𝑉. 
 
b) Multiplicando q=q0𝚎−𝑢∕𝑅𝐶 pela capacitância, obtemos V = V0𝑒−𝑢∕𝑅𝐶 como a equação 
que 
descreve a tensão entre os terminais do capacitor. Assim; 
V = V0𝑒−𝑢∕𝑅𝐶 → t = RCln(
V0
V0
) = (300 x 109𝛀)(10 x 10−12𝐹) ln(
3000
100
) 
O que nos dá t = 10 s. Este é um intervalo de tempo maior que o que as pessoas levam 
para fazer algo como manusear um equipamento eletrônico depois de se levantarem. 
c) Nesse caso, temos que obter o valor de R na equação V = V0𝑒−𝑢∕𝑅𝐶 para os novos valores 
V0 = 1400 V e t = 0,30 s. O resultado é o seguinte: 
R= 
𝑡
𝐶𝑙𝑛(𝑉0 𝑉⁄ )
= 
0,30𝑠
(10 x 10−12𝐹)𝑙𝑛(1400∕100)
= 1,1 𝑥 1010𝛀 = 11𝐺𝛀 
 
76) Na Fig. 27-72, as forças eletromotrizes das fontes ideais são ∈1 = 20,0 V, ∈2 = 10,0 V e ∈ 3 
= 5,00 V e as resistências são todas de 2,00 𝛀. Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentido (para 
a direita ou para a esquerda) da corrente i1• (c) A fonte 1 fornece ou absorve energia? (d) Qual é 
a potência fornecida ou absorvida pela fonte 1? (e) A fonte 2 fornece ou absorve energia? (f) Qual 
é a potência fornecida, ou absorvida pela fonte 2? (g) A fonte 3 fornece ou absorve energia? (h) 
Qual é a potência fornecida ou absorvida pela fonte 3? 
 
Resposta: 
a) Podemos reduzir o par de resistores em paralelo na parte de baixo do circuito a um único 
resistor R′ =1,00 Ω e combinar esse resistor com um resistor em série para obter um 
resistor equivalente R′′ = 2,00 Ω + 1,00 Ω = 3,00 Ω. A corrente em R′′ é a corrente i1 que 
precisamos calcular. Aplicando a regra das malhas a uma malha que inclui R′′ e as três 
fontes e supondo que o sentido da corrente i1 é da direita para a esquerda, obtemos: 
5,00 V + 20,0 V -10,0 V - i1R” = 0; 
o que nos dá i1 = 5,00 A. 
b) Como o valor obtido para i1 no item (a) foi positivo, o sentido da corrente é o que foi 
escolhido inicialmente, ou seja, da direita para a esquerda 
c) Como o sentido da corrente da fonte 1 é do terminal negativo para o terminal positivo, a 
fonte 1 está fornecendo energia. 
d) A potência fornecida pela fonte 1 é P1 = (5,00 A)(20,0 V) = 100 W 
e) Reduzindo os resistores que estão em paralelo com a fonte ∈2 a um único resistor R’ = 
1,00 Ω, através do qual passa uma corrente i’= (10,0 V)//(1,00 Ω) = 10,0 A, de cima para 
baixo, vemos que, de acordo com a regra dos nós, a corrente na fonte ∈2 é i = i’ - i1 = 5,00 
A para cima, ou seja, do terminal negativo para o terminal positivo. Isso significa que a 
fonte 2 está fornecendo energia. 
f) P2 = (5,00 A)(10,00 V) = 50,0 W 
g) O conjunto de resistores em paralelo com a fonte â3 pode ser reduzido a um único resistor 
R”’ = 0,800 Ω (associando primeiro dois resistores em série e depois associando o resistor 
equivalente a dois resistores em paralelo), através do qual passa uma corrente i”’ = (5,00 
V)/(0,800 Ω) = 6,25 A de cima para baixo. De acordo com a regra dos nós, a corrente na 
fonte ∈3 é i = i”’ + i1 = 11,25 A para cima, ou seja, do terminal negativo para o terminal 
positivo. Isso significa que a fonte 3 está fornecendo energia. 
h) P3 = (11,25 A)(5 V) = 56,3 W. 
 
77) Para fabricar um resistor cuja resistência varia muito pouco com a temperatura, pode-se 
utilizar uma combinação em série de um resistor de silício com um resistor de ferro. Se a 
resistência total desejada é 1000 𝛀 e a temperatura de referência é 20ºC, determine a resistência 
(a) do resistor de silício; (b) do resistor de ferro. 
Resposta: 
Vamos usar o índice s para indicar silício, o índice f para indicar ferro e chamar de T0 a 
temperatura de referência. As resistências dos dois resistores são dadas por; 
𝑅𝑠(T) = 𝑅𝑠(𝑇0)[ 1 + 𝛼𝑠( T - 𝑇0)] , 𝑅𝑓(T) = 𝑅𝑓(𝑇0)[ 1 + 𝛼𝑓( T - 𝑇0)] 
Como os resistores estão ligados em série, 
𝑅 (T) = 𝑅𝑠(𝑇 ) + 𝑅𝑓(T) = 𝑅𝑠(𝑇0) [ 1 + 𝛼𝑠( T - 𝑇0)] + 𝑅𝑓(𝑇0) [ 1 + 𝛼𝑓( T - 𝑇0)] = 
= 𝑅𝑠(𝑇0) + 𝑅𝑓(𝑇0) + [𝑅𝑠(𝑇0) 𝛼𝑠 + 𝑅𝑓(𝑇0)𝛼𝑓](T-𝑇0). 
Para que R(T) não dependa da temperatura e seja igual a 1000 Ω, devemos ter: 
𝑅𝑠(𝑇0) 𝛼𝑠 + 𝑅𝑓(𝑇0)𝛼𝑓 = 0 
𝑅𝑠(𝑇0) + 𝑅𝑓(𝑇0) = 1000𝛀 
a) 𝑅𝑠(𝑇0) = 
𝑅𝛼
𝛼𝑓−𝛼𝑠
 = 
(1000𝛺)(6,5 𝑥10−3 𝐾−1)
(6,5 𝑥10−3 𝐾−1)−(−70 𝑥 10−3 𝐾−1)
 = 85,0𝛀 
b) 𝑅𝑖(𝑇0) = 1000𝛀 - 85𝛀 = 915𝛀. 
Obs: Só é possível construir um resistor desse tipo usando materiais, como o ferro e o silício, 
cujos coeficientes de temperatura da resistividade têm sinais opostos. Mesmo assim, a variação 
da resistência com a temperatura, embora pequena, não é exatamente zero, já que o próprio 
coeficiente de temperatura da resistividade varia com a temperatura, e a variação é diferente 
em diferentes materiais. É por isso que o enunciado do problema se refere a “um resistor cuja 
resistência varia muito pouco com a temperatura” e não a “um resistor cuja resistência não varia 
com a temperatura” 
 
78) Na Fig. 27-14, suponha que 'g = 5,0V, r = 2,0D,R 1 = 5,0D e R2 = 4,0 D. Se a resistência do 
amperímetro RAé 0,10 D , que erro percentual essa resistência introduz na medida da corrente? 
Ignore a presença do voltímetro. 
Resposta: 
Como a corrente no amperímetro é iA = ∈/(r + R1 + R2 + RA) e a corrente em R1 e R2 sem o 
amperímetro é i = ∈/(r + R1 + R2), o erro percentual é; 
∆𝑖
𝑖
= 
𝑖 − 𝑖𝐴
𝑖
= 1 − 
𝑟 + 𝑅1 + 𝑅2 
𝑟 + 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅𝐴
= 
𝑅𝐴
𝑟 + 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅𝐴
= 
0,10Ω
2Ω + 5Ω + 4Ω + 0,1Ω
 
= 0,90% 
 
79) Um capacitor C inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força 
eletromotriz constante 'g ligada em série com um resistor R. (a) Mostre que a energia final 
armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte. (b) Integrando o 
produto i2R no intervalo de carga, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é 
igual à metade da energia fornecida pela fonte. 
Resposta: 
a) Como, de acordo com a equação, i(t) = (∈/R)𝑒−𝑢∕𝑅𝐶, a energia total fornecida pela fonte 
é; 
U = ∫ ∈ 𝑖𝑑𝑡 = 
∈2
𝑅
∞
0
 ∫ 𝑒−𝑢∕𝑅𝐶𝑑𝑡 = 𝐶 ∈2
∞
0
= 2𝑈𝑐 , 
E, de acordo com a Equação da energia potencial, UC = C∈2/2, temos: 
𝑈𝑐 = 
𝑈
2
. 
b) Integrando o produto 𝑖2R, temos: 
𝑈𝑅= ∫ 𝑖
2𝑅𝑑𝑡 = 
∈2
𝑅
∞
0
 ∫ 𝑒−𝑢∕𝑅𝐶𝑑𝑡 =
1
2
𝐶 ∈2= 
𝑈
2
∞
0
. 
 
80) Na Fig. 27-73, R 1 = 5,00 D, R2 = 10,0 D, R3 = 15,0 D, C1 = 5.00 µ,F, C2 = 10,0 µ,F e a 
fonte ideal tem uma força eletromotriz ∈= 20,0 V. Supondo que o circuito se encontra no regime 
estacionário, qual é a energia