Apostila era trigonometria (1)

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Trigonometria – Mat. III
Trigonometria I
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oTRIGONOMETRIA 
Trigonometria I -
Prof. Ismael Santos
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o TRIGONOMETRIA I
Teoria Elementar dos Conjuntos - Prof. Ismael Santos
➢Ângulos e suas Medidas
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➢Sistema Sexagemal
No sistema sexagesimal, um ângulo reto é dividido
em 90 partes iguais e cada uma dessas partes é chamada de
grau. A unidade do grau é definida por 𝟏°.
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑜 = 90°
1° = 60′ (60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠)
1′ = 60′′ (60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠)
▪ Exemplo:
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➢Sistema Circular ▪ Exemplo:
Um arco de circunferência possui medida angular e
medida linear, este também é chamado de comprimento do
arco.
A medida angular de um arco independe do
tamanho do raio da circunferência, enquanto o comprimento
do arco depende do raio da circunferência.
𝐴Ô𝐵 =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐴𝐵
𝑟𝑎𝑖𝑜
𝑟𝑎𝑑
𝐴𝐵 = 𝛼𝑅
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o TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS
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➢Hora de Praticar
(Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Victor So) Na figura, o comprimento dos arcos 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 e 𝐶𝐴 medem, 
respectivamente, 
8𝜋
7
,
16𝜋
7
 e 
32𝜋
7
. O raio da circunferência mede: 
 
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➢Conversão de Unidades ▪ Exemplo:
𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏𝟖𝟎° a) Converta o ângulo 𝟑𝟎° para radianos.
b) Converta o ângulo 𝟐𝝅/𝟑 para graus.
𝟐𝟎𝟎 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨𝐬 = 𝟏𝟖𝟎°
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(EEAR/2017) Ao somar as medidas angulares 𝟏𝟐𝟎° e
𝟑𝝅
𝟐
rad, obtém-se a medida de um arco
pertencente ao ____quadrante.
a) 𝟏°
b) 𝟐°
c) 𝟑°
d) 𝟒°
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➢Classificação do Ângulos
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➢Classificação do Ângulos
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➢Relação entre Ângulos
𝛼 e 𝛽 são ângulos complementares:
𝛼 + 𝛽 = 90° =
𝜋
2
𝛼 e 𝛽 são ângulos suplementares:
𝛼 + 𝛽 = 180° = 𝜋
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➢Relação entre Ângulos
𝛼 e 𝛽 são replementares:
𝛼 + 𝛽 = 360° = 2𝜋
▪ Exemplo:
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➢Trigonometria no Triângulo 
Retângulo
▪ Pitágoras e Nomenclaturas
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➢Trigonometria no Triângulo 
Retângulo 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝑏
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝑐
𝑎
𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
𝑏
𝑐
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➢Trigonometria no Triângulo 
Retângulo
▪ Relação Fundamental 
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(ESA/2012) A soma dos valores 𝒎 que satisfazem as igualdades 𝐬𝐞𝐧𝒙 =
𝒎+𝟏
𝒎
e 𝐜𝐨𝐬𝒙 =
𝒎+𝟐
𝒎
é:
a) 𝟓
b) 𝟔
c) 𝟒
d) −𝟒
e) −𝟔
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➢Razões de Ângulos 
Complementares
𝜶+ 𝜷 =
𝝅
𝟐
 
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
2
− 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 
𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔 
𝜋
2
− 𝛽 =
1
𝑡𝑔𝛽
 
 
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➢Ângulos Notáveis
 
𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
Seno 
1
2
 
 2
2
 
 3
2
 
Cosseno 
3
2
 
 2
2
 
1
2
 
Tangente 
3
3
 1 3 
 
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➢Ciclo Trigonométrico
O ciclo trigonométrico ou círculo trigonométrico é a
representação de uma circunferência de raio 1 em um plano
cartesiano ortogonal, onde o eixo horizontal é o cosseno e o
eixo vertical é o seno:
▪ Variação do Seno e Cosseno
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➢Ciclo Trigonométrico
Tomando-se um ponto qualquer na circunferência,
a projeção horizontal desse ponto é o cosseno do ângulo
entre o ponto e a reta horizontal. A projeção vertical desse
ponto resulta no seno do ângulo.
▪ Exemplo:
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➢Ciclo Trigonométrico ▪ Exemplo:
No ciclo trigonométrico, o sentido de rotação
positivo é o anti-horário e a origem se dá no extremo à
direita.
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➢Ângulos Notáveis no Ciclo 
Trigonométrico
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➢Quadrantes
Cada quadrante possui os seguintes intervalos de valores:
𝟏° Quadrante: ]𝟎,
𝝅
𝟐
[
𝟐° Quadrante: ]
𝝅
𝟐
, 𝝅[
𝟑° Quadrante: ]𝝅,
𝟑𝝅
𝟐
[
𝟒° Quadrante: ]
𝟑𝝅
𝟐
, 𝟐𝝅[
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➢Ângulos Congruentes
𝜶 ≡ 𝜷 ⇔ 𝜶 = 𝜷 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
𝛼 e 𝛽 são congruentes se, e somente se, satisfazem a relação 
acima.
▪ Exemplo:
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➢Redução ao 1º Quadrante
Conhecendo apenas as razões trigonométricas do
primeiro quadrante, podemos encontrar o valor do seno e
cosseno dos outros quadrantes. Essa técnica é conhecida
como redução ao primeiro quadrante.
▪ Exemplo: arco de 𝟑𝟎°
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➢Redução ao 1º Quadrante
Conhecendo apenas as razões trigonométricas do
primeiro quadrante, podemos encontrar o valor do seno e
cosseno dos outros quadrantes. Essa técnica é conhecida
como redução ao primeiro quadrante.
▪ Exemplo: arco de 𝟑𝟎°
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➢Redução ao 1º Quadrante ▪ Exemplo: arco de 𝟑𝟎°
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➢Redução ao 1º Quadrante ▪ Exemplo: arco de 45°
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➢Redução ao 1º Quadrante ▪ Exemplo: arco de 45°
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➢Redução ao 1º Quadrante ▪ Exemplo: arco de 𝟔𝟎°
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➢Redução ao 1º Quadrante ▪ Exemplo: arco de 𝟔𝟎°
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➢Redução ao 1º Quadrante ▪ Exemplo: arco de 𝟗𝟎°
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(EEAR/2018) O valor de 𝐬𝐞𝐧𝟏𝟐𝟕𝟎° é igual a
a) −𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°
b) −𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎°
c) −𝐬𝐞𝐧𝟏𝟎°
d) −𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎°
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✓ Outras Razões Trigonométricas
• sec 𝛼 =
• cossec 𝛼 =
• 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 =
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✓ Outras Razões Trigonométricas
Usando a relação fundamental, temos as seguintes relações:
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
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✓ Outras Razões Trigonométricas
Além dessas apresentadas,temos mais duas que podem ajudar a resolver
algumas questões:
𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶 =
𝟏
𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝜶
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 =
𝒕𝒈𝟐𝜶
𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝜶
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(EEAR/2017) Seja 𝑴 =
𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝒙+𝐬𝐞𝐜 𝒙
𝐜𝐨𝐭𝐠 𝒙+𝟏
, com 𝒙 ≠
𝒌𝝅
𝟐
, 𝒌 ∈ ℤ . Utilizando-se as identidades
trigonométricas, pode-se considerar 𝑴 igual a
a) 𝐬𝐞𝐧𝒙
b) 𝐜𝐨𝐬𝒙
c) 𝐬𝐞𝐜𝒙
d) 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜𝒙
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(EEAR/2011) Se 𝐬𝐞𝐧𝒚 = 𝒎 e 𝐜𝐨𝐬𝒚 = 𝒏, o valor de
𝐬𝐞𝐜 𝒚
𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝒚
é
a) 𝒎.
b) 𝒏𝟐.
c) 𝒎𝒏.
d)
𝒎
𝒏
.
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➢Funções Trigonométricas –
Função Seno
Seja 𝒇:ℝ → [−𝟏, 𝟏], a função seno é dada por:
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙
• Domínio: ℝ
• Imagem: −𝟏, 𝟏
• Período: 𝟐𝝅 , ou seja ⟹ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 ,𝑲 ∈ ℤ
• Paridade: ÍMPAR
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➢Funções Trigonométricas –
Função Seno
▪ Crescente e Decrescente
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➢Funções Trigonométricas –
Função Seno
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➢Função Seno 
Período: distância entre dos pontos de mínimo ou de máximo ⟹ 𝒇 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒄 ∙ 𝒙 + 𝒅)
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➢Função Seno 
Amplitude: distância vertical da linha média a um dos extremos ⟹ 𝒇 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒄 ∙ 𝒙 + 𝒅)
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➢Funções Trigonométricas –
Função Cosseno
Seja 𝒇:ℝ → [−𝟏, 𝟏], a função seno é dada por:
𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
• Domínio: ℝ
• Imagem: −𝟏, 𝟏
• Período: 𝟐𝝅 , ou seja ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 ,𝑲 ∈ ℤ
• Paridade: PAR
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➢Funções Trigonométricas –
Função Cosseno
▪ Crescente e Decrescente
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(EEAR/2018) As funções 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧𝒙 𝒆 𝒈 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝒙 , no segundo quadrante, são,
respectivamente,
a) decrescente e decrescente
b) decrescente e crescente
c) crescente e decrescente
d) crescente e crescente
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➢Funções Trigonométricas –
Função Cosseno
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➢Função Cosseno
Período: distância entre dos pontos de mínimo ou de máximo ⟹ 𝒇 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝒄 ∙ 𝒙 + 𝒅)
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➢Função Cosseno
Amplitude: distância vertical da linha média a um dos extremos ⟹ 𝒇 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝒄 ∙ 𝒙 + 𝒅)
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➢Funções Trigonométricas –
Função Tangente
Seja 𝒇:ℝ → [−𝟏, 𝟏], a função seno
é dada por:
𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈𝒙
• Domínio: ℝ − 𝒙 ≠
𝝅
𝟐
+ 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
• Imagem: ℝ
• Período: 𝝅 ,
• Paridade: ÍMPAR
𝒕𝒈 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙 + 𝒌𝝅 ,𝑲 ∈ ℤ
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➢Função Tangente
Período: distância entre dos pontos de mínimo ou de máximo ⟹ 𝒇 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒃 ∙ 𝒙)
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(EEAR/2012) Sejam as sentenças:
I- período 𝒑 = 𝝅;
II- domínio 𝑫 = ℝ;
III- conjunto imagem 𝑰𝒎 = −𝟏, 𝟏 .
Em relação à função tangente, é (são) verdadeira(s) a(s) sentença(s)
a) I.
b) III.
c) I e II.
d) II e III.
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𝒇 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒙 + 𝒅
ou
𝒇 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒙 + 𝒅
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• 𝑫𝒎 = 𝑹
• 𝑰𝒎 = 𝒂 − 𝒃 ; 𝒂 + 𝒃 ou 𝒂 + 𝒃 ; 𝒂 − 𝒃
• 𝑷𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 =
𝟐𝝅
𝒄
• 𝑨𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆 = 𝒃
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(Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Encontre o domínio, a imagem,
a paridade, o período e a amplitude da função abaixo:
𝒂) 𝒇 𝒙 = 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙
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(Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Encontre o domínio, a imagem,
a paridade, o período e a amplitude da função abaixo:
𝒂) 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝝅
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(Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Encontre o domínio, a imagem,
a paridade, o período e a amplitude da função abaixo:
𝒂) 𝒇 𝒙 = −
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒏 𝒙
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(Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Encontre o domínio, a imagem,
a paridade, o período e a amplitude da função abaixo:
𝒂) 𝒇 𝒙 = 𝟐 +
𝟏
𝟑
𝒔𝒆𝒏
𝒙
𝟐
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(Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Encontre o domínio, a imagem,
a paridade, o período e a amplitude da função abaixo:
𝒂) 𝒇 𝒙 = 𝟐 +
𝟏
𝟑
𝒔𝒆𝒏
𝒙
𝟐
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➢Transformações Trigonométricas
𝐜𝐨𝐬 𝑨 + 𝑩 = 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 − 𝒔𝒆𝒏 𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝑩)
𝐜𝐨𝐬 𝑨 − 𝑩 = 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 + 𝒔𝒆𝒏 𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝑩)
𝒔𝒆𝒏 𝑨 + 𝑩 = 𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝐁 + 𝐬𝐞𝐧 𝐁 𝐜𝐨𝐬 𝐀
𝒔𝒆𝒏 𝑨 − 𝑩 = 𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝐁 − 𝐬𝐞𝐧 𝐁 𝐜𝐨𝐬 𝐀
𝒕𝒈 𝑨 + 𝑩 =
𝒕𝒈 𝑨 + 𝒕𝒈 𝑩
𝟏 − 𝒕𝒈 𝑨 𝒕𝒈 𝑩
𝒕𝒈 𝑨 − 𝑩 =
𝒕𝒈 𝑨 − 𝒕𝒈 𝑩
𝟏 + 𝒕𝒈 𝑨 𝒕𝒈 𝑩
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(ESA/2016) Sabendo que 𝒙 pertence ao 4° quadrante e que 𝐜𝐨𝐬𝒙 = 𝟎, 𝟖, pode-se afirmar que o
valor de 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 é igual a:
a) 𝟎, 𝟐𝟖
b) −𝟎, 𝟗𝟔
c) −𝟎, 𝟐𝟖
d) 𝟎, 𝟗𝟔
e) 𝟏
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(EEAR/2018) O valor de 𝐬𝐞𝐧 𝒂 + 𝒃 − 𝐬𝐞𝐧 𝒂 − 𝒃 é igual a
a) 𝐬𝐞𝐧𝟐𝒂
b) 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒂
c) 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝒃 ⋅ 𝐜𝐨𝐬𝒂
d) 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝒂 ⋅ 𝐜𝐨𝐬𝒃
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(EEAR/2016) O valor de 𝐜𝐨𝐬𝟕𝟑𝟓° é:
a)
𝟏
𝟒
b)
𝟑
𝟒
c)
𝟐+ 𝟔
𝟒
d)
𝟐+ 𝟔
𝟖
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