[Geometria Analítica com Vetores] Reta (Resumo)

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RETA 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação Vetorial 
 
P = A + t�⃗� 
⇒ (𝑥,  𝑦,  𝑧) = (𝑥1,  𝑦1,  𝑧1) + t(𝑎,  𝑏, 𝑐) 
 
 Equações Reduzidas da Reta 
A partir das equações simétricas, 
basta isolar 𝑦 e 𝑧, expressando-as em função 
de 𝑥. 
 
 Equação Definida por dois Pontos 
 
 𝑃 = 𝐴 + 𝑡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ou 𝑃 = 𝐵 + 𝑡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 Equação Simétricas 
 
𝑡 =
𝑥 − 𝑥1
𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑏
=
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
 
Obs.: Seja 𝐴(𝑥1,  𝑦1,  𝑧1) e 𝐵(𝑥2,  𝑦2,  𝑧2) temos 
𝑥−𝑥1
𝑥2−𝑥1
=
𝑦−𝑦1
𝑦2−𝑦1
=
𝑧−𝑧1
𝑧2−𝑧1
. 
 
 Equação Paramétrica 
 
{
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 
 
 Alinhamento de Três Pontos 
 
𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 𝑚𝐴1𝐴3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ou 
𝑥2−𝑥1
𝑥3−𝑥1
=
𝑦2−𝑦1
𝑦3−𝑦1
=
𝑧2−𝑧1
𝑧3−𝑧1
 
 
 Retas Paralelas 
i. �⃗� = (0, 𝑏, 𝑐) ⊥ 0𝑥 ∴ 𝑟//𝑦0𝑧 ⇒ 𝑟 = {
𝑥 = 𝑥1
𝑦−𝑦1
𝑏
=
𝑧−𝑧1
𝑐
 
ii. �⃗� = (𝑎, 0, 𝑐) ⊥ 0𝑦 ∴ 𝑟//𝑥0𝑧 ⇒ 𝑟 = {
𝑦 = 𝑦1
𝑥−𝑥1
𝑎
=
𝑧−𝑧1
𝑐
 
iii. �⃗� = (𝑎, 𝑏, 0) ⊥ 0𝑧 ∴ 𝑟//𝑥0𝑦 ⇒ 𝑟 = {
𝑧 = 𝑧1
𝑥−𝑥1
𝑎
=
𝑦−𝑦1
𝑏
 
iv. �⃗� = (0, 0, 𝑐)//�⃗⃗� ∴ 𝑟//0𝑧 ⇒ 𝑟 = {
𝑥 = 𝑥1
𝑦 = 𝑦1
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 ou 𝑟 = {
𝑥 = 𝑥1
𝑦 = 𝑦1
 
v. �⃗� = (0, 𝑏, 0)//𝑗 ∴ 𝑟//0𝑦 ⇒ 𝑟 = {
𝑥 = 𝑥1
𝑦 = 𝑦1 + 𝑐𝑡
𝑧 = 𝑧1
 ou 𝑟 = {
𝑥 = 𝑥1
𝑧 = 𝑧1
 
vi. �⃗� = (𝑎, 0, 0)//𝑖 ∴ 𝑟//0𝑥 ⇒ 𝑟 = {
𝑥 = 𝑥1 + 𝑐𝑡
𝑦 = 𝑦1
𝑧 = 𝑧1
 ou 𝑟 = {
𝑦 = 𝑦1
𝑧 = 𝑧1
 
 
 
 Ângulos de duas Retas 
 
 cos 𝜃 =
|𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗|
‖𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗‖∙‖𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗‖
 com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
 
 Condição de Paralelismo 
 
𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ ou 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
 
 
 Condição de Ortogonalidade (𝑟1 ⊥ 𝑟2) 
𝑎1 ∙ 𝑎2 + 𝑏1 ∙ 𝑏2 + 𝑐1 ∙ 𝑐2 = 0 
Produto misto: 𝑟1 ⊥ 𝑟2 ⇔ 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 
 
 Condição de Coplanaridade (prod. misto) 
 
[𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗] = |(
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1
)| = 0 
 
 
 Posição Relativa de duas Retas 
 
i. Coplanares 
 
• Paralelas: [𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗] = 0 
 
• Concorrentes: 
𝑟1 ∩ 𝑟2 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) é solução do sistema 𝑟1 = {
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎1𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏1𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐1𝑡
 e 𝑟2 = {
𝑥 = 𝑥2 + 𝑎2𝑡
𝑦 = 𝑦2 + 𝑏2𝑡
𝑧 = 𝑧2 + 𝑐2𝑡
 
 
ii. Reversas [𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗] ≠ 𝟎 
 
 Reta Ortogonal a duas Retas (produto vetorial) 
 
𝑟 ⊥ 𝑟1 e 𝑟 ⊥ 𝑟2 ⇔ �⃗� = 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 Ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) que divide 𝑃1𝑃2 na Razão 𝑟 
 
 
 
𝑃1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑃2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑥1 − 𝑟𝑥2
1 − 𝑟
𝑦 =
𝑦1 − 𝑟𝑦2
1 − 𝑟
𝑧 =
𝑧1 − 𝑟𝑧2
1 − 𝑟
 
 Ponto médio de 𝑃1𝑃2 
 
 
 
𝑃1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑥1 − 𝑟𝑥2
2
𝑦 =
𝑦1 − 𝑟𝑦2
2
𝑧 =
𝑧1 − 𝑟𝑧2
2