Efeito fotoelétrico, dualidade onda partícula e modelo atômico de Bohr - Fis. Quântica

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Fundamentos de Física Quântica 1
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Fundamentos de Física Quântica
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 
Princípio da complementaridade Bohr, 1928 A descrição ondulatória é complementar à 
descrição corpuscular. Ou seja, precisamos das duas descrições para completar nosso modelo 
da natureza, mas nunca precisaremos usar ambas as descrições simultaneamente para 
descrever uma determinada ocorrência.
Ondulatório: Descrito pelas equações de Maxwell (onda eletromagnética), e comprovada 
através do fenômeno de difração em fendas Thomas Young)
Partícula: Explica fenômenos como reflexão e refração, além do efeito fotoelétrico 
(natureza quantizada, pacotes denominados fótons/quanta)
Efeito Fotoelétrico
Para se desprender da superfície, um elétron tem de absorver energia suficiente da luz 
para superar a atração dos íons positivos do material. Essas forças de atração constituem 
uma barreira de energia potencial (sua função trabalho). 
Aplicação - Óculos para visão noturna
Um tubo fotomultiplicador para visão noturna usa o efeito fotoelétrico. Os fótons que 
entram no tubo colidem com a placa, ejetando elétrons que passam através de um 
disco fino, no qual existem milhões de minúsculos canais. A corrente através de cada 
canal é ampliada eletronicamente e, a seguir, direcionada para uma tela que cintila 
quando atingida por elétrons. A imagem sobre a tela, formada por milhões de 
cintilações, é milhares de vezes mais nítida que a imagem formada a olho nu.
Experimento
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Dois eletrodos condutores encontram-se no interior de um tubo de vidro a vácuo, são 
conectados por uma bateria e o catodo é iluminado. Dependendo da diferença de 
potencial entre os dois catodos, os elétrons emitidos pelo catodo iluminado 
(chamados de fotoelétrons) podem atravessar o anodo, produzindo uma corrente 
fotoelétrica no circuito externo (o tubo é submetido a vácuo total ou parcial para 
minimizar as colisões dos elétrons com as moléculas gasosas).
O catodo iluminado emite fotoelétrons com várias energias cinéticas. Se o campo 
elétrico aponta para o catodo, todos os elétrons são acelerados em direção ao anodo 
e contribuem para a corrente fotoelétrica. No entanto, ao reverter o campo e ajustar 
sua intensidade, podemos evitar que elétrons com energia menor alcancem o anodo. 
De fato, podemos determinar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos 
fazendo o potencial do anodo relativo ao catodo, , negativo o suficiente para que a
corrente pare. Isso ocorrerá quando , onde é chamada de potencial de 
corte. Na medida que um elétron se move do catodo para o anodo, o potencial diminui 
por e o trabalho negativo é exercido sobre o elétron (carregado 
negativamente). O elétron com mais energia deixa o catodo com energia cinética 
 e possui energia cinética zero no anodo. Utilizando o teorema 
trabalho energia, temos:
VAC
Km xá
VAC
V =AC −V0 V0
Vo −eVo
K =m xá mv2
1
m xá
2
W = ΔK → qV = K −f K →i −eV =0 0 − mv2
1
max
2
K =m xá eV =o mv2
1
max
2
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Resultados experimentais:
A corrente fotoelétrica depende da frequência da luz. Para um determinado 
material, a luz monocromática com uma frequência abaixo da frequência de corte 
mínima não produz nenhuma corrente fotoelétrica, independentemente de sua 
intensidade. O único efeito do aumento da intensidade é o aumento do número de 
elétrons por segundo e, consequentemente, a corrente fotoelétrica .
Não existe um intervalo de tempo mensurável entre o instante em que a luz é 
ligada e aquele em que o catodo emite fotoelétrons (supondo que a frequência da 
luz supere a frequência de corte). Essa é uma verdade, também, 
independentemente do quanto a luz é fraca.
Quanto maior a frequência da luz, maior é a energia dos fotoelétrons liberados. 
Chega-se a conclusão portanto que a energia dos fótons é proporcional a 
frequência da luz, com constante de proporcionalidade , denominada constante 
de plank. , sendo , ou 
 ( )
Einstein postulou então, que um feixe de luz era constituído por pequenos pacotes de 
energia, chamados fótons ou quanta. Em sua teoria, um único fóton chegando em uma 
superfície é absorvido por um único elétron. Essa transferência de energia é um processo 
de tudo ou nada, contrastando com a transferência contínua de energia que existe na 
teoria de onda da luz; o elétron absorve toda a energia do próton ou absolutamente 
nenhuma. O elétron pode se desprender da superfície somente se a energia que ele 
adquirir for maior que a função trabalho (que corresponde a energia das interações que 
prendem o elétron ao material). Dessa forma, os fotoelétrons serão emitidos somente se 
 ou . Portanto, o postulado de Einstein explica por que o efeito 
fotoelétrico ocorre apenas para frequências superiores a um limite mínimo de frequência. 
Esse postulado também é consistente com a observação de que maior intensidade 
i
As curvas se estabilizam quando é suficientemente grande e positiva, pois nesse ponto todos os 
elétrons emitidos são coletados pelo anodo)
VAC
h
E = hf h = 6, 62606957(29) × 10  J ⋅ s−34 h = 4, 136 ×
10 eV ⋅−15 s 1eV = 1, 602 × 10 J−19
ϕ
hf > ϕ f > ϕ/h
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provoca maior corrente fotoelétrica. O postulado de Einstein também explica por que não 
existe intervalo algum entre a iluminação e a emissão de fotoelétrons. Assim que fótons 
com energia suficiente atingem a superfície, elétrons podem absorvê-los e ser liberados. A 
energia desses pacotes é dada pela relação .
Fótons também apresentam a dualidade onda-partícula: apesar de serem unidades de 
energia, fótons viajam na velocidade da luz e possuem zero massa de repouso. Além do 
mais, os fótons possuem características de onda (frequência e comprimento) que são 
facilmente observáveis.
Ou seja, expressando a tensão de corte como uma função linear da frequência, temos:
A tensão de corte corresponde a tensão através da qual o elétron ejetado pelo catodo 
é desacelerado (via campo elétrico) até , não sendo possível assim, detectar fluxo 
de corrente no circuito.
Sendo (teoria da relatividade de Einstein, que afirma que toda partícula 
que possui energia também deve possuir momento linear). Assim:
 Momento linear de um fóton
O efeito fotoelétrico fornece evidências convincentes de que a luz é absorvida na forma de 
fótons. No entanto, para físicos aceitarem o conceito radical de fótons elaborado por Einstein, 
também foi necessário mostrar que a luz é emitida como fótons. Uma experiência que 
demonstra isso de forma convincente é o inverso do efeito fotoelétrico: em vez da liberação 
dos elétrons de uma superfície pela incidência de radiação eletromagnética sobre ela, 
fazemos que essa superfície venha a emitir radiação — mais especificamente, raios X — ao 
bombardeá-la com elétrons de velocidades elevadas.
Bremsstrahlung
Raios X foram produzidos pela primeira vez em 1895, pelo físico alemão Wilhelm Röntgen. 
Quando o catodo é aquecido até uma temperatura muito elevada, ele libera elétrons em 
um processo chamado emissão termoiônica (assim como no efeito fotoelétrico, a energia 
mínima que um elétron individual precisa que lhe seja dado para se desprender da 
superfície do catodo é igual à função trabalho da superfície. Nesse caso, a energia é 
fornecida aos elétrons pelo calor em vez da luz). Os elétrons são então acelerados no 
sentido do anodo pela diferença de potencial . No bulbo é criado vácuo, para evitar 
colisões com moléculas de ar. Quando for maior que alguns milhares de volts, raios X 
são emitidos da superfície do anodo.
E = hf
V (f) =0 ( )f−( )
e
h
e
ϕ
V0
v = 0
E = m c + p c2 4 2 2
p = =
c
E
=
c
hf
λ
h
VAC
VAC
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Um elétron possui carga e e ganha energia cinética quando acelerado por uma 
diferença de potencial . O fóton mais energético (maior frequência e menor 
comprimento de onda) é produzido se o elétron é freado e para de uma vez quando atinge 
o anodo, de modo que toda a energiacinética do elétron é usada para produzir um fóton, 
ou seja:
Nessa equação não consideramos a função trabalho de um anodo-alvo e a energia 
cinética inicial dos elétrons “fervidos” do catodo. Essas energias são muito pequenas se 
comparadas à energia cinética obtida pela diferença de potencial. Se somente uma 
parte da energia cinética do elétron for usada na produção do fóton, a energia desse fóton 
será menor que e o comprimento de onda será menor que .
Difração e interferência do fóton
eVAC
VAC
bremsstrahlung (palavra alemã que significa “freio da radiação”): energia liberada após a colisão com o 
anodo.
eVAC
eVAC λmin
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Em vez de registrar a imagem da figura de difração em uma placa fotográfica, podemos 
usar um tubo fotomultiplicador que serve, na verdade, para detectar até um único elétron. 
Neste experimento verificamos que, na média, a distribuição dos fótons concorda com 
nossas previsões baseadas na figura de difração. Em pontos correspondentes aos 
máximos contamos muitos fótons, nos mínimos não contamos quase nenhum fóton, e 
assim por diante. 
Suponha agora que a intensidade seja reduzida a tal ponto que somente alguns fótons por 
segundo passem através da fenda. Assim, registramos uma série discreta de colisões, 
cada uma representando um único fóton. Como não há uma maneira de prever o local 
exato em que um único fóton vai colidir, ao longo do tempo as colisões acumuladas 
formam a figura de difração esperada. Para reconciliar a descrição ondulatória com a 
descrição corpuscular da figura de difração, devemos encarar essa figura como uma 
distribuição estatística que nos informa quantos fótons, na média, atingem cada local. De 
modo equivalente, a figura nos diz a probabilidade de que um fóton individual atinja um 
determinado ponto. Se fizermos nosso feixe de luz brilhar em um dispositivo de fenda 
dupla, obtemos um resultado similar.
O princípio da complementaridade se aplica a essas experiências de interferência e 
difração de forma que o viés ondulatório explica as experiências da fenda única e da fenda 
dupla. Já a descrição corpuscular explica como um detector fotomultiplicador pode ser 
usado para construir a figura de interferência mediante a adição de pacotes discretos de 
energia. As duas descrições completam nossa compreensão dos resultados.
Natureza ondulatória das partículas
Louis De Broglie quem fez uma proposta marcante sobre a natureza da matéria. Seu 
pensamento foi: a natureza ama a simetria. A luz possui uma natureza dual, comportando-
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se em algumas situações como onda e em outras, como partícula. Se a natureza é 
simétrica, essa dualidade também deveria ser válida para a matéria. Verificou-se então 
que os elétrons podem interferir e refratar, assim como outros tipos de onda. A natureza 
ondulatória dos elétrons não é simplesmente uma curiosidade de laboratório: é o motivo 
fundamental para que os átomos, que, de acordo com a física clássica deveriam ser 
instáveis, sejam capazes de existir.
Se uma partícula se comporta como onda, ela deve ter um comprimento de onda e uma 
frequência. De Broglie postulou que uma partícula livre com massa de repouso , 
deslocando-se com velocidade não relativística , deve ter um comprimento de onda 
associada a seu momento linear do mesmo modo que um fóton, de tal forma que:
 e a energia de tal partícula é dada pela mesma relação que o fóton (
). 
Para um elétron, temos:
 e se o elétron for acelerado de um ponto até um ponto por um 
aumento de potencial temos que o trabalho realizado sob o elétron é 
e é igual ao seu acréscimo de energia cinética. Assim, o momento linear do elétron é 
 e seu comprimento de onda de De Broglie se torna .
De acordo com De Broglie, cada partícula tem associado um comprimento de onda 
correspondente ao seu comportamento ondulatório. No entanto, para objetos do nosso 
cotidiano, o comprimento de onda associado é muito inferior as dimensões de um raio ou 
núcleo atômico, impossibilitando a observação das propriedades ondulatórias de por 
exemplo um grão de areia, que necessita de uma fenda de largura de grandeza 
(sendo que dimensões de um átomo típico estão por volta de ) para que seja 
possível observar seu comportamento ondulatório.
Materiais aquecidos emitem luz, e diferentes materiais emitem diferentes tipos de luz. Se a fonte 
de luz for um sólido quente (como o filamento de uma lâmpada incandescente) ou um líquido, o 
espectro é contínuo. Mas, se a fonte for um gás aquecido, como o neônio em uma placa, o 
espectro inclui apenas algumas cores na forma de linhas paralelas nítidas e isoladas. Um espectro 
desse tipo é chamado de linha espectral de emissão, e as linhas são chamadas de linhas 
espectrais. Cada linha espectral corresponde a um comprimento de onda e a uma frequência 
definida.
Embora um gás aquecido emita seletivamente apenas certos comprimentos de onda, um gás frio 
absorve seletivamente certos comprimentos de onda. Se passarmos uma luz branca (espectro 
contínuo) por um gás e examinarmos a luz transmitida com um espectrômetro, encontramos uma 
série de linhas escuras correspondentes aos comprimentos de onda que foram absorvidos. Isso é 
denominado linha espectral de absorção. Ou seja, determinado tipo de átomo ou molécula 
absorve um conjunto característico de comprimentos de onda quando está frio igual ao que emite 
quando está aquecido. Logo, os cientistas podem usar a linha espectral de absorção para 
identificar substâncias da mesma maneira que usam a linha espectral de emissão
Modelo atômico de Bohr
m
v λ
p = mv
λ = =
p
h
mv
h
E = hf
K = mv =
2
1 2
2m
p2
a b
V =ba V −b Va eVba
p =
2meVba λ = =
p
h
2meVba
h
≈ 10 m−24
10 m−10
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Devido a inconsistências no modelo atômico em vigor em 1913, Niels Bohr propôs uma nova 
explicação para explicar a estabilidade atômica, que de acordo com a teoria eletromagnética 
clássica, afirma que qualquer carga elétrica em aceleração (oscilando ou girando) irradia 
ondas eletromagnéticas. Dessa forma o elétron perderia energia de forma contínua, emitindo 
um espectro contínuo de emissão, e eventualmente colidindo com o núcleo.
O raciocínio de Bohr era este. A linha espectral de emissão de um elemento nos diz que os 
átomos desse elemento emitem fótons somente em certas frequências específicas e, 
portanto, com certas energias específicas . Durante a emissão de um fóton, a energia 
interna do átomo muda por uma grandeza igual à energia do fóton. Portanto, cada átomo só 
deverá ser capaz de existir com certos valores específicos de energia interna. Cada átomo 
possui um conjunto de níveis de energia possíveis. Um átomo pode ter uma quantidade de 
energia interna igual a qualquer um desses níveis, mas não pode ter uma energia 
intermediária entre dois níveis. Todos os átomos isolados de determinado elemento têm o 
mesmo conjunto de níveis de energia, mas os átomos de diferentes elementos têm diferentes 
conjuntos. De acordo com Bohr, um átomo excitado pode fazer uma transição de um nível de 
energia para um nível inferior emitindo um fóton com energia igual à diferença de energia 
entre os níveis inicial e final. 
A linha espectral de emissão mostra que muitos comprimentos de onda diferentes são 
emitidos por cada átomo. Logo, cada tipo de átomo precisa ter uma série de níveis de 
energia, com diferentes espaçamentos na energia entre eles. Cada comprimento de onda no 
espectro corresponde a uma transição entre dois níveis de energia atômicos específicos 
(número de raias no espectro , sendo o número de níveis possíveis).
A observação de que os átomos são estáveis significa que cada átomo tem o nível de energia 
mais baixo, chamado nível básico. Os níveis com energias maiores que o nível básico são 
chamados níveis excitados. Um átomo em um nível excitado, chamado átomo excitado, pode 
fazer uma transição para o nível básico emitindo um fóton.Mas, como não existem níveis 
baixos do nível básico, um átomo no nível básico não pode perder energia e, portanto, não 
pode emitir um fóton. Se esse átomo inicialmente no nível de energia mais baixo for atingido 
por um fóton exatamente com a quantidade de energia certa, o fóton pode ser absorvido e o 
átomo acabará no nível mais alto. Em outras palavras, um átomo absorve os mesmos 
comprimentos de onda que ele emite. Isso explica a correspondência entre a linha espectral 
de emissão de um elemento e sua linha espectral de absorção.
Um átomo que tenha sido excitado para um nível de energia alto, seja por absorção de fóton, 
seja por colisões, não permanece lá por muito tempo. Depois de pouco tempo, chamado 
tempo de vida do nível (normalmente em torno de s), o átomo excitado emitirá um fóton 
e fará uma transição para um nível excitado mais baixo ou para o nível básico. Um gás frio que 
é iluminado pela luz branca para criar uma linha espectral de absorção, portanto, também 
produz uma linha espectral de emissão quando visto de lado, pois, quando os átomos perdem 
a excitação, eles emitem fótons em todas as direções.
f
E = hf
hf = =
λ
hc
E −i Ef
= Cn,2 n
10−8
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Suponha que tomemos um gás de átomos hipotéticos e o iluminemos com luz violeta com 414 
nm de comprimento de onda. Os átomos no nível básico podem absorver esse fóton e fazer 
uma transição para o nível de 3,00 eV. Alguns desses átomos farão uma transição de volta ao 
nível básico emitindo um fóton de 414 nm. Porém, outros átomos retornarão ao nível básico 
em duas etapas, primeiro emitindo um fóton de 620 nm para fazer a transição para o nível de 
1,00 eV, depois um fóton de 1.240 nm para fazer a transição de volta ao nível básico. Assim, 
esse gás emitirá radiação com comprimento de onda maior do que ele absorve, um fenômeno 
chamado fluorescência. Por exemplo, a descarga elétrica em uma lâmpada fluorescente faz 
com que o vapor de mercúrio no tubo emita radiação ultravioleta. Essa radiação é absorvida 
pelos átomos do revestimento no interior do tubo. Os átomos do revestimento, então, 
reemitem a luz no comprimento de onda maior, a parte visível do espectro. As lâmpadas 
fluorescentes são mais eficientes que as incandescentes na conversão de energia elétrica em 
luz visível, pois não desperdiçam tanta energia produzindo fótons infravermelhos (invisíveis).
A quantização dos níveis de energia postulado por Bohr resultou em outras grandezas 
também quantizadas, como o momento angular do elétron. De tal forma que 
.
Uma vez que elétrons em níveis estacionários não emitem continuamente energia, podemos 
usar a imagem de De Broglie das ondas eletrônicas. Em vez de visualizar o elétron orbitando 
como uma partícula que se move em torno do núcleo em uma trajetória circular, pense nele 
como uma onda estacionária senoidal com comprimento de onda , que se estende em torno 
do círculo. Uma onda estacionária em uma corda não transmite energia, e os elétrons nas 
órbitas de Bohr não irradiam energia. Para que a onda “saia uniforme” e se junte suavemente 
consigo mesma, a circunferência desse círculo precisa incluir algum número inteiro de 
comprimentos de onda. Logo, para uma órbita com raio e circunferência , precisamos 
ter , onde é o comprimento de onda e 
L =n mv r =n n
n
2π
h
λ
rn 2πrn
2πr =n nλn λn n = 1, 2, 3, ...
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Átomo de Hidrogênio segundo Bohr
Para o átomo de hidrogênio, temos que a força que promove a ação centrípeta no elétron 
é de natureza Coulombiana. Assim:
 que é numericamente igual a . 
Logo, obtemos que os raios de cada nível energético possível, e suas velocidades 
correspondentes também são grandezas quantizadas, de acordo com:
 e 
Dessa forma, o menor raio orbital corresponde á . Esse raio mínimo é chamado raio 
de Bohr, e é dado por . Os demais raios são dados então como 
função do raio de Bohr, segundo a relação .
Níveis de energia
Conhecendo a velocidade de cada órbita, podemos encontrar a energia associada:
 e 
logo Temos então a relação para a energia 
quantizada.
Utilizando a notação , onde (constante de Rydberg), podemos 
expressar o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron salta de uma órbita 
mais alta (upper) para uma mais baixa (lower) com a seguinte expressão:
F =
4πϵ0
1
rn
2
e2
F =c
rn
mvn
2
r =n ϵ0
πme2
n h2 2
v =n
ϵ0
1
2nh
e2
n = 1
a =0 5, 29 × 10 m−11
r =m n a2 0
K =n mv =2
1
n
2
ϵ0
2
1
8n h2 2
me4
U =n − =4πϵ0
1
rn
e2
−
ϵ0
2
1
4n h2 2
me4
E =n K +n U =n −
ϵ0
2
1
8n h2 2
me4
E =n −
n2
hcR
R =
8ϵ h c0
2 3
me4
ΔE = =
λ
hc
E −nu E =nl (− )−(−nU
2
hcR
) =
nL
2
hcR
hcr( −
nL
2
1
)
nU
2
1
Fundamentos de Física Quântica 11
Um teste adicional do modelo de Bohr é seu valor previsto da energia de ionização do 
átomo de hidrogênio. Esta é a energia exigida para remover o elétron completamente do 
átomo. A ionização corresponde a uma transição do nível básico para um raio 
orbital infinitamente grande ( , de modo que a energia que deverá ser adicionada 
ao átomo é (lembre-se de que E1 é negativo). A substituição 
das constantes na equação gera uma energia de ionização de 13,606 eV.
Átomos do tipo átomo de hidrogênio
Podemos estender o modelo de Bohr para outros átomos de um elétron, como o hélio 
unicamente ionizado ( ), o lítio duplamente ionizado ( ) e assim por diante. Esses 
átomos são denominados átomos do tipo do átomo de hidrogênio. Neles, uma carga 
nuclear não é , mas , onde é o número atômico, igual ao número de prótons no 
núcleo. O efeito na análise anterior é substituir em todos os lugares por . É preciso 
observar que os raios orbitais dados tornam-se menores por um fator de , e os níveis 
de energia são multiplicados por .
Experiência de fenda dupla com elétrons
A figura formada no anteparo corresponde ao mesmo padrão de interferência visto para os 
fótons. Além do mais, o princípio da complementaridade nos diz que não podemos aplicar os 
modelos de onda e partícula simultaneamente para descrever qualquer elemento isolado 
dessa experiência. Assim, não podemos prever exatamente onde na figura (um fenômeno 
ondulatório) qualquer elétron individual (uma partícula) pousará. 
ATENÇÃO Interferência de elétrons em fenda dupla não é interferência entre dois elétrons. 
Um erro de conceito comum é acreditar que o padrão se deve à interferência entre duas 
ondas de elétrons, cada uma representando um elétron que passa por uma fenda. Para 
mostrar que esse não é o caso, podemos enviar apenas um elétron de cada vez através do 
dispositivo. Não faz diferença; acabamos com a mesma figura de interferência. De certa 
forma, cada onda de elétrons interfere consigo mesma. Vemos assim, a dualidade onda-
partícula do elétron, em um experimento de interferência, a partir de uma fenda de dimensões 
(n = 1)
(n = ∞)
E −∞ E =1 0 −E =1 −E1
He+ Li2+
e Ze Z
e2 Ze2
rn Z
En Z
2
Fundamentos de Física Quântica 12
comparáveis com o o comprimento de onda de um elétron de De Broglie (espaçamento de 
grandeza próxima ao espaçamento entre átomos de um cristal).