Aplicação da Análise de Variância

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Estudo sobre a aplicação da Análise de Variância 
Augusto Sousa da Silva Filho1 
Resumo: 
A análise de variância é um teste estatístico amplamente difundido entre os analistas, e visa fundamentalmente 
verificar se existe uma diferença significativa entre as médias e se os fatores exercem influência em alguma variável 
dependente. Os fatores propostos podem ser de origem qualitativa ou quantitativa, mas a variável dependente 
necessariamente deverá ser contínua. A principal aplicação da ANOVA (analise of variance) é a comparação de 
médias oriundas de grupos diferentes, também chamados tratamentos, como por exemplo empresas que operam 
simultaneamente com diferentes rendimentos, entre muitas outras aplicações. Existem dois métodos para calcular-se 
a variância: dentro de grupos (MQG) e a variância das médias (MQR). Se a variância calculada usando a média 
(MQR) for maior do que a calculada (MQG) usando os dados pertencentes a cada grupo individual, isso pode 
indicar que existe uma diferença significativa entre os grupos. Este artigo mostra a aplicação da Anova através de 
simulações computacionais e exemplos práticos. 
Palavras-Chave: ANOVA, Razão F, Média Quadrática, Independência, Normalidade. 
Keywords: ANOVA, F ratio, mean square Independence, Normality. 
 
1 – Introdução 
Segundo Souza [1998], a Análise de variância é, essencialmente um processo aritmético que visa 
decompor uma soma de quadrados em componentes estocasticamente independentes assoc iados 
a fontes de variação perfeitamente identificas. A idéia do método foi introduzida na literatura 
estatística por Ronald A. Fisher, estatístico da escola britânica responsável por muitas das 
técnicas atualmente utilizadas na análise de dados. 
A estatística usada para a comparação de várias médias é chamada análise da variância, 
ou simplesmente ANOVA. Vamos considerar somente uma técnica da ANOVA quando há 
apenas um critério para classificar as populações de interesse. Neste caso, utilizamos a ANOVA 
de um critério para analisar os dados. Por exemplo, para comparar as vidas médias de dez 
marcas específicas de pneus, lançamos mão da ANOVA de um critério, cujos detalhes 
 
1
 Augusto Sousa da Silva Filho: Graduado em Estatística, Especialista em Didática e Metodologia do 
Ensino Superior, Especialista em Gestão da Qualidade Integrada ao Meio Ambiente, Mestrando em 
Modelagem Matemática e Computacional. Professor da Faculdade Inforium –BH e da Faculdade 
IBS/Getúlio Vargas. 
 
apresentaremos neste artigo. Em muitas situações práticas, há mais de uma forma de classificar 
as populações. Uma firma que trabalha com pedidos pelo correio pode querer comprar tipos de 
postagem que oferecem diferentes descontos e têm diferentes formas de apresentação. Um livro 
com encadernação simples oferecido a um preço baixo ocasionará, em média, mais vendas do 
que o mesmo livro com encadernação de luxo a um preço mais elevado? A análise do efeito 
conjunto de preço e apresentação exige técnicas ainda mais elaboradas que a ANOVA. 
 O artigo está organizado da seguinte forma. Na seção 2, será apresentado a análise de 
variância, na seção 3 os resultados de simulações e na seguinte é discutido os pressupostos 
básicos dos resíduos. Algumas considerações finais é apresentado na seção 4. 
 
2 – Análise de Variância 
Segundo Casella [2010], em sua forma mais simples, a ANOVA, é um método de 
estimação das médias de diversas populações, freqüentemente assumidas como normalmente 
distribuídas. No entanto, o foco central da ANOVA está no tópico planejamento estatístico. 
Como podemos obter o máximo de informações sobre a maioria das populações com a menor 
quantidade de observações? 
 Suponha que tenhamos a níveis diferentes de um único fator que desejamos comparar. 
Para Montgomery [2003], algumas vezes, cada nível do fator é chamado de um tratamento, um 
termo muito geral que pode ser reportado a aplicações iniciais da metodologia de planejamento 
de experimentos. A resposta para cada um dos k tratamentos é uma variável aleatória. Os dados 
observados aparecem na tabela 1, como ijy , representa a j-ésima observação sujeita ao i-ésimo 
tratamento. Inicialmente, consideramos o caso em que haja um número igual de observações n, 
em cada tratamento. 
 Montgomery e Runger [2003], conceituam a ANOVA, da seguinte forma, onde pode-se 
descrever as observações na Tabela 1 pelo modelo linear estatístico: 






nj
ai
Y ijiij
,...,2,1
,...,2,1
 (1) 
em que ijY é uma variável aleatória denotando a ij-ésima observação, μ é um parâmetro comum 
a todos os tratamentos, sendo chamado de média global, τ é um parâmetro associado com o i-
ésimo tratamento, sendo chamado de efeito do i-ésimo tratamento, e εij é um componente do erro 
aleatório. Note que o modelo poderia ter sido escrito como: 






nj
ai
Y ijij
,...,2 ,1
,...,2 ,1
 (2) 
sendo μi = μ + τi a média do i-ésimo tratamento. Dessa forma do modelo, vemos que cada 
tratamento define uma população que tem média μi, consistindo na média global μ mais um 
efeito τi que é devido àquele tratamento particular. Consideraremos que os erros εij sejam normal 
e independentes distribuídos, com média zero e variância σ2. Conseqüentemente, cada tratamento 
pode ser pensado como uma população normal com média μi e variância σ
2. A equação 1 é o 
modelo em foco para um experimento com um único fator. Além disso, uma vez que requeremos 
que as observações sejam tomadas em uma ordem aleatória e que o ambiente (freqüentemente 
chamado de unidades experimentais), em que os tratamentos são usados seja tão uniforme 
quanto possível, esse planejamento é chamado de planejamento experimental completamente 
aleatorizado. Os a níveis do fator no experimento poderiam ter sido escolhidos de duas 
maneiras diferentes. 
 Ainda, segundo Montgomery e Runger [2003], primeiro, o experimentalista poderia ter 
escolhido, especificamente, os a tratamentos. Nessa situação, desejamos testar as hipóteses 
acerca das médias dos tratamentos não podendo ser as conclusões estendidas a tratamentos 
similares que não tenham sido considerados. 
Tabela 1 - Dados típicos para um experimento com um único fator 
Tratamento Observações Totais Médias 
1 y11 Y21  y1n y1. .1y 
2 y12 y12  y12 y2. .2y 
       
a ya1 ya2  yan ya. .ay 
 
..y ..y 
 
Em adição, podemos desejar estimar os efeitos dos tratamentos. Isso é chamado de 
modelo com efeitos fixos. Alternativamente, os a tratamentos poderiam ser uma amostra 
aleatória a partir de uma população maior de tratamentos. Nessa situação, gostaríamos de ser 
capazes de estender as conclusões (que são baseadas na amostra de tratamentos) a todos os 
tratamentos na população, eles sendo ou não explicitamente considerados no experimento. Aqui 
os efeitos dos tratamentos τi são variáveis aleatórias e o conhecimento acerca dos tratamentos 
particulares investigados não é relativamente importante. Em vez disso, testamos as hipóteses 
sobre a variabilidade de τi e tentamos estimar essa variabilidade. Isso é chamado de modelo de 
efeitos aleatórios ou componentes de variância. 
 A seguir, desenvolveremos a análise de variância para o modelo com efeitos fixos e 
verificaremos como ela pode ser usada para testar a igualdade dos efeitos dos tratamentos. 
Segundo Fisher [1935], no modelo de efeitos fixos, os efeitos dos tratamentos τi são geralmente 
definidos como desvios da média global μ de modo que: 
(3) 0
1  
a
i i
 
Para Snedecor e Cochran [1980], fazendo yi representar o total das observações sujeitas 
ao i-ésimo tratamento e iy representar a média das observações sujeitas ao i-ésimo tratamento. 
Similarmente, fazendo .iy representar o total global de todas as observações e ..y representar a 
média global de todas as observações. Expressando matematicamente, 



n
jiji yy
1
. nyy ii /..  i = 1, 2,..., a 
 

a
i
n
j
ijyy
1 1
.. (4) /.... Nyy  
sendo N o número total de observações. Assim, o subscrito “ponto” implica soma no subscrito 
que ele representa. Estamos interessados em testar a igualdade das médias dos a tratamentos, μ1, 
μ2, μ3, ..., μa. Usando a equação 3, encontramos que isso é equivalente a testar as hipóteses 





 0:
;0:
11
210


H
H a
 (5) 
Logo, se a hipótese nula for verdadeira, cada observação consistirá na média global μ 
mais um componente do erro aleatório εij. Isso é equivalente a dizer que todas as N observações 
são tomadas de uma distribuição normal com média μ e variância σ2. Por conseguinte, se a 
hipótese nula for verdadeira, a mudança nos níveis do fator não tem efeito na resposta média. A 
análise de variância divide a variabilidade total nos dados da amostra em dois componentes. 
Então, o teste de hipótese na equação 5 é baseado na comparação das duas estimativas 
independentes da variância da população. A variabilidade total nos dados é descrita pela soma 
quadrática total. 
 
 

a
i
n
j
ijT yySQ
1 1
2
.. (6) 
A identidade da soma quadrática é: 
       
    

a
i
n
j
a
i
a
i
n
j
iijiij yyyynyy
1 1 1 1 1
2
.
2
...
2
.. (7) 
A identidade da equação 7 mostra que a variabilidade nos dados, medida pela soma 
quadrática total corrigida, pode ser dividia em uma soma quadrática das diferenças entre as 
médias dos tratamentos e a média global e em uma soma quadrática das diferenças das 
observações dentro de um tratamento a partir da média dos tratamentos. As diferenças entre as 
médias observadas nos tratamentos e a média global medem as diferenças entre os tratamentos, 
enquanto as diferenças das observações dentro de um tratamento a partir da média dos 
tratamentos podem ser devidas somente ao erro aleatório. Logo, escrevemos a equação 7 
simbolicamente como: 
 
 


a
i
n
j
ijT
EsTratamentoT
yySQ
SQSQSQ
1 1
2
.. totalquadrática soma
 (8) 
e 
  os tratamentdos quadrática soma
1
2
.  

a
i
iiisTratamento yynSQ 
e por fim: 
 
 

a
i
n
j
iijE yySQ
1 1
2
. erro do quadrática soma . 
Podemos ganhar considerável discernimento em como a análise de variância funciona 
através do exame dos valores esperados de SQTratamentos e SQE. Isso nos conduzirá a uma 
estatística apropriada para testar a hipótese de nenhuma diferença entre as médias dos 
tratamentos (ou τi = 0). 
O valor esperado da soma quadrática dos tratamentos é 
    


a
i
isTratamento naSQE
1
221  
Agora, se a hipótese nula da equação 5 for verdadeira, cada τi será igual a zero e 
2
1






a
SQ
E sTratamento 
Se a hipótese alternativa for verdadeira, então: 
11
1
2
2










a
n
a
SQ
E
a
i
i
Trataments

 
A razão MQTratamentos = SQTratamentos / (a-1) é chamada de média quadrática dos 
tratamentos. Assim, se H0 for verdadeira, MQTratamentos um estimador não tendencioso de σ
2, 
enquanto se H1 for verdadeira, MQTratamentos estimará σ
2 mais um termo positivo que incorpora a 
variação devido à diferença sistemática nas médias dos tratamentos. Usando uma abordagem 
similar, podemos mostrar que o valor esperado da soma quadrática dos erros é E(SQE) = a(n-
1)\σ2 . Por conseguinte, a média quadrática do erro, MQE=SQE/[a(n-1)], é um estimador não 
tendencioso de σ2, independente de H0 ser ou não verdadeira. Existe também uma divisão do 
número de graus de liberdade que corresponde à identidade da soma quadrática na equação 7. Ou 
seja, há an=N observações; assim, SQT tem an-1 graus de liberdade. Existem a níveis do fator; 
logo, SQTratamentos tem a-1 graus de liberdade. Finalmente, dentro de qualquer tratamento, existem 
replicatas (ou réplicas) fornecendo n-1 graus de liberdade, com os quais se estima o erro 
experimental. Já que há a tratamentos, temos a(n-1) graus de liberdade para o erro. 
Conseqüentemente, a divisão dos graus de liberdade é  111  naaan . Considere agora 
que cada uma das a populações possa ser modelada como uma distribuição normal. Usando essa 
suposição, podemos mostrar que se a hipótese nula H0 for verdadeira, a razão: 
 
   E
Trataments
E
sTratamento
MQ
MQ
anaSQ
aSQ
F 



/
1/
0 (9) 
terá uma distribuição F com (a – 1) graus de liberdade. Além disso, do valor esperado da média 
quadrática, sabemos que MQE é um estimador não tendencioso de σ
2. Também, sob a hipótese 
nula, MQTratamentos é um estimador não tendencioso de σ
2. No entanto, se a hipótese for falsa, 
então, o valor esperado de MQTratamentos será maior do que σ
2. Por conseguinte, sob a hipótese 
alternativa, o valor esperado do numerador da estatística de teste equação 9 é maior do que o 
valor esperado do denominador. Conseqüentemente, devemos rejeitar H0 se a estatística for 
grande. Isso implica uma região crítica unilateral superior. Dessa forma, rejeitamos H0 se f0 > 
 1,1,  naf  , sendo f0 calculado pela equação 9. A tabela a seguir, mostra a análise de variância 
para um experimento com um único fator. 
 Tabela 2 - Análise de Variância: Modelo de efeito fixo 
Fonte de 
Variação 
Soma 
Quadrática 
Graus de 
Liberdade 
Média 
Quadrática 
F0 
Tratamentos SQTratamentos 1a MQTratamentos 
E
sTratamento
MQ
MQ
 
Erro SQE  1na MQE 
Total SQT 1an 
 
3 – Resultados 
Com o objetivo de verificar o efeito das médias sobre a Estatística F, foi feito um estudo 
simulado. Foram gerados amostras aleatórias de tamanhos n=30; n=50 e n=1000 de uma 
população normal com os seguintes critérios: 
 Caso 1 – Médias diferentes com variâncias iguais; 
 Caso 2 – Médias iguais com variâncias iguais. 
As figuras 1, 2 e 3 apresentam os resultados obtidos para o caso em que o tamanho da amostra 
varia de n=30, n=50 e n=1000, respectivamente. De acordo com estes resultados constatou-se 
que a mudança na estatística F é atribuível a mudança nas médias. Isso ilustra o fato de que a 
estatística F é muito sensível às médias amostrais, embora seja obtida através de estimativas 
diferentes, resultando assim em um aumento dramático da estatística de teste F. 
 
 
 
 
 
3.1 – Exemplo Prático 
Um fabricante de papel usado para fabricar sacos de papel pardo está interessado em 
melhorar a resistência do produto à tensão. A engenharia de produto pensa que a resistência à 
tensão seja uma função da concentração de madeira de lei na polpa e que a faixa prática de 
interesse das concentrações de madeira de lei esteja entre 5 e 20%. Um time de engenheiros 
responsáveis pelo estudo decide investigar quatro níveis de concentração de madeira de lei: 5%, 
10%, 15% e 20%. Eles decidem fabricar seis corpos de prova, para cada nível de concentração, 
usando uma planta piloto. Todos os 24 corpos de prova são testados, em uma ordem aleatória, 
em um equipamento de teste de laboratório. Os dados desse experimento são mostrados na tabela 
abaixo: 
Tabela 3 - Resistência do papel à Tensão (psi) 
 
 
 
 
É importante analisar graficamente os dados de um experimento planejado. A figura 4 
apresenta diagramas de caixa da resistência à tensão para os quatro níveis de concentração. Essa 
figura indica que a variação da concentração de madeira de lei tem um efeito sobre a resistência 
à tensão; especificamente, maiores concentrações de madeira produzem maiores resistências 
observadas à tensão. Além disso, a distribuição da resistência à tensão, em um nível particular de 
concentração de madeira de lei, é razoavelmente simétrica e a variabilidade na resistência à 
tensão não varia drasticamente à medida que a concentração de madeira de lei varia. 
Figura 1 - Box-plot da concentração de madeira de lei 
 
As hipóteses são: 
 
Muitos pacotes computacionais têm a capacidade deanalisar dados provenientes de 
experimentos planejados, usando a análise de variância. A tabela abaixo apresenta a saída do 
Minitab para a análise de variância univariável do experimento. A saída do Minitab apresenta 
também intervalos de confiança de 95% para cada média individual de tratamento. A médio do i-
ésimo tratamento é definida como: 
 
Uma estimativa de μi é _ .ˆ ii Y . Agora, se considerarmos que os erros sejam 
normalmente distribuídos, cada média do tratamento será distribuída normalmente com média μi 
e variância σ2/n. Assim, se σ2 fosse conhecido, poderíamos usar a distribuição normal para 
construir um intervalo de confiança. Usando MQE como um estimador de σ
2 (esse é o “Desvio 
Padrão Combinado” referido no Minitab), basearíamos o intervalo de confiança na distribuição t, 
uma vez que 
 
tem uma distribuição t com a(n-1) graus de liberdade. 
 A análise para os resultados acima nos levam a rejeitamos a hipótese nula, pois 
94,420;3;01,0 f . Logo, concluímos que a concentração de madeira de lei na polpa afeta 
significativamente a resistência do papel. Ainda podemos observar o valor P para essa estatística 
de teste. O valor obtido foi 61059,3  xP , o que é menor que 01,0 , e que temos uma forte 
evidência para concluir que H0 não seja verdadeira. 
 Abaixo, temos a saída computacional do software Minitab para a análise de variância. 
General Linear Model: obs versus concentr 
Factor Type Levels Values 
concentr fixed 4 5; 10; 15; 20 
Analysis of Variance for obs, using Adjusted SS for Tests 
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P 
concentr 3 382,79 382,79 127,60 19,61 0,000 
Error 20 130,17 130,17 6,51 
Total 23 512,96 
 
S = 2,55114 R-Sq = 74,62% R-Sq(adj) = 70,82% 
Unusual Observations for obs 
Obs obs Fit SE Fit Residual St Resid 
 3 15,0000 10,0000 1,0415 5,0000 2,15 R 
R denotes an observation with a large standardized residual. 
 
3.1.1. – Análise Residual e Verificação do Modelo 
A análise de variância univariável considera que as observações sejam normal e 
independentemente distribuídas com a mesma variância para cada tratamento ou nível do fator. 
Essas suposições devem ser verificadas através do exame dos resíduos. Um resíduo é a diferença 
entre uma observação yij e seu valor estimado (ou ajustado) a partir do modelo estatístico sendo 
estudado, denotado como ijŷ . Para o planejamento completamente aleatório .ˆ iij yy  , com cada 
resíduo sendo iijij yye  , ou seja, a diferença entre uma observação e a média correspondente 
observada do tratamento. Os resíduos para o experimento com percentagens de madeira de lei 
estão mostrados na tabela 4. 
Tabela 4 - Resíduos para o experimento da Resistência à Tensão 
Concentração 
de Madeira 
de Lei 
Resíduos 
5% -3 -2 5 1 -1 0 
10% -3,67 1,33 -2,67 2,33 3,33 -0,67 
15% -3 1 2 0 -1 1 
20% -2,17 3,83 0,83 1,83 3,17 -1,17 
 
O uso de .iy para calcular cada resíduo essencialmente remove, dos dados, o efeito da 
concentração de madeira de lei; conseqüentemente, os resíduos contêm informação sobre a 
variabilidade não explicada. A suposição de normalidade pode ser verificada pela construção de 
um gráfico de probabilidade normal dos resíduos. Para verificar a suposição de igualdade de 
variâncias em cada nível do fator, plotou-se os resíduos contra os níveis do fator e comparou-se 
a dispersão dos resíduos. É também útil plotar os resíduos contra .iy (algumas vezes chamado de 
valor ajustado); a variabilidade nos resíduos não deve depender de jeito algum do valor de .iy . A 
seguir, veremos os gráficos construídos pelo Minitab. 
Figura 2 - Gráficos Residuais 
 
A suposição de independência pode ser verificada plotando-se os resíduos contra o tempo ou a 
ordem da corrida na qual o experimento foi feito. Um padrão de comportamento nesse gráfico, 
tal como seqüencias de resíduos positivos e negativos, pode indicar que as observações não são 
independentes. Isso sugere que o tempo ou a ordem da corrida é importante ou que as variáveis 
que variam com o tempo são importantes e não foram incluídas no planejamento de 
experimentos, o que não acontece nos resíduos para o experimento da resistência à tensão. 
 A figura 5 mostra os gráficos de normalidade dos resíduos, independência e 
homogeneidade de variância e pode-se observar que não houve qualquer quebra dos 
pressupostos básicos para os resíduos, mostrando que adequação da análise de variância 
proposta. 
 
4 – Considerações Finais 
Este estudo mostra que a melhor forma de comparar um conjunto de médias é mediante a 
analise de suas variâncias. Mediante a ANOVA, a variabilidade total fica dividida em duas 
componentes: a) a que se refere às diferenças entre os grupos; b) a que se deve às diferenças 
individuas dentro de cada grupo. Observou-se que quando as médias coincidem, a média 
quadrática intergrupos tende a zero, e a média intragrupos tendem a coincidir com a média 
quadrática total, ou seja, com a variância da população. Quando as médias são diferentes, a 
média quadrática intergrupos funciona como um microscópio que aumenta as diferenças, 
fazendo com que se rejeite a hipótese nula. Dado que deve haver homocedasticidade, a média 
quadrática intragrupos tem de se aproximar de cada um dos grupos em todos os casos, tanto se as 
médias estiverem próximas como se estiverem distantes. 
 
Referências 
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2006. 
CASELLA, George; BERGER, Roger L. Inferência Estatística. São Paulo: Cengage Learning, 
2010. 
FISHER, R.A. The logic of inductive inference., Stat. Soc., v.98, p.34-54, 1935. 
MONTGOMERY, Douglas C., RUNGER, George C. Estatística Aplicada e probabilidade 
para engenheiros. LTC: Rio de Janeiro, 2003. 
MONTGOMERY, Douglas C. Design and analysis of experiments. 2nd. John Wiley & Sons, 
New York, USA. 
SOUZA, Geraldo da Silva e . Introdução aos Modelos de Regressão Linear e Não Linear. 
Brasília: Embrapa-SPI, 1998. 
SNEDECOR, C.W.; W.G. COCHRAN. Statistical Methods. 7ed. Iowa State University Press, 
Amer. Iowa, 1980 USA. 
JAMES F. Reed III. Analysis of Variance (ANOVA) Models in Emergency Medicine. The 
Internet Journal of Emergency and Intensive Care Medicine. Volume 7 Number 2. 2004.