Multiplicadores de Lagrange, exercícios com dicas de como resolver.

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5o Trabalho: Multiplicadores de Lagrange
Questão 1 Determine o valor máximo da
função f(x, y, z) = x+2y+3z, na curva ob-
tida pela intersecção do plano x− y + z = 1
com o ciĺındro x2 + y2 = 1.
Questão 2 (PARTÍCULA DENTRO DE
UMA CAIXA) Como exemplo da utilização
de multiplicadores de Lagrange, considere
o problema da Mecãnica Quântica de uma
part́ıcula (massa m) dentro de uma caixa. A
caixa é um paraleleṕıpedo retangular com la-
dos a, b e c.
A energia do estado fundamental da part́ıcula
é dada por
E =
~2
8m
(
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
)
.
Procuramos o formato da caixa que minimi-
zará a energia E, sujeito à restrição de que
o volume seja constante,
V (a, b, c) = abc = k.
Dica: Usar f(a, b, c) = E(a, b, c) e
ϕ(a, b, c) = abc− k = 0
Resposta: A solução é a = b = c (cubo).
.
Questão 3 Suponha que um reator nuclear (térmico) deva o ter a forma de um cilindro
circular de raio R e altura H. Queremos minimizar o volume do vaso do reator,
f(R,H) = πR2H .
Da teoria da difusão de nêutrons retiramos uma restrição:
ϕ(R,H) =
(
2, 4048
R
)2
+
( π
H
)2
= const .
Resposta: A solução é H = 1, 847R.
1
Questão 4 Um pentágono é formado colocando-se um triângulo isósceles sobre um retângulo.
Se o pentágono tem peŕımetro fixo l, determine os comprimentos dos lados do pentágono
que maximizam sua área.
Resposta: l(2 −
√
3), l(3 −
√
3)/6 e l(2
√
3 − 3)/3.
Questão 5 A energia de estado fundamental de uma part́ıcula quântica de massa m dentro
de uma pastilha (cilindro circular reto) é dada por
E =
~2
2m
(
(2, 4048)2
R2
+
π2
H2
)
,
na qual R é o raio e H a altura da caixa. Ache a razão entre R e H que minimizará a
energia para um volume fixo.
Questão 6 Suponha que você está administrando uma fábrica, que produz algum tipo de
aparelho que requer aço como matéria-prima. Seus custos são, predominantemente, o tra-
balho humano, que custa 20$ por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa
170$ por tonelada. Suponha que sua receita R é modelada de maneira ampla pela seguinte
equação:
R(h, s) = 200h2/3s1/3
onde
(a) h representa as horas de trabalho
(b) s representa as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de 20.000$, qual é a receita máxima posśıvel?
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