[Geometria Analítica com Vetores] Plano (Resumo)

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PLANO 
 Equação geral 
 
 𝜋 = �⃗� ∙ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 com 𝐴 ∈ 𝜋 e �⃗� ⊥ 𝜋 ⇒ 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 com �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐). 
Obs.: 𝐴 ∈ 𝜋, 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ⊂ 𝜋 e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ⊂ 𝜋 ⇒ (𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ) = 0, ∀𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜋. 
 
 Determinação de um plano
i. �⃗� = 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣2⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
ii. �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
iii. �⃗� = 𝑣 ∧ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
iv. �⃗� = 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣2⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
v. �⃗� = 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 Plano paralelo aos eixos  Plano paralelo aos planos coordenados
i. 𝜋//0𝑥 ⇒ 𝜋: 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
ii. 𝜋//0𝑦 ⇒ 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
iii. 𝜋//0𝑧 ⇒ 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑑 = 0 
i. 𝜋//𝑥0𝑦 ⇒ 𝜋: 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 e 𝑧 = 𝑘 
ii. 𝜋//𝑥0𝑧 ⇒ 𝜋: 𝑏𝑦 + 𝑑 = 0 e 𝑦 = 𝑘 
iii. 𝜋//𝑦0𝑧 ⇒ 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑑 = 0 e 𝑥 = 𝑘 
Obs.: Se o plano passa pela origem, então 𝑑 = 0 e 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
 
 Equação paramétrica (𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ℎ�⃗� + 𝑡𝑣 ) 
 
{
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
𝑃 = 𝐴 + ℎ�⃗� + 𝑡𝑣 
 �⃗� //𝜋 𝑒 𝑣 //𝜋 
 Condição de paralelismo (𝜋1//𝜋2) 
 
𝑛1⃗⃗⃗⃗ //𝑛2⃗⃗⃗⃗ ∴
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
 
Obs.: 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
=
𝑑1
𝑑2
⇒ 𝜋1 e 𝜋2 coincidem. 
 
 Condição de perpendicularidade (𝜋1 ⊥ 𝜋2) 
 
𝑛1⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ ∴ 𝑛1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ = 0 
 
 Paralelismo entre reta e plano (𝑟//𝜋) 
 
 𝑣 //�⃗� ⇒
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
 
 Perpendicularidade entre reta e plano (𝑟 ⊥ 𝜋) 
 
𝑣 ⊥ �⃗� ⇒ 𝑣 ⊥ �⃗� = 0 
 
Obs.: 𝑟 ⊂ 𝜋 ⇒ 𝑣 ⊥ �⃗� , 𝐴 ∈ 𝑟 e 𝐴 ∈ 𝜋 
ou (𝐴,𝐵 ∈ 𝑟 e 𝐴, 𝐵 ∈ 𝜋) 
 Ângulo entre dois planos 
 
cos 𝜃 =
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ ⃗∙𝑛2⃗⃗⃗⃗ ⃗|
‖𝑛1⃗⃗⃗⃗ ⃗‖∙‖𝑛2⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
 com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
Obs.: 𝑛1⃗⃗⃗⃗ e 𝑛2⃗⃗⃗⃗ são vetores normais de 𝜋1 e 𝜋1. 
 
 Ângulo entre reta e planos 
 
sen 𝜃 =
|�⃗� ∙�⃗� |
‖�⃗� ‖∙‖�⃗� ‖
 com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
Obs.: 𝑣 é a direção da reta e �⃗� ⊥ 𝜋. 
 
 Equação do plano na forma segmentária 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
+
𝑧
𝑟
= 1