[Álgebra Linear] Espaço Vetorial (Resumo)

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Obs.: �⃗� = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] 
0⃗ é ortogonal 
a todo vetor 
 
ESPAÇOS VETORIAIS 
1. Vetores 
Def.: �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) 
 
 Produto escalar (interno) 
 
 �⃗� ∙ 𝑣 = 〈�⃗� ∙ 𝑣 〉 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 
 
 Módulo 
 
‖�⃗� ‖ = √�⃗� ∙ �⃗� = √𝑥2 + 𝑦2 
 
 
Obs.: ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √(𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2 
 
 Ângulo de dois vetores 
cos 𝜃 =
�⃗� ∙ �⃗� 
‖�⃗� ‖ ∙ ‖�⃗� ‖
 
 Paralelismo 
 
�⃗� //𝑣 ⇒ �⃗� = 𝑘𝑣 ⇒
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
= 𝑘 
 
 Ortogonalidade 
 
�⃗� ⊥ 𝑣 ⇒ �⃗� ∙ 𝑣 = 0 ⇒ 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 = 0 
2. Espaços vetoriais 
Def.: Conjunto 𝑉 ≠ ∅, no qual, estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, bem 
como, possa ser verificados os seguintes axiomas: 
𝑨𝟏) (�⃗� + 𝑣 ) + �⃗⃗� = �⃗� + (𝑣 + �⃗⃗� ) 
𝑨𝟐) �⃗� + 𝑣 = 𝑣 + �⃗� 
𝑨𝟑) ∃! 0⃗ ∈ 𝑉; ∀�⃗� ∈ 𝑉, �⃗� + 0⃗ = �⃗� 
𝑨𝟒) ∀�⃗� ∈ 𝑉, ∃! (−�⃗� ) ∈ 𝑉; �⃗� + (−�⃗� ) = 0⃗ 
𝑴𝟏) (𝛼𝛽)�⃗� = 𝛼(𝛽�⃗� ) 
𝑴𝟐) (𝛼 + 𝛽)�⃗� = 𝛼�⃗� + 𝛽�⃗� 
𝑴𝟑) 𝛼(�⃗� + 𝑣 ) = 𝛼�⃗� + 𝛼𝑣 
𝑴𝟒) 1�⃗� = �⃗� 
 
 Propriedades
i. �⃗� + �⃗⃗� = 𝑣 + �⃗⃗� ⇒ �⃗� = 𝑣 
ii. −(−�⃗� ) = �⃗� 
iii. ∃! 𝑥 ∈ 𝑉; 𝑥 + �⃗� = 𝑣 ou 𝑥 = 𝑣 − �⃗� 
iv. 0�⃗� = 0⃗ 
v. 𝜆0⃗ = 0⃗ 
vi. 𝜆𝑣 = 0⃗ ⇒ 𝜆 = 0 ou 𝑣 = 0⃗ 
vii. (−1)𝑣 = −𝑣 
viii. (−𝜆)𝑣 = 𝜆(−𝑣 ) = −(𝜆𝑣 ) 
 
 Subespaços vetoriais
 𝑆 ≠ ∅ é subespaço de 𝑉 quando: 
a) ∀�⃗� , 𝑣 ∈ 𝑆 ⇒ �⃗� + 𝑣 ∈ 𝑆 
b) ∀𝛼 ∈ ℝ e �⃗� ∈ 𝑆 ⇒ 𝛼�⃗� ∈ 𝑆 
 
• A interseção (𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2) e a soma 
(𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2) de dois subespaços de 𝑉 
também é um subespaço vetorial de 𝑉. 
Def.: Chame-se, soma direta, 𝑆1⨁𝑆2, caso 
tenha-se: 𝑆1 + 𝑆2 = 𝑉 e 𝑆1 ∩ 𝑆2 = {0⃗ }. 
 
 
• 𝑉 = 𝑆1⨁𝑆2 ⇒ todo 𝑣 ∈ 𝑉 escreve-se de 
modo único como: 𝑣 = �⃗� + �⃗⃗� , onde �⃗� ∈
𝑆1e �⃗⃗� ∈ 𝑆2.
Obs.: Sendo 𝑆 um subespaço gerado por um conjunto 
𝐴, ao acrescentar vetores de 𝑆 a 𝐴, os novos conjuntos 
continuaram gerando o mesmo subespaço 𝑆. 
 
Obs.: Todo conjunto 𝐿𝐼 de 𝑉 é 
base do subespaço por ele gerado. 
 
 Polinômios: 
𝑑𝑖𝑚(𝑃𝑛(ℝ)) = 𝑛 + 1 
 Matriz: 
𝑑𝑖𝑚(𝑀𝑚×𝑛(ℝ)) = 𝑚 ∙ 𝑛 
Base 𝐵 Mariz coordenada (canônica) 
 Combinação linear 
 
 𝑣 = 𝑎1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + …+ 𝑎𝑛𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ 
 
 Subespaços gerados 
Quando 𝑆 é gerado por 𝐴 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } indica-se por 𝑆 = [𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ ] ou 𝐺(𝐴). 
Obs.: 𝐴 = ∅ define-se [∅] = {0⃗ } e 𝐴 = 𝐺(𝐴). 
 
Def.: Um espaço vetorial 𝑉 é finitamente gerado quando existe um conjunto finito 𝐴 ⊂ 𝑉; 𝑉 = 𝐺(𝐴). 
 
 Dependência e independência linear 
Def.: O conjunto 𝐴 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… ,𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } é LI, desde que a equação 𝑎1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + …+ 𝑎𝑛𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ = 0 admita 
apenas a solução trivial. Caso exista algum 𝑎𝑖 ≠ 0, 𝐴 é 𝐿𝐷. 
 
Teoremas: 
i. 𝐴 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } é 𝐿𝐷 ⇔ pelo menos um desses vetores é combinação linear dos demais. 
ii. 𝐴 = {𝑣 } ⊂ 𝑉 e 𝑣 ≠ 0⃗ ⇒ 𝐴 é 𝐿𝐼 
iii. 0⃗ ∈ 𝐴 ⇒ 𝐴 é 𝐿𝐷 
iv. Se uma parte de 𝐴 é 𝐿𝐷, então 𝐴 é 𝐿𝐷 
v. Se 𝐴 é 𝐿𝐼, então qualquer parte de A é 𝐿𝐼
 
 Base de um espaço vetorial 
Def.: 𝐵 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } é base de 𝑉 quando é 𝐿𝐼 e gera 𝑉. 
 
Teorema: 𝐵 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… ,𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } é base de 𝑉 ⇒ Todo conjunto com mais de 𝑛 vetores é 𝐿𝐷. 
 
Corolários: Duas bases quaisquer de 𝑉 possuem a mesma quantidade de vetores. 
 
 Dimensão de um espaço vetorial 
a) Se 𝑉 possui uma base com 𝑛 vetores, então 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛. 
b) Se 𝑉 tem uma base com infinitos vetores, então 𝑑𝑖𝑚𝑉 = ∞. 
c) 𝑉 não possui base ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 0. 
d) 𝑆 é subespaço de 𝑉 (𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛) ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝑆 ≤ 𝑛. 
e) Seja 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer subconjunto de 𝑉 com mais de 𝑛 vetores é 𝐿𝐷. 
 
Def.: 𝑉 e ℝ𝑛 são isomorfos quando 𝑉 é um espaço vetorial sobre ℝ e 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛. 
 
Teoremas: 
i. Qualquer conjunto de vetores 𝐿𝐼 em 𝑉 é parte de uma base que pode ser completada 
ii. Se 𝐵 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } é base de 𝑉, então todo 𝑣 ∈ 𝑉 é combinação linear única dos vetores de 𝐵. 
 
 Componentes de um vetor 
Def.: Dado 𝑣 = 𝑎1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + …+ 𝑎𝑛𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ , temos 𝑉𝐵 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) = [
𝑎1
⋮
𝑎𝑛
], onde 𝑎𝑖 são as componentes de 𝑣