[Resolvido] Exercício - Dinâmica

Prévia do material em texto

Renato da Silva Viana
Questão
Um projétil é lançado de x = 0 e y = 0 com velocidade inicial #”v0 = v1 x̂+ v2 ŷ, estando sujeito
a uma força de resistência do ar do tipo
#”
fr = −mγ #”v , onde γ é a constante de resistência do
ar e m é a massa do projétil. A aceleração da gravidade no local vale #”g = −g ŷ. Calcule o
tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máxima.
Resolução
Sobre o projétil atua a força da gravidade
#”
P = −m #”g e a força de resistência do ar #”fr. Seja
#”v = vx x̂+ vy ŷ, a força resultante
#”
F aplicada ao projétil é tal que:
#”
F =
#”
P +
#”
fr
= m #”g −mγ #”v
= m(−g ŷ)−mγ(vx x̂+ vy ŷ)
= −mγ vx x̂− (mg +mγ vy)ŷ
Conforme a Segunda Lei de Newton para um corpo de massa constante:
#”
F = m
d #”v
dt
= m
d
dt
(vx x̂+ vy ŷ)
= m
dvx
dt
x̂+m
dvy
dt
ŷ
Logo:
m
dvx
dt
x̂+m
dvy
dt
ŷ = −mγ vx x̂− (mg +mγ vy)ŷ
Esta igualdade indica que:
m
dvx
dt
= −mγ vx e m
dvy
dt
= −(mg +mγ vy)
No instante de altura máxima, a velocidade vertical vy é nula. Assim sendo, basta resolver a
segunda equação diferencial para, em seguida, encontrar o instante no qual a velocidade vy(t)
se anula. Tendo em vista que vy(0) = v2, dividindo ambos os membros da equação diferencial
pela massa m e resolvendo-a, encontra-se:
dvy
dt
= −g − γ vy ⇒ vy(t) =
(g + γ v2)e
−γ t − g
γ
Solucionando a equação vy(t) = 0 na incógnita t obtém-se o instante de altura máxima:
vy(t) = 0
(g + γ v2)e
−γ t − g
γ
= 0⇒ (g + γ v2)e−γ t − g = 0⇒ e−γ t =
g
g + γ v2
⇒ t = 1
γ
ln
(
1 +
γ v2
g
)
X
Bons estudos!