AULA 88

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Análise de Variância
Econometria 
Alexandre Gori Maia
Ementa:
• Soma dos Quadrados;
• Coeficiente de Determinação;
• Teste F para Tabela ANOVA;
• Coeficiente de Determinação Ajustado;
Bibliografia Básica:
Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap. 7.
Soma dos Quadrados - Conceito
Y
Y



n
i
i YYSQReg
1
2)ˆ(


n
i
i YYSTQ
1
2)( 


n
i
i iYY SQRes
1
2)ˆ(
Y
Quando X explica Y Quando X não explica Y
Maior Soma dos 
Quadrados da
Regressão
Menor Soma dos 
Quadrados da
Regressão
X
Y
X
Y
^
Y
^
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
2/11
Soma dos Quadrados - Definição
Soma Total dos Quadrados (STQ): Y
2
1
2
1
2)( YnyYYSTQ T
n
i
i
n
i
i  

yy
Variabilidade total da variável dependente. Representa as distâncias 
quadráticas dos valores de Y em relação à média aritmética. 
Y
X1 X2
Soma dos Quadrados da Regressão (SQReg):
Variabilidade da variável dependente explicada pelo conjunto de variáveis 
independentes. Representa as distâncias quadráticas dos valores 
ajustados pelo modelo em relação à média aritmética.
SQReg
2
1
2 ˆ)ˆ( YnYYSQReg TT
n
i
i 

yXβ
X1 X2
Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQRes):
Variabilidade da variável dependente não explicada pelo conjunto de 
variáveis independentes. Representa as distâncias quadráticas entre os 
valores observados de Y e seus valores ajustados pelo modelo.
Y
SQRes
yXβyyee TTTT
n
i
ii YYSQRes
ˆˆˆ)ˆ(
1
2 

X1 X2
STQ
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
3/11
Análise de Variância
Regressão
Resíduos
Total
Fonte
Soma dos 
QuadradosGL
k
)1(  kn
1n
Quadrados 
Médios
k
SQReg
)1(  kn
SQRes
F
)1( 

knSQRes/
SQReg/k
F2ˆ YnTT yXβ
yXβyy TTT ˆ
2YnT yy
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
4/11
Coeficiente de Determinação (R2):
Definição: Estima a proporção da variabilidade da variável dependente 
(Y) que é explicada pelo conjunto das k variáveis independentes do 
modelo de regressão (X).
1
Escala para R2:
Independência 
linear
Relação 
linear exata
Coeficiente de Determinação
STQ
SQRes
STQ
SQReg
R  12
0
Y
X1 X2
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
5/11
Soma dos Quadrados - Exemplo
Y 
(Renda)
X1
(Anos 
Estudo)
X2
(Idade)
4 1 20
8 4 30
10 6 40
12 7 50
Seja a relação entre renda familiar em salários mínimos (Y), anos de estudo (X1) e 
idade (X2) do responsável pela família: ii eXXY ii
ˆ06,019,1 21 
  2)5,8(4
1320
180
34
06,019,1 










2ˆ YnSQReg TT  yXβ 8,342898,323 
2YnSTQ T  yy   2)5,8(4
12
10
8
4
121084 














 35289324 
gSQSTQsSQ ReRe  2,08,3435 
994,02 
35
34,8
STQ
SQReg
R
As variáveis anos de estudo e 
idade explicam, conjuntamente, 
quase a totatilidade (99,4%) da 
variabilidade observada para a 
renda familiar na amostra.
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
6/11
Teste F para ANOVA- Exemplo
Seja o modelo de RLM com duas variáveis: eXXY  2211 
E as hipóteses: 
Possíveis resultados do modelo:






0:
0:
1
210
j um menos PeloH
H


Y
X1 X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1 X2
10 20 1=0 20 10 2=0 1=0 2=0
X1 e X2 contribuem 
para explicar Y. H0
deveria ser rejeitado
Apenas X2 contribui 
para explicar Y. H0
deveria ser rejeitado
Apenas X1 contribui 
para explicar Y. H0
deveria ser rejeitado
Nenhuma variável 
contribui para 
explicar Y. H0 não 
deveria ser rejeitado
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
7/11
Teste F para ANOVA
H0: 1=...=k =0 (não contribui)
H1: Pelo menos um j 0 (contribui) 1, knnF~F
F
p
)1( 

knSQRes/
SQReg/k
F
Rejeitar H0 significa afirmar que o modelo contribui para explicar Y, ou seja, há 
relação significativa entre pelo menos uma variável explicativa e a variável 
dependente.
Seja o modelo de RLM: 
eXXXY kk   ...2211
Para testarmos a contribuição do conjunto de k variáveis independentes do modelo, 
teremos as hipóteses:
A estatística de teste será Considerando 
H0 verdadeiro, a 
fdp de F será...
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
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Teste F para ANOVA - Exemplo
Seja a relação entre renda familiar em salários mínimos (Y), anos de estudo (X1) e 
idade (X2) do responsável pela família: ii eXXY ii
ˆ06,019,1 21 
 ,F~
SQRes/
SQReg/
12
1
2
087,F 
0760,
Há evidências moderadas para 
afirmar que o modelo contribui 
para explicar a variabilidade da 
renda familiar. A probabilidade de 
erro ao fazermos tal afirmação é 
de aproximadamente 7,6%. 
valor p = 0,076
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
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R2 Ajustado - Definição
Y
X1 X2
SQReg
Seja o ajuste:
ii eXXY ii
ˆˆˆ 2211  
STQ
SQReg
Ry 
2
12
Incorporando uma variável independente adicional (X3):
ii eXXXY iii
ˆˆˆˆ 332211  
Y
X1 X2
Poderemos ter:
X3
SQReg
Y
X1 X2
SQReg
X3
ou
2
12
2
123 yy RR 
2
12
2
123 yy RR 
O R2 nunca diminui quando incorporamos variáveis 
independentes adicionais no modelo.
Coeficiente de Determinação Ajustado (R2):
O R2 ajustado (R2) pondera o coeficiente de determinação (R2) pelo número de variáveis
explicativas e pelo número de observações da amostra. É particularmente útil quando
desejamos comparar modelos de regressão múltipla que prevêem a mesma variável
dependente, pois penaliza aquele modelo com maior número de variáveis independentes.
Será dado por:
)1(
1
)1(1
)1(
)]1([
1 22






kn
n
R
nSTQ/
knSQRes/
R
_
_
Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
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R2 Ajustado - Exemplo
Seja a relação entre renda familiar em salários mínimos (Y), anos de estudo (X1) e 
idade (X2) do responsável pela família: ii eXXY ii
ˆ06,019,1 21 
0,9942 R
Não há mudanças expressivas no coeficiente de determinação ajustado pelo número de 
observações e variáveis do modelo é expressivamente inferior ao R2. Reflexo, sobretudo, 
do elevadíssimo valor encontrado para o R2. 
0,982
)12(4
14
)994,0(11R2 



Soma dos Quadrados
Coeficiente de 
Determinação
Teste F ANOVA R2 Ajustado
11/11