Álgebra Moderna APOL1

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Questão 1/10 - Álgebra Moderna
Considere M2(R)M2(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais. Sobre o anel (M2(R),+,⋅),(M2(R),+,⋅), é correto afirmar que 
Nota: 10.0
	
	A
	É um anel comutativo.
	
	B
	É um anel com unidade dada pela matriz I=[1111].I=[1111].
	
	C
	É um anel com divisores de zero.
Você acertou!
Com operações usuais,  (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel. Além disso,  (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero. Por exemplo, as matrizes A=[1000] e B=[0010]A=[1000] e B=[0010] são tais que AB=0,AB=0, porém A≠0 e B≠0.A≠0 e B≠0.
	
	D
	É um domínio de integridade.
	
	E
	É um corpo.
Questão 2/10 - Álgebra Moderna
Leia trecho de texto a seguir:
"Em álgebra abstracta, uma estrutura algébrica consiste num conjunto associado a uma ou mais operações sobre o conjunto que satisfazem certos axiomas. Caso não existam ambiguidades, geralmente identifica-se o conjunto com a estrutura algébrica. Por exemplo, um grupo (G,*) refere-se geralmente apenas como grupo G. Em algumas estruturas algébricas além do conjunto principal existe mais um conjunto, denominado conjunto de escalares. Neste caso a estrutura terá dois tipos de operações: operações internas, que operam os objetos principais entre si, e operações externas, que representam ações dos escalares sobre elementos do conjunto principal. Por exemplo, um espaço vectorial tem dois conjuntos, um conjunto de vectores e outro de escalares. Assim, se v1 e v2 são dois vetores e k é um escalar v1 * v2 seria o produto (interno) de vetores e k * v1 seria o produto (externo) de um escalar por um vetor".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SOUZA, L. O. Geometria Analitica PlanaGeometria Analitica Plana<https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrutura_alg%C3%A9brica>. Acesso em 02 ago. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas  sobre grupos, leia as afirmativas a seguir e assinale V (verdadeiro) para as afirmativas verdadeiras e F (falsa) para as afirmativas falsas:
 (   ) O par (N,+)(N,+), sendo NN o conjunto dos números naturais, é um grupoide aditivo.
 (   ) O par (N,.)(N,.), sendo NN   o conjunto dos números naturais, é um grupoide multiplicativo. 
 (   ) Seja A={x|x=2n;n∈Z}A={x|x=2n;n∈Z}. O par(A,∗)(A,∗), em que a∗b=a÷ba∗b=a÷b, é uma operação válida em A.
Agora, marque a sequência correta:
 Geometria Analitica PlanaGeometria Analitica Plana 
Nota: 10.0
	
	A
	V−V−FV−V−F
Você acertou!
Comentário:Comentário: Primeira afirmação é verdadeira: A soma é uma operação em ZZ. corretacorreta. Segunda afirmação é verdadeira: A multiplicação é uma operação em ZZ. corretacorreta. Terceira afirmação é falsa: a é um conjunto formado por números pares, logo a divisão de dois números inteiros nem sempre é um inteiro. incorretaincorreta.  (livro-base, p. 23-26).
	
	B
	F−V−FF−V−F
	
	C
	V−F−FV−F−F
	
	D
	F−V−VF−V−V
	
	E
	F−F−VF−F−V
Questão 3/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado a seguir:
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso e dos conteúdos adquiridos nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa.
I. (   ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares  C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V - V - V.
	
	B
	V - F - V.
	
	C
	V - V - F.
As propriedades (i) e (ii) são satisfeitas para os conjuntos ZZ e B.B. Logo, as afirmativas I e II são verdadeiras. Observamos que 1 e 3 são elementos de CC, mas 1+3=4∉C.1+3=4∉C. Assim, a afirmativa III é falsa.
	
	D
	V - F - F.
	
	E
	F - V - V.
Questão 4/10 - Álgebra Moderna
Leia com atenção o enunciado:
Considere os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias, e sejam os conjuntos A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9}.A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9}.
Agora, leia sobre eles as seguintes as afirmações: 
I. O conjunto R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} é uma relação simétrica e reflexiva.
II. O conjunto R2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} é uma relação reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica.
III. O conjunto R3={(1,2),(2,3),(1,3)}R3={(1,2),(2,3),(1,3)} é uma relação antissimétrica e transitiva.
Está correto apenas o que se afirma em:
Nota: 0.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	I, II e III.
	
	C
	III.
	
	D
	II e III.
Afirmativa I está incorreta, pois se xRy tem o a relação yRx (simétrica) e vale a relação se xRy e yRz então xRz (transitiva)  e não reflexiva. A afirmativa II está correta, pois se xRy tem o a relação yRx (simétrica), vale a relação se xRy e yRz então xRz, se ∀x∈A;xRx∀x∈A;xRx, (reflexiva) e se xRy e yRx então x=y (antissimétrica). Afirmativa III está correta pois vale a relação se xRy e yRz então xRz (transitiva) e se xRy e yRx então x=y (antissimétrica). (livro-base, p. 15-18).
	
	E
	I e III.
Questão 5/10 - Álgebra Moderna
Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos munido das operações ++ e ⋅⋅ definidas pelas tabelas abaixo:
+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea
Analise as afimativas:
I. e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e.
II. O elemento neutro da operação ++ é a.a.
III.  A unidade de AA é o elemento e.e.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
Na tabela da adição, temos e+a=a.e+a=a. Usando a tabela da multiplicação, concluímos que e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e. Logo, a afirmativa I é correta. Como a+a=e,a+a=e, o elemento aa não pode ser o elemento neutro da adição. Assim, a afirmativa II é falsa. Além disso, como e⋅a=e,e⋅a=e, garantimos que o elemento ee não é a unidade em A.A. Portanto, a afirmativa III é incorreta.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 6/10 - Álgebra Moderna
Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias e dados os conjuntos A=RA=R, B=RB=R, leia as seguintes afirmações:
I. O conjunto R1={(x,y)∈R2|y=√x}R1={(x,y)∈R2|y=x} é uma relação binária de A×BA×B.
II. O conjunto R2={(x,y)∈N2|3x+y−10=0}R2={(x,y)∈N2|3x+y−10=0} é uma relação binária de A×BA×B.
III. O conjunto R3={(x,y)∈R2|x−y+1<0}R3={(x,y)∈R2|x−y+1<0} é uma relação binária de A×BA×B.
Está correto apenas o que se afirma em:
Nota: 0.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	II e III.
	
	C
	III.
As afirmativas I e II não estão corretas, pois não existe raiz de número negativo em RR  e para R2R2,  a função y=−3x+10y=−3x+10, não é definida para x>3.x>3.    Afirmativa III está correta pois é a região do  R2R2 acima da reta y=x+1y=x+1.  (livro-base, p. 15-18).
	
	D
	I e III.
	
	E
	II.
Questão 7/10 - Álgebra Moderna
Considerando os conteúdos estudados nas aulas sobre polinômios, assinale a alternativa correta:
Nota: 0.0
	
	A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	
	B
	A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	
	C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	
	D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
Segue das propriedades da adição de polinômios.
	
	E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 8/10 - Álgebra Moderna
Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos com as operações + e ⋅+ e ⋅ definidas pelas tabelas abaixo:
+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea
Analise as afirmativas:
I. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel.
II. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel comutativo.
III. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel sem unidade.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
Com as operações definidas no conjunto A,A, os elementos desteconjunto satisfazem os seis axiomas de anel. Logo, (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel e a afirmativa I está correta. Além disso, e⋅a=a⋅e=ee⋅a=a⋅e=e, o que mostra que (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel comutativo. Logo, a afirmativa II também está correta. Por outro, (A,+,⋅)(A,+,⋅) é unitário, pois a∈Aa∈A é a unidade. Logo, a afirmativa III é falsa.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 9/10 - Álgebra Moderna
Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias e dados os conjuntos A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}, B={1,3,5,7,9}B={1,3,5,7,9}, leia as seguintes afirmações:
I. O conjunto R1={(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)}R1={(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)} é uma relação binária de A×BA×B.
II. O conjunto R2=A×BR2=A×B é uma relação binária de A×BA×B
III. O conjunto R3={(1,1),(2,2),(3,3),(3,2),(3,5),(7,4)}R3={(1,1),(2,2),(3,3),(3,2),(3,5),(7,4)} é uma relação binária inversa de R1R1, do item I.
Estão corretas apenas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I e II.
Afirmativa I está correta, pois o D(R1)={1,2,3,4}⊂AD(R1)={1,2,3,4}⊂A e a imagem Im(R1)={1,3,5,7}⊂BIm(R1)={1,3,5,7}⊂B. Afirmativa II está correta, pois o produto cartesiano de A x B é uma relação binária dele mesmo.  Afirmativa III está incorreta pois os pares (2,2)(2,2) e (3,3)(3,3) não pertencem a R1R1.  (livro-base, p. 15-18).
	
	B
	III.
	
	C
	I.
	
	D
	I e III.
	
	E
	I, II e III.
Questão 10/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado a seguir:
Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam suas operações usuais. 
De acordo com o enunciado e com os conteúdos estudados nas aulas, é correto afirmar que:
Nota: 0.0
	
	A
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
	
	C
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade.
	
	D
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo.
Com as operações usuais, (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dado a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0,a≠0, vem que p≠0p≠0 e qp∈Q.qp∈Q. Então, a−1=qp∈Qa−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.pq⋅qp=1.
	
	E
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade.