Raciocínio Lógico - Inequações e Aplicações

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Aula 09
Raciocínio Lógico p/ AFC/CGU - Todas as áreas
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AULA 9: 
6. Álgebra - Parte II: Aplicações e Operações com 
Inequações 
 
 
SUMÁRIO 
I. Aplicações e Operações com Inequações .......................................... 2 
II. Lista das Questões Apresentadas ................................................. 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Já experimentou acreditar em você? Tente ... você não faz ideia 
do que é capaz�´ 
 
 
 
 
 
 
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I. Aplicações e Operações com Inequações 
 
 
Muito bem, galera! Vamos estudar as inequações! 
 
Você vai perceber que resolver inequações é simples! Basta seguir o passo 
a passo que eu vou ensinar e não haverá mistério. 
 
I.1 Introdução 
 
As inequações nada mais são do que sentenças matemáticas que refletem 
uma desigualdade. 
 
- Como assim, Professor? Que papo é esse de desigualdade? 
- É simples! As desigualdades são representadas pelos seguintes símbolos: 
 
 
> 
 
 
Maior que 
 
• 
 
 
Maior ou igual que 
 
< 
 
 
Menor que 
 
 
” 
 
 
Menor ou igual que 
 
Exemplos: 
 
x ± ��•��� 
x + 8 < 12 
4 ± 2x > 6 
 
A forma de resolução das inequações é bem similar à forma de resolução 
das equações que você já conhece, mas com algumas peculiaridades. 
Interessar-nos-á (falei bonito né?) a forma de resolução das inequações, 
ou seja, temos que saber quais são os valores de x que tornam a inequação 
verdadeira! 
 
Que tal vermos os exemplos acima resolvidos? 
 
 
 
 
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i) x ± ��•��� 
 
Como em uma equação, o objetivo é sempre isolar a variável. Passamos o 
± 1 para o outro lado da desigualdade trocando o sinal: 
 X •�� + 1 
 ;�•���---------------Æ nossa resposta da inequação! 
 
ii) x + 8 < 12 
 
Como em uma equação, o objetivo é sempre isolar a variável. Passamos o 
+8 para o outro lado da desigualdade trocando o sinal: 
 X < 12 -8 
 X < 4 ---------------Æ nossa resposta da inequação! 
 
 
iii) 4 ± 2x > 6 
 
Como em uma equação, o objetivo é sempre isolar a variável. Passamos o 
+4 para o outro lado da desigualdade trocando o sinal: 
± 2x > 6 ± 4 
± 2x > 2 
 
Aqui aparece a primeira grande diferença da inequação para a equação! 
Repare que o sinal da variável x está negativo. Em uma equação, basta 
multiplicarmos ambos os lados por (-1) para tornar a variável positiva. 
 
Em uma inequação NÃO é tão simples assim!!!!!!!!!!!!!!! 
 
 
 
 
Em uma inequação, quando multiplicarmos ambos os lados por 
(-1), devemos inverter o sinal da desigualdade! 
 
 
 
Voltemos ao nosso exemplo: 
± 2x > 2 (x -1) 
 2x <-2 ---------------Æ perceberam que o > virou < ??? 
 
Agora eu passo o 2 que está multiplicando o x para o outro lado dividindo: 
 
 X < (-2/2) 
 X < - 1 ---------------Æ nossa resposta da inequação! 
 
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Ótimo!!! Agora que estamos entendidos com os conceitos básicos da 
inequação, que tal fazermos uma questão de concurso? 
 
Questão 1: ESAF/AFC/1997/TTN 
A diferença entre o conjunto A = {x E R | - 1 ” x ” 1} e o conjunto-
solução da inequação 0,5 (1 - x) > 1 é dada por: 
 
a) {x E R | x ” 1} 
b) {x E R |-1 ” x ”��} 
c) {X E R |-1 < x < 1} 
d) {x E R |-1 < x ” 1} 
H��^[�(�5�_�[�•��` 
 
SOLUÇÃO: 
 
Esta questão mistura conceitos de conjuntos com os de inequação. 
A primeira coisa a fazer é resolver a inequação. 
 
0,5 (1 - x) > 1 
 
Para evitar trabalhar com números decimais, vamos substituir 0,5 por ହଵ଴ �݋ݑ� ଵଶ�: ? ?� ?ሺ ?െ ݔሻ ൐ ? 
 
Multiplicando cruzado para eliminar o denominador: ሺ ? െ ݔሻ ൐ ? െݔ ൐ ? െ ? െݔ ൐ ? 
Multiplicando por -1 em ambos os lados, vem: ݔ ൏ െ ? 
 
Agora, vejam: o conjunto A ={x E R | - ��”�[�”��` engloba todos os 
números entre -1 e 1, inclusive eles. 
 
O conjunto B solução da inequação (x<-1) engloba todos os números 
menores que -1 excluindo ele (-1). B ={x E R | x < - 1} 
 
A questão pede a diferença entre os dois conjuntos (A-B), ou seja, tudo 
que está em A e não está em B. Ora, como não há interseção entre os 
dois conjuntos, e nada de A está em B, a diferença é o próprio conjunto 
A. 
 
Gabarito: Letra B 
* * * * * * * 
 
 
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Agora, vou introduzir um conceito novo correlato ao estudo das 
inequações: o de de um número. 
 
Trata-se de um conceito muito simples, mas que embola um pouco nossa 
FDEHoD�QD�KRUD�GH�ID]HU�TXHVW}HV��2�VtPEROR�GR�PyGXOR�p�R�³_��_´� 
 
Módulo de um número é o valor positivo do número. Só isso! Simples assim! 
O módulo de 9 é igual a 9. |9| = 9 
O módulo de -9 é igual a 9. |-9| = 9 
 
 
O módulo de 6 é igual a 6. |6| = 6 
O módulo de -6 é igual a 6. |-6| = 6 
 
O módulo de 2 é igual a 2. |2| = 2 
O módulo de -2 é igual a 2. |-2| = 2 
 
Perceberam como é simples? Mas é óbvio que não cairá assim na sua prova! 
Cairá, com certeza, o cálculo do módulo de alguma variável. 
 
Nestes casos, não se desespere!!!! 
 
 
 
Repare o seguinte: quando o número é positivo, o módulo é ele mesmo: 
|6| = 6. Agora, quando o número é negativo, o módulo é ele multiplicado 
por -1: |-6| = 6. Você percebeu isso? 
 
Então, podemos escrever a seguinte regrinha de Ouro que irá nos 
acompanhar nos exercícios de módulo: 
 ȁܽȁ ൌ ቄ ܽǡ ܽ ൒ ?െܽǡ ܽ ൏ ? 
Beleza?? 
 
Que tal misturar esse conceito com o de inequações em uma questão de 
concurso anterior? 
 
 
 
 
 
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Questão 2: ESAF/ANEEL/2004 
A solução da inequação 2x ± �� �� _[� �� �_•��� HP� 5�� RQGH� 5� p� R�
conjunto dos números reais, é dada por: 
D��6� �^[�ǝ�5�_�[”�` 
E��6� �^[�ǝ�5�_�[•�` 
F��6� �^[�ǝ�5�_�[”�` 
G��6� �^[�ǝ�5�_�[”�` 
H��6� �^[�ǝ�5�_�[•�` 
 
SOLUÇÃO: 
 
Em primeiro lugar, observe que há um módulo na questão. Temos que 
considerar as duas hipóteses e testar se as respostas estão coerentes 
com as hipóteses assumidas. 
 
Sabemos, da definição do módulo, que ȁݔ ൅ ?ȁ ൌ ൜ ݔ ൅ ?ǡ ݔ ൅ ? ൒ ?ǡ݋ݑ�ݔ ൒ െ ?െሺݔ ൅ ?ሻǡ ݔ ൅ ? ൏ ?ǡ݋ݑ�ݔ ൏ െ ?��� 
 
1ª hipótese:��ݔ ൅ ? ൒ ?ǡ݋ݑ�ݔ ൒ െ ? 
Neste caso, |x+1|=x+1.
Substituímos |x+1| por x+1 na inequação 
original: 
2x ± 7 + [����•� 
�[���[�•���± 1 
�[�•�� 
[�•�� 
 
(VWD�UHVSRVWD�HVWi�FRHUHQWH�FRP�QRVVD�KLSyWHVH�GH�[•�-1? Sim, pois o 
conjunto formado pelos números maiores ou iguais que 2 está contido 
no conjunto formado pelos números maiores ou iguais que -1 (hipótese 
inicial). 
 
2ª hipótese:��ݔ ൅ ? ൏ ?ǡ݋ݑ�ݔ ൏ െ ? 
Neste caso, |x+1|=-(x+1). Substituímos |x+1| por ±(x+1) na 
inequação original: 
2x ± 7 ± �[�����•� 
2x ± 7 ± x ± �•� 
2x - [�•������ 
[�•�� 
 
Esta resposta está coerente com nossa hipótese de x< -1? Não, pois o 
conjunto formado pelos números maiores ou iguais que 8 está fora do 
conjunto formado pelos números menores que -1 (hipótese inicial). 
Ficamos então com a primeira resposta: [�•�� 
 
Gabarito: Letra E 
 * * * * * * * 
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Questão 3: ESAF/MPOG/2001 
Se -5<5x+1<5, então 1-x está entre: 
a) -6/5 e -4/5 
b) -11/5 e -1/5 
c) 4/5 e 6/5 
d) -4/5 e 6/5 
e) 1/5 e 11/5 
 
SOLUÇÃO: 
 
Nesta questão, temos duas inequações: -5<5x+1 e 5x+1<5 
Temos que resolver as duas e fazer a interseção das respostas para 
achar o resultado: 
-5<5x+1 
-1-5<5x 
-6<5x 
-6/5<x ou x>-6/5 
 
5x+1<5 
5x<5-1 
5x<4 
x<4/5 
 
Fazendo a interseção dos dois conjuntos, a nossa resposta é: 
 െ ? ?൏ ݔ ൏ ? ? 
 
Mas a questão não nos pede isso! Ela pede o intervalo de (1 ± x). 
 
Ora, nas inequações valem as mesmas regras das equações. Podemos 
somar, subtrair, multiplicar e dividir termos em todos os lados da 
desigualdade, com a única ressalva de que, ao multiplicarmos por ±1, 
devermos inverter os símbolos. 
 
Então vamos operar o que temos até aparecer o (1 ± x): 
 െ ? ?൏ ݔ ൏ ? ? 
 
Vamos multiplicar por ±1 para aparecer o ±x: ? ?൐ െݔ ൐ െ ? ? 
 
Ficou diferente da forma com que estamos acostumados né? Rs! Não 
tem problema, basta inverter a desigualdade de lado. Para não se 
confundir na hora de reescrever, você pode falar em voz alta a 
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GHVLJXDOGDGH�� $VVLP�� ³±x é maior que menos quatro quintos e -x é 
menor que sHLV�TXLQWRV�´ െ ? ?൏ െݔ ൏ ? ? 
Muito bem, para aparecer o (1 ± x) basta somar 1 em todos os termos: 
 ? െ ? ?൏ ? െ ݔ ൏ ? ൅ ? ? 
 
Desenvolvendo, temos: ? ?൏ ? െ ݔ ൏ ? ? ? 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
Até aqui estudamos tão somente inequações do 1º grau, ou seja, aquelas 
em que a variável (x) está elevada à primeira potência. Passaremos agora 
a estudar as inequações do 2º grau, ou seja aquelas em que teremos um 
termo na forma x2. 
 
Para resolvê-las, não se desespere! Use a fórmula de Bháskara (aquela 
mesma da equação do 2º grau) e seja feliz! 
 
- Calma aê, Professor! Explica isso melhor! 
- Vamos por partes, caro Aluno! Siga a seguinte receita de bolo: 
 
 
1. Isole os termos de um lado da igualdade e o zero do outro 
lado; 
2. Calcule as duas raízes da função formada 
3. Observe o sinal do termo que acompanha o x2 
4. Esboce o gráfico da função. 
5. Ache a resposta da inequação. 
 
- Ishhh, Professor! Não entendi nada! 
- Eu sei!!!!!!!!!!! Mas você vai entender com a resolução do exercício a 
seguir. Vamos lá? 
 
 
 
 
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Questão 4: ESAF - AFRFB/2009 
Considere as inequações dadas por: 
 
 
 e 
 
 
Sabendo-se que A é o conjunto solução de f(x) e B o conjunto 
solução de g(x) , então o conjunto Y = A ŀ B é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
SOLUÇÃO: 
Temos duas inequações do 2º grau. Vamos resolver uma de cada vez e 
depois fazer a interseção dos dois conjuntos. 
 
x2 ± 2x + 1 ”�� 
 
1. Isole os termos de um lado da igualdade e o zero do outro 
lado; 
Ok, isto já foi feito no enunciado! 
 
2. Calcule as duas raízes da função formada 
Para calcular as raízes, igualamos a função a zero e aplicamos a 
fórmula de Bháskara: 
x2 ± 2x + 1 = 0, 
Lembre-se: 
a = termo que acompanha o x2 = 1 
b = termo que acompanha o x = -2 
c = termo isolado = 1 
 ݔ ൌ െܾ േ ? ଶܾ െ ?ܽ ܿ ?ܽ ݔ ൌ െሺെ ?ሻ േඥሺെ ?ሻଶ െ ?ሺ ?ሻሺ ?ሻ ? ? ሺ ?ሻ ݔ ൌ ? േ ? ? െ ? ? ݔ ൌ ? ?ൌ ? 
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Esta função possui duas raízes reais iguais a 1. Estas raízes são os 
pontos em que a função corta o eixo real. 
 
3. Observe o sinal do termo que acompanha o x2 
O termo que acompanha o x2 é 1. 
Sinal: Positivo ------> Concavidade do gráfico da função para cima. 
4. Esboce o gráfico da função. 
Esta função tem concavidade parD�FLPD�H�³FRUWD´�R�HL[R�UHDO�HP�um 
único ponto, x=1. Logo, o desenho fica da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 + + + 
 
 1 
 
O gráfico nos mostra que a função é igual a zero para x=1 e > 0 para 
qualquer outro x. 
 
5. Ache a resposta da inequação. 
A questão quer saber quais são os valores de x que tornam a função 
x2 ± 2x + 1 menor ou igual que zero. 
 
x2 ± �[�����”�� 
 
Ora, da análise do gráfico, concluímos que a função nunca é negativa 
(<0). O mínimo valor a que ela chega é o zero, para x=1. Logo, x=1 é 
a solução dessa inequação. 
 
$� �^[�ǝ�5_�[� �1} 
 
Vamos à segunda inequação: 
-2x2 + 3x + ��•�� 
 
1. Isole os termos de um lado da igualdade e o zero do outro 
lado; 
Ok, isto já foi feito no enunciado! 
 
2. Calcule as duas raízes da função formada 
Para calcular as raízes, igualamos a função a zero e aplicamos a 
fórmula de Bháskara: 
-2x2 + 3x + 2 = 0, 
Lembre-se: 
a = termo que acompanha o x2 = -2 
b = termo que acompanha o x = 3 
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c = termo isolado = 2 
 ݔ ൌ െܾ േ ? ଶܾ െ ?ܽ ܿ ?ܽ ݔ ൌ െሺ ?ሻ േඥሺ ?ሻଶ െ ?ሺെ ?ሻሺ ?ሻ ? ? ሺെ ?ሻ ݔ ൌ െ ? േ ? ? ൅ 猃?െ ? ݔ ൌ െ ? േ ?െ ? ݔ ൌ ?�݋ݑ�ݔ ൌ െ ? ? 
Esta função possui duas raízes reais iguais a -1/2 e 2. Estas raízes 
são os pontos em que a função corta o eixo real. 
 
3. Observe o sinal do termo que acompanha o x2 
O termo que acompanha o x2 é -2. 
Sinal: Negativo ------> Concavidade do gráfico da função para baixo. 
4. Esboce o gráfico da função. 
Esta função WHP�FRQFDYLGDGH�SDUD�EDL[R�H�³FRUWD´�R�HL[R�UHDO�HP�GRLV�
pontos, x=-1/2 e x=2. Logo, o desenho fica da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 -1/2 + 2 
 
 - -
O gráfico nos mostra que a função é igual a zero para x=-1/2 e x=2 
e > 0 para qualquer outro -1/2<x<2 e <0 para x<-1/2 e x>2. 
 
5. Ache a resposta da inequação. 
A questão quer saber quais são os valores de x que tornam a função 
-2x2 + 3x + 2 maior ou igual que zero. 
 
-2x2 ���[�����•�� 
 
Ora, da análise do gráfico, concluímos que a função é > 0 no intervalo 
entre x=-1/2 e x=2 e igual a zero em x=-1/2 e x=2. Logo, a solução 
dessa inequação é: 
 
 
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B �^[�ǝ�5_�-���”�x ” 2} 
 
Como a questão quer saber a interseção entre A e B, a solução é x=1 
(único elemento comum entre os dois conjuntos). 
 
Gabarito: Letra C 
* * * * * * * 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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¨�!�� 
(2 raízes diferentes) 
¨�= 0 
(2 raízes iguais) 
¨�< 0 
(0 raízes reais) 
a > 0 a > 0 a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¨�!�� 
(2 raízes diferentes) 
¨�= 0 
(2 raízes iguais) 
¨�< 0 
(0 raízes reais) 
a < 0 a < 0 a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Que tal fazermos mais uma questão de concurso de inequação do 2º grau 
para consolidarmos nosso entendimento? 
 
Questão 5: ESAF - Ana Tec (SUSEP)/Controle e Fiscalização/2010 
A inequação dada por é definida no conjunto dos números 
reais, R , tem como solução o conjunto S representado por: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
SOLUÇÃO: 
 
Vamos à resolução da inequação, prestando atenção a alguns detalhes: 
 ? ? െ ݔݔ � ൑ ? 
i) Como o x está no denominador, sei que x NUNCA pode ser zero! 
/RJR��[�� 
 
ii) Outro detalhe vem do radical: (3 ± x) deve ser maior ou igual que 
zero, pois estamos trabalhando com números reais e não são 
admitidas raízes quadradas de números negativos. 
 Logo, 3 ± [�•��� 
 ,VWR�TXHU�GL]HU�TXH�[�”�� 
 
iii) Além disso, como eu não sei o sinal de x, não posso simplesmente 
multiplicar ambos os lados da equação por x para eliminar o 
denominador. Isto porque se x for negativo, o sinal da inequação 
deverá ser trocado ao efetuarmos essa operação. Então teremos 
que trabalhar com hipóteses: 
 
1ª hipótese: x positivo ( x > 0). 
Note que de i) x não pode ser igual a zero e que de ii) ele é menor ou 
igual que 3. Então, nessa primeira hipótese, nosso conjunto universo 
ILFD�UHVWULWR�D�����[�”��� 
 
 
Multiplicando ambos os lados por x (sem preocupação com o sinal pois, 
por hipótese, x > 0): 
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 ? ?െ ݔ� ൑ ?ݔ 
 
Elevando ao quadrado para eliminar o radical: ൫ ? ? െ ݔ�൯ଶ ൑ ሺ ?ݔሻଶ 
 ? െ ݔ ൑ ?ݔଶ 
 
Isolando a variável: െ ?ݔଶ െ ݔ ൅ ? ൑ ? 
 
 
Calculando as raízes: ݔ ൌ െሺെ ?ሻ േඥሺെ ?ሻଶ െ ?ሺെ ?ሻሺ ?ሻ ? ? ሺെ ?ሻ ݔ ൌ ? േ ? ? ൅ 瘃?െ ? 
 ݔ ൌ ? േ ?െ ? ݔ ൌ െ ?�݋ݑ�ݔ ൌ ?Ȁ ? 
 
Esta função possui duas raízes reais iguais a -1 e 3/4. Estas raízes 
são os pontos em que a função corta o eixo real. 
 
O termo que acompanha o x2 é -4. 
Sinal: Negativo ------> Concavidade do gráfico da função para baixo. 
 
Esta função WHP�FRQFDYLGDGH�SDUD�EDL[R�H�³FRUWD´�R�HL[R�UHDO�HP�GRLV�
pontos, x=-1 e x=3/4. Logo, o desenho fica da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 -1 + 3/4 
 - - 
 
 
 
 
O gráfico nos mostra que a função é igual a zero para x=-1 e x=3/4 
e > 0 para qualquer outro x entre -1<x<3/4 e <0 para x<-1 e x>3/4. 
 
 
 
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A questão quer saber quais são os valores de x que tornam a função 
-4x2 - x + 3 menor ou igual que zero. 
 െ ?ݔଶ െ ݔ ൅ ? ൑ ? 
 
Ora, da análise do gráfico, concluímos que a solução dessa inequação é 
[�”�-1 ou x • ¾. 
 
Mas muita calma nessa hora!!!! Por hipótese, nosso x pertence ao 
intervalo: 0 < x ” 3. 
 
Então, para a nossa primeira hipótese, nossa resposta é ¾ ” x ” 3. 
 
 
2ª hipótese: x negativo (x < 0). 
 
Multiplicando ambos os lados por x e trocando o sinal de desigualdade, 
pois, por hipótese, x < 0): 
 ? ? െ ݔ�൒ ?ݔ 
 
Note que agora você nem precisa fazer contas. Se x é negativo, ? ? െ ݔ� 
é sempre positiva e 2x é sempre negativo. Ou seja, qualquer que seja o 
valor de x negativo, ele é solução para nossa inequação. 
 
Então, para a nossa segunda hipótese, nossa resposta é x < 0. 
 
Fazendo a união das duas hipóteses, nossa resposta é: 
 [�����RX�ô�”�[�”�� 
 
 
Gabarito: Letra D 
* * * * * * * 
 
 
 
 
 
 
 
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II. Lista das Questões Apresentadas 
 
 
Questão 1: ESAF/AFC/1997/TTN 
A diferença entre o conjunto A = {x E R | - ��”�[�”��`�H�R�FRQMXQWR-
solução da inequação 0,5 (1 - x) > 1 é dada por: 
D��^[�(�5�_�[�”��` 
b) {x E R |-��”�[�”��`� 
c) {X E R |-1 < x < 1} 
d) {x E R |-����[�”��`� 
H��^[�(�5�_�[�•��` 
 
Questão 2: ESAF/ANEEL/2004 
A solução da inequação 2x ± �� �� _[� �� �_•��� HP� 5�� RQGH� 5� p� R�
conjunto dos números reais, é dada por: 
D��6� �^[�ǝ�5�_�[”�` 
E��6� �^[�ǝ�5�_�[•�` 
F��6� �^[�ǝ�5�_�[”�` 
G��6� �^[�ǝ�5�_�[”�` 
H��6� �^[�ǝ�5�_�[•�` 
 
Questão 3: ESAF/MPOG/2001 
Se -5<5x+1<5, então 1-x está entre: 
a) -6/5 e -4/5 
b) -11/5 e -1/5 
c) 4/5 e 6/5 
d) -4/5 e 6/5 
e) 1/5 e 11/5 
 
 
 
Questão 4: ESAF - AFRFB/2009 
Considere as inequações dadas por: 
 
 
 
 
Sabendo-se que A é o conjunto solução de
f(x) e B o conjunto 
solução de g(x), então o conjunto Y = A ŀ B é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
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e) 
 
Questão 5: ESAF - Ana Tec (SUSEP)/Controle e Fiscalização/2010 
A inequação dada por é definida no conjunto dos números 
reais, R , tem como solução o conjunto S representado por: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 
B E E C D 
 
 
 
 
 
 
 
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