EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

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PROPRIEDADES EXPONENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DECORRÊNCIAS UTILIZADAS 
EXEMPLOS 
 
1) Determine o valor de x na equação: 100 . 10x = √ 
 
 
102 . 10x = √ 
 
 
102+x = √ 
 
 
102+x = 
 
 
2 + x = 
 
 
 
(2 + x) = 
 
 
 
2x + x2 = 15 
X2 + 2x – 15 = 0 
 
2) Resolva a equação: 2 .4x+2 – 5 . 4x+1 – 3 . 22x+1 – 4x = 20 
2 . 22(x+2) – 5 . 22(x+1) – 3 . 2(2x+1) – 22(x) = 20 
2 . 22x+4 – 5 . 22x+2 – 3 . 22x+1 – 22x = 20 
2 . 22x . 24 – 5 . 22x . 22 – 3. 22x .21 – 22x = 20 
2 . y . 16 – 5 . y . 4 – 3 . y . 2 – y = 20 
32y – 20y – 6y – y = 20 
5y = 20 
 Y = 4 
 
 
 
∆ = b2 – 4 . a . c 
∆ = 22 – 4 .1 . (-15) 
∆ = 4 + 60 
∆ = 64 
 
 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 
−2 ± √64 
2 . 
 
−2 ± 8 
2
 = 
X’ = 3 
X’’ = - 5 
22x = y 
22x = 4 
22x = 22 
2x = 2 
X = 1 
3) Determine o conjunto-solução da equação: 3 . 2x+1 + 5 . 
4x+1 = 92. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma pizza a 185º C foi retirada de um forno quente. 
Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65º C 
será possível segurar um dos seus pedaços com as mãos 
nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da 
pizza, em º C, pode ser descrita em função do tempo t, em 
minutos, pela expressão T(t) = 160 . 2-0,8t + 25. Qual o 
tempo necessário para que se possa segurar um pedaço 
dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? 
 T(t) = 160 . 2-0,8t + 25 
 65 = 160 . 2-0,8t + 25 
 65 – 25 = 160 . 2-0,8t 
 40 = 160 . 2-0,8t 
 
3 . y + 5 . y2 = 92 
3y + 5y2 = 92 
5Y2 + 3Y – 92 = 0 
Substituindo o valor da raiz encontrada temos: 
2x +1 = y 
2x +1 = 4 
2x +1 = 22 
x +1 = 2 
x = 1 
 
∆ = b2 – 4 . a . c 
∆ = 32 – 4 . 5 . (-92) 
∆ = 9 + 1840 
∆ = 1849 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 
− ± √ 849 
2 . 
 = 
− ± √43 
 0
 = 
Y’ = 4 
Y’’ = 4,6 
40 = 160 . 
 
2
 0,8 𝑡 
40
 60
 = 
 
2
 0,8 𝑡 
 
4
 = 
 
2
 0,8 𝑡 
2 = 0,8 t 
T = 2,5 minutos 
5. A desintegração de uma substância radioativa é um 
fenômeno químico modelado pela fórmula q = 10 . 2kt, 
onde q representa a quantidade de substância radioativa 
(em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o 
tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. 
Então, o valor da constante k é: 
Q = 10 . 2k.t 
5 = 10 . 2k.3,3 
5 = 10.23,3k 
 
 0
 = 23,3k 
 
 
 
6. Sendo 
 0 
0,2
 = 
0,00 
2, 
 o valor de x2 é igual a: 
 0 
2 0 
 = 
 0 
2 0 
 
 − = 
2 0 . 0 
2 0 
 
 − = 
2 0 0 
2 
 
 − = 10 x 10-5 
 − = 10-4 
-x = -4 (-1) 
X = 4 
Portanto  x2 = 42, logo x2 = 16 
 
 
2
 = 23,3k 
2-1 = 23,3k 
3,3k = -1 
K = 
− 
 , 
 
K = 
− 0
 , 
 
7. Resolva: 
a) (10x)x-1 = 
 
 
 
 
 − - x = 10-6 
X2 – x + 6 = 0 
∆ = b2 – 4a . c 
∆ = (-1)2 – 4 . 1 . 6 
∆ = 1 – 24 
∆ = -23 (como não existe raiz quadrada de -23, então podemos 
representar nossa resposta por x R.) 
b) (4x)x = 256 
4 
 
 = 44 
X2 = 4 
X = √4 
X = 2 
C) 
 − = 1 
2 
 − 2 = 20 
 2 − 7 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
∆ = b2 – 4a . c 
∆ = (-7)2 – 4. 1 . 12 
∆ = 49 – 48 
∆ = 1 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 = 
− − ± √ 
2. 
 = 
= 
 ± 
2
= 
X’ = 4 
X’’ = 3 
d) (3x)x-4 = 
 
 
 
(3x)x-4 = 
 
 
 
(3x)x-4 = 3-3 
X(x-4) = -3 
X2 – 4x = -3 
X2 – 4x + 3 = 0 
 
e) 
 − = 
 
 
 
3 
 − 0 = 
 
 
 
3 
 − 0 = 3-2 
X2 – 10x + 7 = -2 
X2 – 10x + 9 
 
f) (
 
 
)
 − 
 = 
 
 
2 
 − = 6 2 
2−2 − = 24 2 
-2x + 2 = 4x + 8 
-6x = 6 
X = 
6
−6
 
X = -1 
∆ = b2 – 4a . c 
∆ = (-4)2 – 4 . 1 . 3 
∆ = 16 – 12 
∆ = 4 
 
𝑥′ = 3 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 = 
− −4 ± √4 
2 . 
 = 
= 
4 ± 2 
2
 = 
X’’ = 1 
 
∆ = b2 – 4a . c 
∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9 
∆ = 100 – 36 
∆ = 64 
 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 = 
− − 0 ± √64 
2 . 
 = 
= 
 0 ± 8
2 
 = 
X’ = 9 
X’’ = 1 
 
8. Se , = √
 
 
 
 , então “x” vale: 
 
4
 
 4 = (
 
2
 
 
 
 
2
5 
 4 = (
2
 
 − 
 
 
4x + 1 = − 
 
 
 
4x = − 
 
 
 -1 
4x = − 
4
 
 
X = − 
4
 
 . − 
 
4
 
X = − 
−4
 2
 
X = − 
 
 
 
 
9. A soma das raízes da equação 9 . 
 − = 5625 é: 
5 
 −2 = 
 62 
 
 
5 
 −2 = 625 
5 
 −2 = 54 
X2 – 2x + 1 = 4 
X2 – 2x -3 = 0 
 
Então temos que a soma das raízes é: 
X’ + x’’  3 + (-1) = 2 
∆ = b2 – 4a . c 
∆ = (-2)2 – 4 . 1 . (-3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 = 
− −2 ± √ 6 
2 . 
 = 
= 
2 ± 4 
2 
 = 
X’ = 3 
X’’ = -1 
 
10. A produção de uma indústria vem diminuindo ano a 
ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades do seu 
principal produto. A partir daí, a produção anual passou a 
seguir a lei y = 1000( , . O número de unidades 
produzidas no segundo ano desse período recessivo foi 
de: 
y = 1000( ,9 
y = 1000(
 
 0
 2 
y = 1000 . 
8 
 00
 
y = 
8 00
 0
 
y = 810 unidades 
 
11. O valor de x que verifica a equação √ = 
 
 
 é: 
4
 
 = 
 
4 
 
4
 
 = 
 
4 
 
4
 
 = 4−2 −2 
x + 1 = -4x – 4 
x + 4x = -4 – 1 
5x = -5 
X = 
− 
 
 
 X = -1 
12. Dadas as funções f(x) = 
 
 e g(x) = 
 
, se x 
satisfaz f(x) = g(x), então 2x é: 
2 
 
= 4 
 
 
2 
 
 = 22 
 
x2 – 4 = 2x2 – 4x 
x2 – 2x2 + 4x – 4 = 0 
-x2 + 4x – 4 = 0 
Então temos que 2x = 22 = 4 
 
13. Se (0,4)4x+1 = √
 
 
 
, então “x” vale: 
(
4
 0
)
4x+1
 = 
 
2
 
 
 
(
2
 
)
4x+1 
= 
2
 
 −
 
 
4x + 1 = − 
 
 
 
4x = − 
 
 
 – 1 
4x = − 
 − 
 
 
4x = − 
4
 
 
X = − 
4
 
 . 
 
4
 
X = − 
−4
 2
  x = − 
 
 
 
∆ = b2 – 4a . c 
∆ = 42 – 4. (-1) . (-4) 
∆ = 16 – 16 
∆ = 0 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 = 
−4 ± √ 
2 . − 
 = 
= 
−4 ± 
−2 
 = 
X’ = 2 
X’’ = 2 
14. Suponha que, em 2003, o PIB (produto interno bruto) 
de um país seja 500 bilhões de dólares. Se o PIB 
crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do 
país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 
1,80. 
P(x) = p0 . (1 + i)
t 
P(x) = 500 . (1 + 0,03)20 
P(x) = 500 . (1,03)20 
P(x) = 500 . 1,80 
P(x) = 900 bilhões 
 
15. Se uma determinada máquina industrial se deprecia de tal 
forma que seu valor, (t) anos após a sua compra, é dado 
por v(t) = v0 . 2
-0,2t, em que v0 é uma constante real. Se após 
10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12000,00 determine 
o valor que ela foi comprada. 
v(t) = v0 . 2
-0,2t 
12000 = v0 . 2
-0,2 . 10 
12000 = v0 . 2
-2 
12000 = v0 . (
 
2 
) 
12000 = v0 . 
 
4
 
V0 = 12000 . 4 
V0 = 48000 reais 
 
 
 
16. O produto das soluções da equação ( − )2-x = 1 
(4 − )2-x = 40 
4 6− −2 
 = 40 
X2 – 5x + 6 = 0 
 
 
Então o produto das raízes x’ * x’’ = 3 . 2 = 6 
17. Se ( x)2 = 16 . 
 
, o valor de xx é: 
42x = 24 . 2 
 
 
 22 2x = 24 . 2 
 
 
4x = x2 + 4 
X2 – 4x + 4 = 0 
 
Então xx = 22 = 4 
 
18. Suponhamos que uma população de uma certa cidade seja 
estimada, para daqui a x anos, por f(x) = 20 - 
 
 
 . 1000. 
Determine a população referente ao terceiro ano. 
f(x) = 20 - 
 
2 
 . 1000 
f(x) = 20 - 
 
8
 . 1000 
f(x) = 
 60− 
8
 . 1000 
f(x) = 
 
8
 . 1000  
 000
8
 = f(x) = 19875 hab. 
 
∆ = b2 – 4a . c 
∆ = (-5)2 – 4 . 1 . 6 
∆ = 25 – 24 
∆ = 1 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 = 
− − ± √ 
2 . 
 = 
= 
 ± 
2 
 = 
X’ = 3 
X’’ = 2 
∆ = b2 – 4a . c 
∆ = (-4)2 – 4 . 1 . 4 
∆ = 16 – 16 
∆ = 0 
−𝑏 ± √∆ 
2𝑎
 = 
− −4 ± √ 
2 . 
 = 
= 
4 ± 
2 
 = 
X’ = 2 
X’’ = 2